книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

б. Н а п р я ж е н и е и с т о ч н и к а с и н у с о и д а л ь н о

и = Um sin (со/ 4- гр).

Электрическая цепь (см. рис. 10.3) включается на синусоидаль­ ное напряжение.

Уравнение Кирхгофа для цепи примет вид n' + L * =t/f f l sin(co/ + ip).

За начало отсчета времени при исследовании переходных про­ цессов принят момент коммутации. Поэтому начальная фаза гр в выражении напряжения зависит от момента включения цепи и называется фазой включения.

Из (10.9) следует, что при включении цепи на синусоидальное напряжение ток переходного режима зависит от момента включения, т. е. от фазы включения гр.

Анализируя выражение (10.9), можно установить, что в момент включения (/ = 0) свободная составляющая тока всегда равна по

260

величине и противоположна по знаку мгновенному значению вы­ нужденной составляющей. В момент начала отсчета времени она как бы компенсирует вынужденный ток, «заставляя» ток переход­ ного режима начать свои изменения с нуля в соответствии с законом коммутации для цепи с нулевыми начальными значениями.

На рис. 10.6 изображены кривые приложенного напряжения, вынужденная и свободная составляющие тока и переходный ток.

Рис. 10.6

Из рисунка видно, что с течением времени по мере затухания сво­ бодной составляющей ток переходного режима стремится к своему предельному значению — току установившегося режима.

Это частный случай «удачного» включения. Наоборот, «неудач­ ное» включение имеет место, когда начальная фаза равна ір = ср ± у .

При этом вынужденная составляющая тока в момент включения должна иметь свое максимальное значение, и, следовательно, на­ чальное значение свободной составляющей будет также наиболь­ шим, равным =р / т , а длягр = ср + у переходный ток

і = I т cos со/ — / т е х .

Если постоянная времени цепи велика и, следовательно, сво­ бодная составляющая затухает медленно, то в первые полпериода процесса ток переходного режима может достигнуть значения почти удвоенной амплитуды установившегося тока.

261

Определим значение напряжения иа индуктивности

Из (10.10) следует, что начальное значение свободной состав­ ляющей ui с в (0) может превосходить UL т и вызвать на индуктив­ ности перенапряжение.

в. Н а п р я ж е н и е и с т о ч н и к а л и н е й н о в о з р а ­ с т а е т . При воздействии на цепь линейно-возрастающего напря­ жения и = kt ток в цепи не приобретает установившегося значения даже через бесконечно большое время, только напряжение на ин­ дуктивности окажется постоянным.

Уравнение Кирхгофа для цепи, содержащей г и L в последова­ тельном соединении,

kt.

Свободная составляющая тока не зависит от формы напряжения источника. Для последовательного контура, содержащего г и L , она определяется выражением

Частное решение уравнения будем искать в форме линейной зависимости

iB — m + nt.

Подставив это выражение в уравнение Кирхгофа, получим mr - f art 4- /iL = kt,

И

Так как при t = 0 ток i = 0,

A = kLr 2 *

Следовательно,

(10.11)

262

2. Цепь er и L при коротком замыкании. В цепи рис. 10.7, рабо­ тающей в установившемся режиме от источника постоянного или переменного напряжения, замыкается ключ К. К моменту замыкания ключа (t = 0) в магнитном поле индук­

тивности запасена энергия

Рис. 10.8

ской величиной, обусловленной методом решения дифференциаль­ ного уравнения, а действительным, наблюдаемым переходным то­ ком.

• Уравнение Кирхгофа для короткозамкнутого контура будет

263

На рис. 10.8 изображен ток I и напряжение uL в предположе­ нии, что за положительные направления напряжения на индуктив­ ности и тока в контуре принято одно и то же направление.

§ 10.3. Переходные процессы в цепях, содержащих г » С

Расчеты переходных процессов в цепях, содержащих сопротив­ ления и емкости, удобнее вести, если выбрать в качестве основной переменной напряжение на емкости. В разветвленных цепях, содержащих несколько емкостей, таким напряжением может быть выбрано напряжение на любой из емкостей.

1. Разряд емкости на сопротивление. Емкость предварительно заряжена до напряжения U0 и обладает запасом энергии W = — j 2 - . Ключом К она переключается к сопротивлению г (рис. 10.9). Рас-

жения на емкости, как и прежде, выбраны одинаковые направле­ ния.

При этом ток положителен, когда заряды на обкладках конден­ сатора увеличиваются по абсолютной величине. Уравнение Кирх­ гофа для контура

Так как в цепи нет источника электрической энергии, то нет и вынужденного напряжения

»с = « с с в .

Свободная составляющая в данном примере является не вспо­ могательной, расчетной, а реальной величиной — переходным напряжением. Решение (10.14) ищем в виде

264

Произвольная постоянная А определяется из начальных усло­ вий на основании формулы (10.3). При t = 0

ис (0) = U0 = A.

Запишем в окончательной форме напряжение на емкости:

Знак минус в выражении (10.16) означает, что ток разряда через конденсатор протекает в сторону, противоположную выбранному положительному направлению тока в контуре.

Графики изменения напряжения на емкости и тока приведены на рис. 10.10.

Uc,i

Uo

гL

С увеличением г и С постоянная времени возрастает, и процесс протекает медленнее.

Вся энергия емкости расходуется на тепло:

2. Включение цепи с г и С. Электрическая цепь с последова­ тельно соединенными г я С при нулевых начальных условиях замы­

пор, пока напряжение на емкости «с не станет равным установив­ шемуся значению.

Положительные направления тока и напряжения на емкости выбраны одинаковыми.

265

Уравнение, составленное на основании второго закона Кирх­ гофа, имеет вид

График изменения ис и і приведен на рис. 10.12. Начальная ордината тока при t = 0 имеет наибольшую величину. В первый момент напряжение источника падает на сопротивлении г. С фор­ мальной точки зрения можно считать, что при нулевых начальных

266

условиях емкость в момент включения (t — 0) не оказывает сопро­ тивления. Она как бы накоротко замкнута

Напряжение на емкости и ток асимптотически приближаются

ксвоим установившимся значениям ыс -> UQ, і -*• 0. Найдем выражения мгновенных мощностей:

В заключение рассчитаем энергетический баланс цепи за время переходного процесса.

Работа источника

со

W = \ pdt = CU%,

о

энергия, запасенная конденсатором,

оо

тепловые потери

оо

и

267

Полученные результаты позволяют сделать интересное заклю­ чение. Зарядить емкость непосредственным включением на постоян­

вольная постоянная А в этой формуле должна быть определена в соответствии с новыми условиями работы цепи.

Вынужденная составляющая одновременно является устано­ вившимся напряжением на емкости, равном

« С в = С 7 С т 8 і п ( и / + гр — ф —

График изменения напряжения на конденсаторе приведен на рис. 10.13. Начальное значение свободной составляющей напря­ жения на емкости равно и противоположно по знаку мгновенному значению вынужденной составляющей в момент включения. Сле-

268

довательно, начальное значение свободной составляющей зависит от момента включения, т. е. от фазы г|з. Влияние фазы включения г|з на характер изменения «с проявляется так же, как и на характере

21

изменения тока і в цепи из г и L . Например, при -ф == ср —|—в цепи сразу наступает установившийся режим и ис, начиная с нуля, изменяется по синусоидальному закону (см. § 10.2, п. б).

§ 10.4. Переходные процессы в цепях, содержащих r, L а С

В этом параграфе рассматриваются переходные процессы в элек­ трических цепях, содержащих r, L и С, т. е. в цепях, запасающих энергию и в магнитном и в электрическом полях. В таких цепях возникают новые явления. Наиболее существенным из них является способность электрической цепи к собственным колебаниям.

Запишем дифференциальное уравнение для цепи рис. 10.1, выбрав за основную переменную UQ:

Решение зависит от значений корней характеристического урав­ нения. Характеристическое уравнение согласно (10.22) имеет вид

а корни этого уравнения

Корни pL и р 2 зависят только от параметров цепи. Заметим, что какая бы переменная ни была выбрана в качестве искомой, напри­ мер ток і, напряжение ііс, или заряд конденсатора q, характери­ стическое уравнение, а следовательно, и его корни будут одни итеже.

В зависимости от соотношения параметров цепи корни могут

269