книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

В этих случаях упростится задача разложения. При этом ампли­

метричной относительно начала координат и из разложения исчез­ нут косинусы. Если За начало

ставляющих будут одинаковы: ряд не будет содержать четных гармонических составляющих. Разница будет заключаться в том, что при выборе за начало отсчета tx

при t0

при 4

Ak = Va% + H

В табл. 8.1 приведены тригонометрические ряды некоторых периодических функций. Как ясно из графиков таблицы /, 2, 3 и 5 функции не содержат постоянных составляющих, так как площади их положительных и отрицательных полупериодов одинаковы. Ряды этих функций не содержат четных гармонических, так как функции зеркальны. При выбранных началах разложения первые четыре функции содержат только синусы. В четвертой функции это становится ясным после исключения постоянной составляющей из графика функции. Кривые 5, 6 и 7 оказались симметричными от-

210

211

носительно оси ординат, и поэтому ряды этих функций содержат только косинусы.

4. Амплитудно-модулированная кривая. Передача низкочастот­ ных колебаний в системах радиосвязи и дальней связи по проводам осуществляется, как указывалось во введении, с помощью управ­ ляемых высокочастотных колебаний.

Управление колебаниями заключается в том, что амплитуда, частота или фаза высокочастотных колебаний принудительно из­ меняются с передаваемой низкой частотой. Подобное управление высокочастотными колебаниями низкой частотой называется моду­ ляцией. В зависимости от того, какая из величин подвергается из­ менениям, модуляция называется соответственно амплитудной, час-

5)

Ht)

t О

лебаний, модулированных низкой частотой. Глубина модуляции соответственно m = 0, m = 0,5 и m == Î.

В общем случае модулированные колебания не являются перио­ дическими. Периодическими они становятся только в том случае, когда отношение a/Q — рациональная величина. Поэтому пред­ ставление модулированных колебаний в форме ряда Фурье обычно

212

нецелесообразно. Разложение модулированных по амплитуде ко­ лебаний на гармонические составляющие произведем с помощью простых преобразований:

Таким образом, колебания, модулированные по амплитуде, можно рассматривать как сумму трех высокочастотных гармони­ ческих колебаний. Первое слагаемое полученной суммы представ­ ляет собой колебания с несущей частотой, второе — с верхней бо­ ковой частотой и третье — с нижней боковой частотой.

Обычно при колебаниях высокой частоты боковые частоты очень мало отличаются от несущей.

При воздействии на линейную электрическую цепь модулирован­ ных колебаний расчет цепи можно производить для каждой из со­ ставляющих отдельно или с помощью приближенных формул, вы­ веденных в гл. V и V I .

§ 8.3. Расчет цепей при несинусоидальной периодической э. д. с.

Как уже отмечалось, расчет линейной цепи при несинусоидаль­ ной периодической э. д. с. на основании принципа наложения произ­ водится для каждой составляющей э. д. с. отдельно так, как если бы только эта составляющая действовала в цепи.

Расчет цепи для постоянной составляющей производится так же, как и в том случае, когда к цепи подключен генератор постоянного

заданного источника питания при постоянном токе. При расчете цепи для постоянной составляющей можно пользоваться всеми ме­ тодами расчета цепей при постоянном токе, считая сопротивления индуктивностей равными нулю и сопротивления емкостей равными бесконечности. Если же сопротивлениями обмоток катушек и проводимостями диэлектриков конденсаторов при постоянном токе пренебречь нельзя, эти сопротивления в схеме должны быть со­ хранены.

При расчете цепи для отдельных гармонических составляющих следует пользоваться символическим методом. При этом прибли­ женно считают, что активные сопротивления ветвей для гармоник укороченного ряда Фурье, т. е. группы членов ряда с наибольшими амплитудами, одинаковы. Для k-й гармоники сопротивление ветви, содержащей г, L и С в последовательном соединении,

где ©ft — угловая частота k-й гармоники, а со — угловая частота несинусоидальной кривой. Фазовый угол между напряжением

213

и током k-Pi гармоники в ветви:

При э. д. с. источника, известной в виде ряда

е = Е0 + ЕХт sin (со/ + ipj) + Е2т sin (2со/ + гр2) + sin (Зсо/ + гр3) + . . . ,

ток также может быть записан в виде ряда

i = h + I\m sin (со/ + грі - фі) - f hm sin (2со/ + г|з2 - ф2) -f- + / 3 m s i n (Зсо/ + г р 3 - ф з ) + . . . .

Расчет сложных цепей производится для каждой из гармони­ ческих составляющих отдельно. При этом выбранный метод рас­ чета цепи для одной гармонической составляющей не зависит от метода расчета той же цепи для другой гармоники.

Рис. 8.9

Пусть, например, в цепи рис. 8.9, а, применяемой в высоко­ частотных устройствах, работают два одинаковых генератора с не­ синусоидальными напряжениями и пусть напряжение первого ге­ нератора опережает по фазе напряжение второго генератора, при выбранных положительных направлениях, на 772 (Т—период не­ синусоидальных напряжений).

Предположим, далее, что напряжения генераторов содержат

214

Сравнение щ и щ показывает, что мгновенные напряжения не­ четных гармоник направлены у обоих1 генераторов на рис. 8.9, а одновременно вверх или вниз, а четных и постоянных составляю­ щих — одновременно в разные стороны. Поэтому напряжение на двухполюснике а будет содержать постоянную составляющую и все четные гармоники, а напряжение на двухполюснике b — только нечетные гармоники. При таких условиях расчет удобно произво­ дить для четных и нечетных гармоник отдельно по разным схемам. На рис. 8.9, б сохранена только часть схемы рис. 8.9, а для расчета нечетных гармоник, а на рис. 8.9, в — для расчета четных.

§ 8.4. Влияние приемника на форму тока при несинусоидальном напряжении

При несинусоидальном напряжении, приложенном к активному сопротивлению, форма кривой тока не будет отличаться от формы кривой напряжения, так как активное сопротивление приблизи­ тельно одинаково для всех гармонических составляющих укорочен­ ного ряда. Если амплитуда k-й гармоники напряжения, приложен­

215

ляющих в кривой тока будет в k раз большим, чем в кривой напря­ жения.

Действительно, пусть по-прежнему амплитуда k-й гармоники напряжения составляет р% от амплитуды его первой гармоники. Найдем отношение амплитуды k-й гармоники тока через конденса­ тор к амплитуде первой гармоники. Для этого напишем выражения амплитуд тока:

Следовательно, емкость искажает кривую тока по сравнению с кри­

кривой можно изложить и иначе, выбрав в качестве исходной кривую тока и предположив, что в ветви протекает несинусоидальный ток.

иконденсатор в последователь­

ном соединении, то в ветви возможен резонанс напряжений на частоте какой-либо из гармоник напряжения питания. Условие резонанса напряжения на частоте k-й гармоники

Реактивное сопротивление ветви на частоте k-й гармоники равно нулю, и напряжение этой гармоники на ветви равно Ikr. Напряжение только на индуктивности или емкости будет большим и равным

(Vi f t = (7C f e = L/ftQ,

где Uk — напряжение k-й гармоники, приложенное ко всей ветви,

VI

жет стать больше амплитуды тока любой другой гармоники. Такое соединение может служить для выделения или исключения какойлибо одной гармоники напряжения или тока из общего числа гар­ монических составляющих.

Действительно, допустим, что напряжение, приложенное к по­ следовательному контуру (рис. 8.11), несинусоидально и амплитуды k-й и р-й гармонических составляющих этого напряжения одина-

216

ковы и равны ит. Пусть контур настроен в резонанс с частотой k-й гармоники. Тогда амплитуда напряжения k-й гармоники на конден­ саторе контура иСкт = bmQ, где Q — добротность контура.

Сопротивление, оказываемое контуром р-й гармонической со­ ставляющей,

Предполагаем, что р-я гармоника выше k-й и что

Амплитуда напряжения р-я гармоники между зажимами кон­

Напряжение на конденсаторе контура k-й гармоники выше на­ пряжения р-й гармоники:

раз больше напряжения р-й гармоники.

Связанные колебательные контуры могут также служить для выделения основной гармонической составляющей при несинусои­ дальном источнике питания. Для этого каждый из контуров системы настраивается на частоту основной гармоники. При выборе емкост­ ной связи между контурами эффект выделения основной гармоники и погашения высших получается наибольшим.

Расчет токов различных частот во вторичном контуре произ­ водится любым из точных методов расчета связанных цепей.

Параллельный контур, настроенный на частоту k-й гармоники, при частоте более низких гармонических составляющих будет об­ ладать эквивалентным индуктивным сопротивлением, а при час­ тоте гармоник более высоких, чем частота k-й гармоники, эквива-

217

лентным емкостным.Поэтому участок цепи рис.8.12 может быть в ре­ жиме резонанса токов для &-й гармоники и в режиме резонанса напряжений на частоте р-й гармоники. Следовательно, эта цепь может обладать очень большим сопротивлением для k-й гармоники и очень малым для р-й.

§ 8.5. Действующие значения несинусоидальных напряжений и токов

При расчетах и измерениях в электрических цепях, питаемых периодическими напряжениями и токами любой формы, в качестве количественных характеристик напряжений и токов используются их действующие значения. Эти характеристики удобны тем, что до­ пускают количественные сравнения различных режимов работы цепей при синусоидальных и несинусоидальных напряжениях. Кроме того, они удобны потому, что вольтметры и амперметры пе­ ременного тока технических частот в соответствии с принципом их работы измеряют действующие значения этих величин. При изме­ рениях на высоких частотах наряду с ламповыми вольтметрами, непосредственно измеряющими действующие значения, исполь­ зуются ламповые вольтметры, измеряющие средние или амплитуд­ ные значения напряжений. Однако и эти вольтметры обычно от- , градуированы на действующие значения. Точность измерений с по­ мощью ламповых вольтметров последнего типа при несинусоидаль­ ных напряжениях зависит от степени близости измеряемых кривых к синусоиде.

При расчетах энергетического характера, когда они не требуют высокой точности, кривые, не очень отличающиеся от синусоид, заменяют эквивалентными синусоидами. Эквивалентными называ­ ются синусоиды, действующие значения которых равны действую­ щим значениям соответствующих несинусоидальных кривых. Сле­ дует напомнить также, что под активными сопротивлениями двух­ полюсников понимается отношение мощностей, расходуемых в этих двухполюсниках, к квадратам действующих значений токов в них:

г = Р / / 2 .

Таким образом, знание действующих значений несинусоидаль­ ных функций времени является необходимым при анализе цепей, питаемых несинусоидальными напряжениями и токами.

Согласно определению действующим значением любой периоди­ ческой функции называется среднее квадратичное из всех ее мгно­ венных значений за период:

В соответствии с этим выражением определим действующее зна­ чение несинусоидального напряжения.

218

Допустим, что заданное несинусоидальное напряжение разло­ жено в ряд Фурье:

и = Uо + Ulm sin (со/ + %) + t72 m sin (2со/ - f я|з2) + + t73 m sin (Зсо/+ %) + ... .

Полученный ряд следует возвести в квадрат и подставить в вы­ ражение действующего значения. Сумма под знаком интеграла в выражении действующего значения, или, что то же самое, сумма интегралов, будет содержать интегралы четырех типов.

Напишем эти интегралы и найдем их значения:

т

Следовательно, действующее значение несинусоидального на­

Аналогично, действующее значение несинусоидального тока

§ 8.6. Средняя мощность несинусоидального переменного тока

1. Мгновенная мощность переменного тока равна произведению мгновенных значений напряжения и тока независимо от форм обеих кривых:

р = иі.

219