книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Следовательно, сумма показаний обоих ваттметров

Следует обратить внимание на запись линейного напряжения: Ùас вместо Оса написано потому, что начало параллельной обмотки ваттметра, отмеченное звездочкой, подключено к проводу а.

Согласно первому закону Кирхгофа ! а + h + h = 0. Если у.всех мнимых составляющих комплексных токов изменить знаки на обратные, сумма сопряженных комплексов останется равной нулю. Следовательно,

Таким образом, алгебраическая сумма показаний двух ватт­ метров, включенных по схеме рис. 7.17, равна мощности, поглощае­ мой приемником.

§ 7.6. Вращающееся магнитное поле

Существенным достоинством трехфазных систем является воз­ можность получения вращающегося магнитного поля.

Расположим три одинаковые катушки индуктивности под углом в 120° друг к другу (рис. 7.18). Это расположение катушек является

векторов будут изменяться с течением времени по закону синуса. За положительные направления векторов В приняты направления, указанные на рис. 7.18 стрелками.

200

Глава восьмая

ЦЕПИ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ И ТОКАХ

§8.1. Введение

1.Метод анализа работы цепи. В предыдущих главах при изучении методов расчета линейных электрических цепей и при ис­ следовании электромагнитных процессов в этих цепях предпола­ галось, что источники электромагнитной энергии создают напря­ жения в виде синусоидальных функций времени. Однако на прак­ тике напряжения даже специально сконструированных генерато­ ров более или менее значительно отличаются от синусоиды. Поэтому результаты расчетов электрических цепей, сделанные в предположе­ нии, что питание цепей осуществляется источниками синусоидаль­ ных напряжений и токов, окажутся верными только приблизительно.

Допустимость такой идеализации источников для упрощения расчета определяется прежде всего назначением рассчитываемой

явится причиной количественных ошибок. Когда же в результате расчета такой цепи должны быть определены, например, степень и характер влияния цепи передачи энергии на электрическую цепь связи, расположенную рядом, подобное приближение недопустимо. В этом случае пренебрежение искажением кривой напряжения и тока по сравнению с синусоидой полностью изменит расчетное за­ дание и не даст решения поставленной задачи.

В электрических цепях связи отличие напряжений и токов, воз­ действующих на цепь, от синусоидальных функций времени яв­ ляется принципиально важной и органической особенностью си­ стем передачи информации, отличающей эти системы от энергети­ ческих систем. В цепях связи любая идеализация формы кривых связана с искажением или полной потерей передаваемой информа­ ции.

При расчете цепей синусоидального тока напряжения и токи отображались векторами на комплексной плоскости и записыва­ лись в форме комплексных чисел. Только при синусоидальных токах и напряжениях возможно было введение понятий индуктив­ ных /coL, е м к о с т н ы х ^ и полных Z сопротивлений элементов электрических цепей. Поэтому весь аппарат расчета линейных элект-

202

рических цепей, разработанный в предыдущих главах, оказался бы абсолютно неприемлемым при попытке непосредственного его при­ ложения к цепям с несинусоидальными токами.

В этой главе приводится метод анализа и расчета линейных электрических цепей, питаемых несинусоидальными, но периоди­ ческими напряжениями и токами.

ной периодической кривой. Иначе говоря, генератор несинусои­ дального периодического напряжения заменяется рядом последо­ вательно соединенных генераторов, создающих синусоидальные напряжения таких частот и амплитуд и таких начальных фаз, что алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений этих ге­ нераторов в любой момент времени равна мгновенному значению несинусоидального напряжения заданного генератора.

Возможность такой замены основывается на том, что всякая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов на конечном отрезке функции, может быть представлена гармоническим рядом:

f (t) = А0 + Ai sin (at + Ь) + Ai sin (2(ùt - f Ь) + A3 sin (Зеа/ - f i j j 8 ) . . .

(8.1)

Этот ряд называется тригонометрическим рядом Фурье. Следует отметить, что все встречающиеся в теории и практике электрических цепей периодические функции времени удовлетворяют условиям Дирихле и потому каждая из них может быть разложена в триго­ нометрический ряд Фурье. Таким образом, возникает возможность однозначной замены несинусоидального периодического напряже­ ния рядом синусоидальных напряжений.

Для линейных цепей справедлив принцип наложения, поэтому при каждом синусоидальном напряжении цепь может быть рассчи­ тана так, как если бы других напряжений не существовало. При этом расчет цепи для каждой из составляющих синусоидальных напряжений может быть произведен с использованием всего аппа­ рата и всех методов расчета цепей синусоидального переменного тока.

Из сказанного следует, что расчет электрической цепи при не­ синусоидальном питании делится на три части.

Первая часть представляет собой гармонический анализ, иначе говоря, задачу разложения кривой в тригонометрический ряд. В результате решения этой задачи должны стать известными все

Вторая часть задачи — расчет цепи для каждого из слагаемых ряда — не отличается от обычного расчета цепи при синусоидаль-

203

ных токах и ничего принципиально нового не содержит. Этот рас­ чет при решении задачи приходится повторять столько раз, сколько членов ряда оказалось целесообразным сохранить для получения необходимой точности решения.

Третья часть является задачей гармонического синтеза в том случае, когда должна быть выяснена форма кривой тока или на­ пряжения на приемнике. К этой части задачи также относятся оп­ ределения действующих значений токов и напряжений в ветвях цепи и мощностей, расходуемых в этих ветвях.

2. Ряд Фурье. Напомним некоторые из свойств и определений,

ских ряда вовсе не обязательно. При разных формах несинусои­ дальной кривой в разложении могут отсутствовать те или иные высшие гармоники. Амплитуды гармоник зависят от формы кривой и может оказаться, что амплитуды нескольких высших гармониче­ ских окажутся большими, чем амплитуды гармоник меньших час­ тот. При расчете электрических цепей приходится ограничивать число слагаемых гармонического ряда. Степень укорочения ряда определяется скоростью убывания амцлитуд гармонических со­ ставляющих с частотой гармоник и требуемой точностью расчета.

Начальные фазы отдельных гармонических составляющих за­ висят от выбора начала координат при разложении кривой в ряд Фурье и от формы кривой. При переносе начала отсчета периоди­ ческой кривой на -f-А-ф так, чтобы новая начальная фаза первой гар­

то при смещении начала отсчета в сторону положительных значе­

204

Выражения в круглых скобках представляют собой новые на­ чальные фазы гармонических составляющих.

На рис. 8.1, а изображена периодическая кривая сложной формы, а на рис. 8.1,6 — три первые гармонические составляющие этой кривой. На отрезке, рав-

ров предназначены для анализа кривых реального напряжения между двумя зажимами. Гармонические анализаторы другого типа предназначены для определения амплитуд гармонических составляю­ щих по осциллограмме или рисунку кривой. Несмотря на большое совершенство таких приборов, инженеру надо уметь судить об ос­ новных составляющих кривой по форме напряжения или тока без помощи анализаторов.

§ 8.2. Анализ периодических кривых

Прежде чем перейти к анализу периодических несинусоидаль­ ных кривых, напомним, что ряд Фурье можно представить в форме,

Благодаря этому делению каждая из гармонических составляю­ щих, обладающая начальной фазой разложена на две гармоники

205

a Oftcos kat — через максимум. Постоянную составляющую за­ пишем в виде Л 0 = у . Теперь ряд Фурье перепишем так:

+ ^

2

Коэффициенты ряда (8.2) ak и öf t связаны с амплитудами и на­ чальными фазами гармонических составляющих ряда (8.1) следую­ щими очевидными соотношениями:

аА = ЛА sinя|>ь bk = Akcostyk, Ak = Va% + b*k, tgгрй = | j .

Таким образом, для разложения в ряд Фурье периодической кривой необходимо определить ak и Ьк или Ак и г|ѵ

1. Кривая, не содержащая постоянной составляющей. Постоян­ ная составляющая периодической несинусоидальной функции вре­ мени представляет собой среднее арифметическое из всех мгновен­ ных значений кривой, взятое за период:

т2

2

Геометрически этот интеграл равен площади, ограниченной кри­ вой / (t) и осью абсцисс. Следовательно, если площадь кривой в пре­ делах целого периода равна нулю, кривая не содержит постоянной составляющей. Иными словами, если площади кривой за положи­ тельный и отрицательный промежутки периода равны между собой, постоянная составляющая равна нулю.

На рис. 8.2 изображена кривая, не содержащая постоянной со­ ставляющей. Анализ кривой, содержащей постоянную составляю-

206

щую, удобно производить, исключив ее из разложения. Для этого достаточно поднять или опустить ось времени на величину А0 так, чтобы площади полуволн оказались одинаковыми.

2. Кривая, симметричная относительно оси абсцисс. На рис. 8.3 изображена периодическая несинусоидальная кривая, симметрич-

т

ная относительно оси абсцисс, или зеркальная кривая. Симметрич­ ной, или зеркальной, кривая называется потому, что отрицатель­ ная полуволна этой кривой является зеркальным отображением положительной полуволны, если любую из полуволн сместить вдоль оси времени на полпериода. Математическим условием сим­ метрии кривой относительно оси абсцисс является равенство

ІѴ) = -

Любое значение ординаты положительной полуволны равно по абсолютному значению ординате отрицательной полуволны, если между обеими ординатами сдвиг по времени равен половине пе­ риода.

Напишем суммы слагаемых ряда для моментов времени t и

т

Если к аргументам косинуса или синуса прибавить я нечетное число раз, знаки этих функций изменятся на обратные. Если же к аргументам этих функций прибавить величину я четное число раз,

207

знаки функций не изменятся. Поэтому, если сложить обе суммы, в правой части равенства взаимно уничтожатся все слагаемые с не­ четными значениями k:

Но так как, согласно условию зеркальной кривой, левая часть равенства равна нулю при всех значениях t, сумма всех четных ко­ синусов и синусов равна нулю при всех значениях t. Это возможно

даваемая генератором, отлична от синусоиды, однако конструк­

3. Кривая, симметричная относительно начала координат (от­ счета), и кривая, симметричная относительно оси ординат. Условие

Кривые рис. 8.4 и 8.5 являются симметричными относительно начала координат. Для этих кривых такая симметрия остается и при

208

Сложив левые и правые части этих равенств, получим

/ ( О + / ( — 0 = 2 ^ûftcosfecû/.

/г=1

Так как левая часть равенства согласно условию симметрии равна нулю при любом значении /, равно нулю и каждое слагаемое правой части. Откуда

аі = 0, а3 = 0, а3 = 0, ... , ак = 0.

Разложение будет содержать только синусоидальные функции.

/(О = / ( - * ) .

Согласно этому условию, если из ряда, написанного для / (/), вычесть ряд, написанный для f (—t), то разность окажется равной нулю:

со со оо

= я/2. Все гармонические составляющие такой кривой в момент начала отсчета времени проходят через свои амплитудные значения.

Таким образом, кривая будет содержать только косинусы. Кривая 8.5 симметрична относительно оси ординат, если начало координат перенести в точку tx.

В заключение проведенного анализа особенностей форм кривых подчеркнем следующее: выбором или переносом начала отсчета нельзя изменить состава кривой. Нельзя, не изменяя формы кри­ вой, исключить из разложения постоянную составляющую или хотя бы одну из гармоник. Но при переносе начала отсчета кривая мо­ жет оказаться симметричной относительно начала координат или относительно оси ординат.

209