книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

col.

При частотах щ и со2, когда ток

/ х =

со, ток / 2

также

увеличи­

вается до бесконечности. При

частоте

резонанса

токов

сор ток

/ 2

не падает до нуля

как

ток

/ х ,

а уменьшается до значения, опреде­

ляемого из (6.5, б)

при

zn

=

z2 2 =

0:

Изменение тока во вторичном контуре изображено

на рис. 6.16

штриховой кривой.

Частоты, соответствующие максимумам тока / 2 ,

сох <

сор и со2

>>

> сор, называются

частотами

связи.

Если учесть, что

коэффициент

ствах обычно значительно мень­

ше единицы, то станет очевид­

ным, что частоты

щ,

сор и

со2

очень близки друг другу. При

уменьшении

коэффициента связи

между контурами

частоты связи

сближаются

с сор и минимум то­

ка / 2 благодаря уменьшению M

повышается.

•1

ир

СО,

Ù)

Для объяснения обнаружен­

ных особенностей

частотных

ха­

Рис. 6.16

рактеристик двух связанных

ко­

лебательных

контуров

заменим

систему из

двух

колебательных

контуров с трансформаторной свя­

i l "

CÛC„

CÛL,.

1

CÙC2

, ' 2 2

C Û C 2 2 /

« L u

1

/

to2 M2

:

CÛC,u

на одну частоту, то при частотах, отличных

от резонансной, знаки

ххх

и Аххх

противоположны, так как оба контура при всех частотах

одновременно

обладают

индуктивной

или

емкостной реакцией,

а

Аххх =

— Ö 2

X 2 2 - Этим

и объясняется

возникновение режимов ре­

зонанса

напряжений при двух различных

частотах.

тура станет индуктивным (oLxx>—J~,

а вносимое в первичный

контур сопротивление — отрицательным,

т. е. емкостным. Таким

стоты связи были бы равны:

t ö i ^ c ö p ] / l — k и c û 2 i ^ c û p i / l -\-k •

(6.20)

личаются от основной (о0

не более чем на несколько

процентов.

В пределах этой полосы пренебрежем изменениями хп

независимо

от того, является ли связь

индуктивной или емкостной.

Гц

ги

\Щ

( й /

(6.21)

£ _ £?2 _

m 0 L 2 2 / ^

_

г22 ~~

г22

\ш0

со

откуда

k

=

Qi —

h

(6.22)

Ii

Q2

ал

"

І1 = І2 = Ь

Не менее часто, однако, во вторичный контур вводится полез­

ная

нагрузка в

виде активного сопротивления, вследствие чего

Q2 <

Qx или <і2 >

dx.

контурной системы начнем с амплитудно-частотной

характеристики

вторичного тока.

Подставив в выражение (6.5 б) значения полных

сопротивлений

обоих колебательных

контуров

Zn

= rn + jxn = r u ( 1 + /

= m ( 1 + Цг)

получим

Z 2 2

— Г22 +

}х22

— Г22 ( 1 4" /Іг))

UtZ12

Uil'xî2

Это же выражение

можно

переписать

иначе, воспользовавшись

равенством (6.18):

№2

/

_

_

1

Ѵгиг22

'2

—

(6.23)

' U ' 2 2 j

Знаменатель последнего выражения можно переписать,

рас­

крыв

скобки, перегруппировав

слагаемые и заменив | х на Е2

с по­

мощью формулы

(6.22):

(6.24)

Vrnr„ У (і + ^ < З А ) 2 + ^ ( і + | -

Выражение (6.24) позволяет выяснить характер изменения

/ 2

при

возрастании

обобщенной

расстройки |£2 |

от значения

£2

=

0.

Представляются

возможными

два варианта

изменения / 2

вблизи

| 2 =

0. В том случае, если стоящая под знаком корня сумма

+

+

ла

—2&2Q,2) положительна,

увеличение | 2

в стороны

положи­

/

должно

тельных и отрицательных значений обобщенной расстройки

0

Рис. 6.17

Рис. 6.18

вызвать увеличение всего знаменателя и уменьшение тока / 2

(рис.6.17).

Следовательно, неравенство

1

> 2k2Q\

или, иначе,

т4- + т4->

> 2k2 является признаком

того,

что ток

/ 2 имеет

максимальное

значение при | 2 = 0. Это

единственный

экстремум

амплитудно-

Шщ,

возрастая

быстрее

абсолютного

значения

слагаемого | | ( 1 4-

+

—2^2 Qj'j,

превысит

его, и значения

тока

/ 2

начнут

умень­

шаться.

Таким

образом,

характеристика

/ 2 =

/ (£2)

при

k

>

>

" j / ^ ' l ^ 2

должна иметь минимум в

точке

| 2 = 0

и два

макси­

мума по обе стороны от этой точки (рис. 6.18).

Определим теперь значения £2 , соответствующие

экстремумам

тока

/ 2 . Для этого

приравняем нулю

производную

по

£2

подко­

ренного

выражения

в знаменателе (6.24):

2 ? 2 ( l + | -2^Qï) +

4 ^ | .

Первый

и третий

корни имеют физический смысл, если они ве-

П2

1 ГШ*

щественны,

т. е. тогда, когда 2&2Q|> 4~cf|

у

2 '

л и

2

~

В этом случае эти корни соответствуют

максимума м тока /

во вто­

ром контуре.

Таким

образом,

математический анализ

подтверждает,

что при

k >• " j /

"

- 1 " ^ ^ '

характеристика

/ 2 =

/ (£2)

дважды

приобретае

симальное значение при £2 =

0.

рис. 6.17,

часто называют

Характеристику, изображенную на

одногорбой, а характеристику

на рис. 6.18 — двугорбой.

-,

Г d'i J _ ^2

Коэффициент связи k=y

-'• ^ 2

называется

критическим

коэффициента связи между ними (см. 6.16). Итак, при слабой

связи,

когда

k

' - к р і и

при критической

связи,

когда

k = kKp,

ампли­

тудно-частотная

характеристика

тока во втором

контуре

имеет

один

максимум

при

£2

= 0.

При сильной

связи,

когда

k>kKV,

амплитудно-частотная характеристика дважды достигает

макси­

мума и между максимумами' проходит через

минимум при \ 2 =

0.

Частоты, соответствующие максимальным значениям тока,

/ 2

при k >

kKp называются

частотами

связи.

На

основании

(6.21)

находим

частоты

связи

/р2

f(!

?р2

^2

^

Ip2 j .

•П = о,

fo

/р2

Q2 '

Р

Qa

откуда

/ р 2 = 4 [ У £ 2 - £ к Р + 4 + у & = щ .

Аналогично

/ Р І

= Ті

[Vk2

- klP

+

4

-

Vk2 -

k4}.

(6.26)

амплитудно-частотной характери-

а .

стики

fр2 — / р і — foV k2

— ^ к р •

Последнее

выражение

показы­

вает,

что с

увеличением

коэффи­

циента

связи

между

контурами,

при

k >> kKV,

расстояние

между

частотами

связи

увеличивается,

максимумы

раздвигаются. График

зависимости

частот

связи

от

ко­

эффициента

связи

изображен

на

рис. 6.19. Определим теперь значе­

ния тока

/ 2 т а х

при частотах связи. Для этого в

выражение (6.24)

подставляем

значения

обобщенных

расстроек | р 1

и | р 3 (см. форму­

лу 6.25).

(6.27)

62(Qi + Q2 )2 -

4 VQi

<?2

При обобщенной расстройке £p 2 = 0 ток

/ а =

:

Uik VQ1Q2

(6.28)

Это

значение представляет собой максимум

тока І2 при k

kK?

и минимум тока І2

при k >> k,к р -

i l =

?2 = %>•

Выведенные ранее формулы для двух связанных колебательных

контуров с различными добротностями значительно

упрощаются.

Выражение тока во вторичном контуре

(см. формулу 6.23)

приобретает вид

ÙJkQ

_

W * 2

[(i+/?) 2 +* 2 Q ä l

(6.29)

Угол ф2 в этой формуле равен углу сдвига фаз между током / а

во втором контуре и напряжением Ült

приложенным к первому

контуру:

92 = arctg ' - ^ + ^ +

я m,

(6.30)

где коэффициент m = 0 при емкостной

связи

между

контурами и

m = 1 при индуктивной.

Критический коэффициент связи между двумя подобными кон­

турами

£ K p Q = l

или kKV, — d.

(6.31)

Обобщенная

расстройка,

соответствующая

этой

частоте £р 2 = 0.

Значение / 2

т а х можно получить,

подставив

любое

из значений £ р 1

или

в выражение (6.29) или приравняв друг другу значения Qx

и Q2

в уравнении (6.27)

' 2

т а х -

.

z

У 'IV 22

Последнее

выражение тока совпадает

с выражением

I 2 m a x max,

полученным

при настройке связанных

колебательных

контуров

циенту связи при настройке двух подобных

колебательных конту­

ров в полный резонанс [ср. формулы (6.16а) и (6.31)].

Значения

тока / 2 в седловине

двугорбой

кривой или

минимум

тока при двух подобных

контурах

при k >

kKp

можно

получить,

положив в выражении

(6.29)

1 =

0,

/ 2

m

i n =

VT^f+im

•

( 6 - 3 3 )

Глубина

седловины

зависит от величины

произведения kQ.

ной

характеристики

при

&Q>2,41 превышает ] / 2 .

При

kQ •< 1 оба корня £ р 1 и § р 2

приобретают мнимые

значения

и теряют физический

смысл.

При

kQ sc; 1 максимум

тока / 2

зависит от значения

коэффи­

циента

связи. При kQ =

1, т. е. при критической

связи, макси­

мум

тока

/

-

ц

При

значениях kQ <

1 максимум

вторичного тока

увеличивается

2kQ

(6.35)

l2 max

V(l

+ k2Q2) +

2g2 (1 - £ 2 Q 2 ) + E* '

где

/

-

"г

i

i

i

i

i

I

i

i

1

1

1

-k, -5

-4

-З-2-І

0

1

2

3

4

5 +к,

Рис.

6.20

с током

/ 2 . Характер

зависимости тока

Іх

от частоты питания

кон­

туров может быть определен с помощью соотношений (6.6)

и (6.29):

/ і

=

где

kQ

хіг

а = Vr%3 + x*s3

так как

xX2

= k 1Лэ и р 2 2

= ЩѴ

rxxr22.

Кривая зависимости коэффициента 1 la от \ изображена на рис. 6.21

Для получения

частотных характеристик первичного тока доста­

точно

ординаты

характеристик

вторич­

ного

тока

рис. 6.20

умножить

на орди­

наты

кривой

рис. 6.21 при одних и тех

же

расстройках.

На основании исследований § 6.7 мож­

но

предсказать,

что

частотная

характе­

ристика первичного тока Іх =

f

(£) будет

иметь один только максимум или два

максимума и один минимум. Максимумы

тока

Іх

не

совпадут

с максимумами

то-

„

,- „,

ка

/о,

так

как

зависимость -

Œ) не го-

Рис.

6.21

і>

а

\=/

Для

построения

частотной

характеристики

тока / х

напишем вы­

ражение

этого тока:

а

гц К

(

1

+ 26«

(6.36)

1

2

Определим значения g, соответствующие экстремальным значе­

ниям тока Іг.

Эти значения

найдем, приравняв

нулю

производную

по |

подкоренного выражения

тока / х

(см. выражение

6.36):

(fe4Q4+ 4 f t 2 Q 2 — 1 - 2g2

—.|«)

^

0.

dl

(1 + & 2 Q 2 ) 2 + 2g2

(1 — fe2Q2) + | 4

[ ( l + f c 2 W +

2|2 (1

_ f e 2 Q 2 ) ' + | 4 ] 2 :

Получим три корня:

1+kQ

i / 4 +

^Q%

Ір' = 0,

Êp = + ] / - l + Ä Q ] / 4 + Ä 2 Q 2 >

Первый

и третий

корни

имеют физический смысл в том случае,

если они вещественны, т. е. при

AQV4 -Ь £2 Q2

1.

Если в последнем соотношении справедлив знак равенства, то

kQ =

0,49 и все три корня совпадают, т. е. I =

0.

При

kQ <

0,49 также

существует только один корень \ = 0,

при котором ток 1г приобретает максимальное

значение. При зна­

чении

kQ >

0,49

кривая

проходит

через

минимум при ІР ' = 0

и через максимумы при значениях расст­

ройки

|р и |р". Кривые зависимости

отно­

.h

(опт)

сительных

значений

тока

в

первичном

щ

контуре -М-

от обобщенной

расстройки

W

'ЮПТ

изображены

на рис. 6.22. Здесь

под / 1 о п т

/ ffl 0,8

\>üCVö = J

подразумевается

первичный ток при опти­

мальной связи между контурами, опреде­

ленный по формуле (6.10).

Форма

частотной

характеристики

пер­

6 5-І-3-2-1

0 1 2 3 4 5 6 I

вичного

тока

связана с формой

характе­

Рис. 6.22

ристики вторичного тока, а характер этой ,

связи

определяет

к. п. д.

системы и ее cos q>1 в том или ином

режиме

работы. Фазовый

угол между током 1г

в первом контуре и

напряжением

питания 11г

можно

определить,

исходя из формулы