книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

9. Полоса пропускания. Полосой пропускания параллельного контура называется полоса частот, в пределах которой напряжение

уZ

врежиме резонанса. При этом предполагается, что питание контура осуществляется генератором тока.

Предположим, что генератор идеальный и внутренняя прово­ димость его равна нулю.

Сопротивление контура рис. 5.11 в режиме резонанса Rp = Qp. Сопротивление того же контура при частоте, близкой к резонансной, когда активные сопротивления ветвей много меньше их реактивных

Qp

VT+F'

Отношение напряжения на контуре при расстройке контура к напряжению на контуре в режиме резонанса

С/л

но

Г л а в а ш е с т а я СВЯЗАННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

§ 6.1. Взаимная индукция

В предыдущих главах были рассмотрены электрические цепи, в которых электромагнитная энергия из одного контура цепи в дру­ гой передавалась с помощью проводов. В электрических устрой­ ствах связи передача энергии и связь между контурами часто осу­ ществляется путем взаимоиндукции.

Если магнитный поток, создаваемый током в одном контуре, пронизывает другой какой-либо контур, то эти два контура назы­ вают магншпосвязанными. Магнитная связь между контурами может быть специально создана, и в этом случае она полезна, а может быть и паразитной, т. е. существующей между контурами или эле­ ментами цепи вопреки желанию конструктора.

1. Взаимная индуктивность. На рис. 6.1 изображены два магнитосвязанных контура. В контуре 1 протекает ток іх. Магнитный поток Ф х , создаваемый этим контуром, пропорционален току в кон­ туре, так как никаких ферромагнитных материалов ни сами кон­ туры, ни окружающая их среда не содержат. Если контур состоит из нескольких витков wlt то потокосцепление этого контура Wlt т. е. сумма магнитных потоков, сцепленных с отдельными витками контура, тоже пропорциональна току в контуре г'х.

Коэффициент пропорциональности, связывающий потокосцепле­ ние контура с создающим его током в контуре, как уже упомина­

пронизывающего контур, направление потока, связанное с направ­ лением тока в контуре правилом буравчика. При этом условии индуктивность контура — величина положительная.

Часть магнитного потока, создаваемого током іх, пронизывает витки второго контура. Потокосцепление со вторым контуром также пропорционально току іх:

где ^F21 — потокосцепление со вторым контуром, создаваемое током в первом контуре. Коэффициент пропорциональности называется взаимной индуктивностью. (Условимся при обозначении величин буквой с двойным индексом второй цифрой индекса считать номер контура, создавшего эту физическую величину.)

142

Взаимная индуктивность представляет собой отношение потокосцепления с одним контуром к создающему его току в другом кон­ туре. Один из контуров считается первым, другой — вторым. При этом совершенно безразлично, какой из контуров считать первым. Можно показать, что взаимная индуктивность, определяемая как xP2Jh> когда магнитный поток создается током в первом контуре, или как Ч?п/і2, когда поток создается током во втором контуре и ^¥1 2 — поток сцепления с первым контуром, — есть одна и та же величина.

Определим взаимную индуктивность между дву­ мя обмотками, намотанны­ ми равномерно на один и тот же кольцевой сердеч­ ник по всей его окружно­ сти, предполагая, что маг­ нитный поток, создаваемый любой из обмоток, замы­ кается внутри сердечника.

ние потоков сцепления с первой обмоткой к создающему его току во второй обмотке, то выражение M осталось бы прежним.

Перемножим выражения индуктивностей обеих обмоток и срав­ ним произведение с выражением взаимной индуктивности. Получим

143

полностью пронизывает и вторую. В действительности это не так. Часть магнитного потока, создаваемого обмоткой, охватывает только эту обмотку и не связана с другой (см. рис. 6.1). Эта часть магнит­ ного потока называется потоком рассеяния. Поэтому M<YLXL2. Неравенство можно заменить равенством, введя коэффициент k, именуемый коэффициентом связи между обмотками:

Если бы обе обмотки были абсолютно одинаковы, коэффициент связи между обмотками представлял бы собой отношение потока, пронизывающего вторую обмотку, к потоку, создаваемому первой:

Например, если считать, что каждая силовая линия на рис. 6.1 изображает некоторый определенный поток, то коэффициент связи между контурами равен 64%. Когда же L x L 2 , коэффициент связи определяет отношение взаимной индуктивности к среднему геомет­ рическому из индуктивностей обеих обмоток.

2. Э. д. с. взаимной индукции. Допустим, что взаимная индук­

поток, пронизывающий второй контур, окажется также переменным. Переменный магнитный поток, пронизывающий второй контур, вызовет в этом контуре появление индуктированной э. д. с. Э. д. с.

взаимной индукции

^ dt т dt

Знак «минус» в этом выражении определяет направление индук­ тированной э. д. с. е2. Оно таково, что вызываемый ею ток і2 стре­ мится сохранить поток, пронизывающий второй контур неизменным. Так, при увеличении тока іх во втором контуре возник бы ток і2 такого направления, при котором создаваемый им магнитный поток сквозь этот контур был бы направлен навстречу увеличивающемуся потоку, создаваемому током в первом контуре. Этот закон был от­ крыт и сформулирован русским академиком Ленцем (1804—1865 гг.).

Синусоидально изменяющиеся г, и <?2 можно представить в форме вещественных или мнимых частей комплексных выражений (4.7) и (4.8):

при подстановке самих комплексных выражений (см. § 4.2):

откуда

Ёш = — j®M hm ИЛИ £ 2 = — /«M /і-

§ 6.2. Согласная и встречная работа катушек

Пусть в двух магнитосвязанных катушках протекают синусои­ дальные токи одинаковой частоты. Создаваемые ими магнитные потоки будут также синусоидальными функциями времени. Каждая из катушек при этом пронизывается двумя магнитными потоками.

Рис. 6.2

Один из них есть поток самоиндукции катушки Ф/.. Это поток, создан­ ный током той же катушки. За положительное направление этого магнитного потока принято направление потока, создаваемого током в катушке. При этом предполагается, что направление тока в катуш­ ке совпадает с выбранным его положительным направлением.

Для того чтобы определить при этом условии направление потока, необходимо знать также и направление намотки витков катушки.

На рис. 6.2 указаны положительные направления токов в об­ мотках катушек и видны направления намотки витков. На основа-

145

нии этих данных легко определить положительные направления потоков самоиндукции катушек с помощью правила буравчика.

Общий поток, пронизывающий первую катушку,

Аналогичное можно сказать и о второй катушке.

На рис. 6.2 магнитные потоки складываются, образуя поток связи Ф н ,

и потоков понимаются их положительные направления, указанные

Рис. 6.3

на рисунках стрелками. Следует отметить, что при определении результирующих потоков мы пользовались сложением потоков в со­ ответствии с принципом наложения. Это оказалось возможным потому, что рассматриваемая система не содержала ферромагнитных элементов, и поэтому связь между потоками и создающими их то­ ками линейна.

На рис. 6.2 поток самоиндукции каждой катушки и поток вза­ имной индукции, создаваемый другой катушкой, внутри катушки совпадают по направлению. В этом случае говорят, что катушки работают согласно. На рис. 6.3 потоки самоиндукции катушек и потоки взаимной индукции противоположны по направлению. Катушки работают встречно.

146

При изменении токов в катушках магнитные потоки, пронизы­ вающие эти катушки, изменяются, и в катушках наводятся э. д. с :

При синусоидальных токах и напряжениях эти напряжения мож­ но записать в комплексной форме:

Ux = /coLi/і ± j(ùMÏ2 и Û2 = j(ùLj2 ± fwMÎi.

При этом знак «плюс» между слагаемыми должен быть поставлен при согласном включении катушек, а знак «минус» — при встреч-

Рис. 6.4

ном. Если конструкция системы не известна, то определить характер (согласный или встречный) работы катушек на схеме невозможно,

иавтор схемы обязан снабдить изображения катушек особыми метками, которые позволили бы читателю определить характер работы катушек при выбранных читателем положительных направ­ лениях токов. Таким образом, знание конструкции магнитопровода

инаправления намоток необходимо для расчета цепей со взаимной индукцией, но до выбора положительных направлений токов харак­ тер работы катушек еще не может быть определен.

На рис. 6.4, а изображен магнитопровод с тремя катушками. Указав стрелками положительные направления токов, определяем, что при этом катушки 1-я и 2-я работают согласно; 2-я и 3-я —

147

согласно, а 1-я и 5-я — встречно. На рис. 6.4, б изображена та же схема с тремя катушками, но без указания конструкции магнитопровода и направления намоток. Для выяснения характера работы катушек следует указать положительные направления всех трех токов и при помощи специальных значков — зажимы катушек. Если окажется, что токи в катушки входят одинаково по отношению к оди­ наковым меткам у зажимов катушек, то эти катушки включены согласно. Например, если на рис. 6.4, б за положительные направ­ ления токов во всех трех катушках выбрать направления слева — направо, то согласно маркировке окажется, что 1-я и 2-я катушки работают согласно, так как токи в катушки входят со стороны одина­ ковых для обеих катушек меток (звездочки). Катушки /- я и 3-я работают встречно, так как через зажимы, отмеченные одинаково (кружками), ток в катушку / входит, а из катушки 3 выходит. Катушки 2 и 3 работают согласно, так как ток входит в обе катушки через зажимы, отмеченные одинаково треугольниками.

При других положительных направлениях токов может ока­ заться, что катушки, работавшие в первом варианте положительных направлений токов согласно, во втором варианте окажутся работа­ ющими встречно. Но это изменение направлений токов на резуль­ тате расчетов не скажется, так как положительное направление тока в одной из катушек изменится вместе с изменением характера сов­ местной работы катушек.

§ 6.3. Последовательное и параллельное соединение катушек

Предположим, что две реальные катушки, магнитосвязанные между собой, соединены последовательно и подключены к источнику синусоидального напряжения (рис. 6.5),

-0 гѵ> 0-

Напишем второе уравнение Кирхгофа для рассматриваемого контура, учитывая согласную работу катушек:

148

индукции этой катушки. Третье слагаемое M — падение напря­ жения в первой катушке, вызванное э. д. с. взаимоиндукции, создан­ ной током второй катушки, и т. д. Перепишем уравнение для после­ довательного включения катушек в комплексной форме:

кировке при одном и том же направлении тока через катушки они работают согласно.

Рассмотрим подробней последние выражения для последователь­ ного встречного включения катушек. Если бы две магнитосвязанные катушки мы решили бы заменить двумя катушками, не связанными магнитно между собой, но так, чтобы общий ток и падения напряжения^на катушках оставались прежними, то индуктивности катушек следовало бы взять равными

L 1 9 = L 1 — M и L 2 9 = L 2 — M.

Предположим, что при одном и том же токе магнитный поток, создаваемый первой катушкой, больше, чем второй, и что, следова­ тельно, L x > L 2 . Первую катушку назовем большей, а вторую — меньшей. Допустим, что катушки сблизили настолько, что взаимная индуктивность M оказалась равной индуктивности меньшей ка­

тушки M = L 2 .

При этом эквивалентная индуктивность меньшей катушки равна нулю и, следовательно, равен нулю суммарный поток, пронизываю­ щий эту катушку. При дальнейшем сближении катушек эквива­ лентная индуктивность меньшей катушки окажется отрицательной:

напряжение на большей катушке окажется больше напряжения, приложенного ко всей цепи. Изменение фазы напряжения на мень­ шей катушке при увеличении M объясняется тем, что поток взаимо­ индукции, посылаемый большей катушкой в меньшую, оказался больше потока самоиндукции меньшей катушки. Фаза э. д. с. между зажимами катушки теперь определяется уже не собственным

149