книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

ние хс будет уменьшаться, принимая последовательно все возможные

,1

Отсюда угловая резонансная частота

1

(5.2)

и резонансная частота

1

ІпѴІС'

В дальнейшем, если параметры контура подобраны так, что его резонансная частота совпадает с частотой питающего напряжения, будем говорить, что контур настроен в резонанс с частотой питания.

Резонансную угловую частоту в общем случае электрической цепи условимся обозначать через сор.

Угловую частоту, равную 1/J^LC, будем обозначать через со0:

(5.3)

Следовательно, угловая резонансная частота последовательного контура Op = со0 . Индуктивному сопротивлению при резонансной частоте можно придать другой вид. Для этого вместо сор подставим ее выражение

в той же форме:

Эту величину, являющуюся важным параметром контура, назы­ вают характеристическим сопротивлением контура и обозначают

120

буквой р:

работающего в режиме резонанса, изображена на рис. 5.3. Так как

мгновенное значение энергии магнитного поля индуктивности опре­ деляется выражением

wa = = cos2 со/.

Теперь можно доказать, что мгновенное значение общего запаса электромагнитной энергии последовательного контура при резо­ нансе не является функцией времени, а представляет собой постоян­ ную величину:

На рис. 5.4 построены кривая мгновенных значений тока в кон­ туре, кривая мгновенных значений напряжения на конденсаторе

121

и кривые ш, и ai,. Ординаты горизонтальной прямой w3 + wM пред­ ставляют собой мгновенные значения общего запаса электромагнит­ ной энергии контура при резонансе. Этот запас энергии контура на­

при резонансе напряжений происходит периодический обмен энер­

новившемся режиме работы цепи. Считаем, что запас электро­ магнитной энергии цепь получила после ее подключения к генера­ тору, а момент подключения цепи к генератору был столь давно, что режим в-цепи можно считать установившимся.

Для удобства дальнейшего исследования введем новые пара­ метры контура, характеризующие его резонансные свойства.

Величина, обратная добротности контура, называется затуханием контура:

Добротности контуров, используемых в высокочастотной прак­ тике, в зависимости от качества деталей колеблются для контуров среднего качества от 50 до 100, хорошего качества —х>т 100 до 200, а контуров отличного качества добротность превышает 200. Послед­ ние используются главным образом в измерительных схемах.

Легко показать, что добротность контура определяет отношение запаса электромагнитной энергии контура при резонансе к энергии, поглощаемой в этом режиме активным сопротивлением контура

122

за один период изменения тока в контуре. Действительно, колеба­ тельная энергия контура

wM + w3 =

Это выражение является наиболее общим определением доброт­

цепей большой интерес представляет состояние этих цепей при раз­ ных частотах питающего напряжения.

Кривые зависимости напряжений на отдельных участках кон­ тура, тока в контуре, угла сдвига фаз между напряжением и током

Построим эти характеристики. Для этого предположим, что амп­ литуда напряжения, приложенного к цепи, остается неизменной, а частота его изменяется от значений весьма малых до значений много больших резонансной частоты цепи. Для простоты исследо­ вания будем изменять частоту со от 0 до со и при этом считать актив­ ное сопротивление цепи постоянным.

Проследим за изменением тока в контуре. При частоте, равной нулю, сопротивление конденсатора будет бесконечно большим, и ток в контуре равен нулю. При бесконечно большой частоте сопро­ тивление индуктивности окажется бесконечно большим, и ток в кон­ туре опять будет равным нулю. Если функция, оставаясь положи­ тельной, дважды приобретает значение, равное нулю, она должна иметь хотя бы один максимум. Своего максимального значения ток достигает при частоте, равной резонансной.

123

Далее проследим за изменением напряжений на емкости и индук­ тивности.

При частоте, равной нулю, сопротивление конденсатора беско­ нечно велико, и приложенное ко всей цепи напряжение окажется на зажимах конденсатора. При этом сопротивление катушки и напряжение на ней равны нулю (рис. 5.5). Наобо­ рот, при бесконечно большой частоте катушка представляет собой разрыв цепи (сопротивление ее будет равно со), и напряжение на ее зажимах рав­ но приложенному к цепи напряжению, а напряжение на конденсаторе равно нулю. При резонансной частоте на­ пряжения на индуктивности и емко­ сти равны между собой. Докажем, что при резонансной частоте отношение напряжения на индуктивности и, сле­ довательно, на емкости к напряже­ нию, приложенному ко всему после­

довательному контуру, равно добротности контура. Действительно, при резонансной частоте напряжение на индуктивности

Таким образом, если последовательный контур настроен в резо­ нанс, то напряжение на индуктивности и на емкости может в де­ сятки и сотни раз превышать напряжение, приложенное ко всему контуру. Это свойство последовательного контура используется в технике связи как «усиление по напряжению» и послужило основанием для наименования режима — резонансом напряжений.

Кривая зависимости напряжения на емкости от частоты может иметь максимум при некотором соотношении между параметрами контура. При частоте со напряжение на емкости

Чтобы определить со, соответствующую максимуму Uc, найдем производную подкоренного выражения по со и приравняем ее нулю:

2сог2 С2 + 2 (co2LC - 1) 2coLC = 0.

После несложных алгебраических преобразований получаем выражение угловой частоты, при которой напряжение на конденса-

124

торе будет иметь максимальное значение:

V.LC

где d — затухание последовательного контура, равное rl р, а со0 =

Следовательно, при d2 < 2 напряжение Uc будет иметь максимум. Так как 1/ — ^ — <СІ, напряжение на конденсаторе дости­ гает максимального значения при частоте, более низкой, чем резо­

нансная.

Аналогично можно показать, что напряжение на индуктивности достигает максимума при угловой частоте

контура носит емкостный характер, при резонансной частоте — активный, а при частоте большей, чем резонансная, — индуктив­ ный.

4. Последовательный контур при узкой полосе частот. В технике связи особенно часто приходится иметь дело с контурами высокой добротности, работающими в диапазоне частот, мало отличающихся от резонансной. В этом случае расчетным формулам можно придать более общий вид, если в них ввести новые независимые переменные.

Назовем обобщенной расстройкой величину, равную отношению реактивного сопротивления контура к его активному сопротивле­ нию:

При резонансе обобщенная расстройка равна нулю. Чем больше (по абсолютной величине) обобщенная расстройка, тем больше расстроен контур.

При частоте, отличной от резонансной, реактивное сопротивление

X = (ùL —]гГ.

125

вует нормальному режиму работы контуров в устройствах связи.

Относительная расстройка контура может быть как положитель­ ной, так и отрицательной величиной. В нормальном режиме работы

Отношение тока в контуре при угловой частоте со к току в кон-' туре при угловой частоте сор при том же напряжении питания можно выразить теперь различно:

При построении частотных характеристик удобно пользоваться относительной расстройкой контура в качестве независимой пере­ менной. При такой независимой переменной частотные характери­ стики окажутся симметричными кривыми и для разных контуров будут совпадать при равных добротностях этих контуров.

126

Кривые зависимости / / / р от относительной расстройки (резонанс­ ные характеристики) при разных значениях Q приведены на рис. 5.6,

Рис. 5.6

а на рис. 5.7 изображены фазо-частотные характеристики контуров тех же добротностей, построенные по уравнениям:

Однако в реальных условиях ошибка, вносимая этим приблизитель­ нымСледуеравенствомнапомнить,, очень малачто .ѵМожнтолькопоказать,приблизительнразностчто равноь между2

127

а для верхней

= + d.

Ширину полосы пропускания одиночного последовательного кон­ тура можно найти как разность между граничными частотами

128