книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Таким образом, первый закон Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма комплексных выражений токов в ветвях, связанных общим узлом, равна нулк).

Для доказательства справедливости второго закона Кирхгофа в комплексной форме запишем для произвольного замкнутого кон­

ствам (4.7) и (4.8) можно представить в виде вещественных или мни­

или соответственно мнимых их частей, оно останется справедливым и при подстановке самих комплексных величин. Отметим, что ампли­ тудные значения токов и э. д. с. и их начальные фазы не являются функциями времени и могут быть вынесены за знаки производных

Если комплексное сопротивление каждой ветви контура обозна­ чить буквой Zk, последнее уравнение примет более простой вид:

Для действующих значений это же уравнение запишется так:

2 / = S £ Ä .

по

Доказательства справедливости этих методов расчета и выводов расчетных формул здесь не приводятся. Это было бы повторением материала гл. I I с той только разницей, что вместо г, g и Е, U, / для цепей постоянного тока при расчете линейных цепей при синусои­ дальном переменном токе символическим методом следует писать Z, Y и Ê, Ü, I соответственно.

Таким образом, введя вместо векторов отображающие их комп­ лексные выражения, получаем возможность расчета цепей перемен­ ного тока всеми методами расчета сложных цепей, рассмотренными в гл. П. Все заданные э. д. с , напряжения или токи должны быть записаны в комплексной форме с учетом выбранных и нанесенных на схему их положительных направлений. Положительное направ­ ление напряжения на любом двухполюснике, как правило, выбира­ ется совпадающим с положительным направлением тока. Одна из заданных функций времени может быть записана с начальной фазой, равной нулю, т. е. в виде вещественного числа.

1. Метод контурных токов. Рассчитывая сложную цепь методом контурных токов, уравнения Кирхгофа для контурных токов в об­ щем случае n-контурной схемы необходимо записать в следующей форме:

JП^ц + 122^12 -\- І-ЗЗ^ІЗ + • • • + ^ringln — Elb ^

+jXnk — сопротивление, общее для k-то и n-го контуров. Сопро­

Ekk — сумма действующих в /г-м контуре э. д. с , записанных в комплексной форме. В сумму входят со знаком плюс э. д. с , поло­ жительные направления которых совпадают с выбранным направ­ лением обхода контура.

Значение тока в любом контуре можно записать с помощью формулы, подобной формуле (2.7), не составляя предварительно системы уравнений.

Следует повторить, что перед расчетом цепи любым методом необходимо на схему нанести заданные или выбранные положитель­ ные направления э. д. с. и токов. (

2. Метод узловых напряжений. При расчете цепи методом узло­ вых напряжений уравнения для узловых напряжений относительно опорного узла с потенциалом ф0 = 0 для цепи, содержащей п + 1

112

3. Преобразование треугольника в эквивалентную звезду. Фор­ мулы преобразования сторон треугольника в лучи эквивалентной

113

звезды в комплексной форме подобны тем же формулам для цепей при постоянном токе. Например, для узла-а (см. рис. 2.24)

са

Следует отметить, что вещественная часть Za может оказаться отрицательной. Такое сопротивление в пассивной линейной элект­ рической цепи создать невозможно. При расчете цепей любым дру­ гим методом отрицательная вещественная часть сопротивления или

в эквивалентную звезду отрицательная вещественная часть свиде­ тельствует лишь о том, что замена реального треугольника эквива­ лентной реальной звездой физически невозможна. С расчетной же точки зрения это преобразование возможно и расчет может быть продолжен.

4. Метод эквивалентного генератора. Метод наложения. При расчете сложной электрической цепи методом эквивалентного гене­ ратора напряжения искомый ток в ветви определяется согласно закону Ома:

Ê,.

н

где э. д. с. эквивалентного генератора Е3. г и его внутреннее сопро­ тивление 1Ъ г определяются так же, как и при расчете цепей при постоянном токе.

Расчет цепей методом эквивалентного генератора тока, методом наложения и другим любым методом принципиально не отличается от расчета подобных цепей постоянного тока. Для расчета сложной цепи любым из перечисленных методов все сопротивления ветвей следует записывать в комплексной форме. Все э. д. с. генераторов или их задающие токи необходимо записывать в комплексной форме с учетом начальных фаз этих синусоидальных функций времени. В каждой ветви нужно указывать положительные направления задан­

Для исследования цепей может быть использован принцип дуаль­ ности. При преобразованиях исходных цепей в дуальные, при за­ мене всех величин дуальными сопротивления ряда последователь­ ных элементов Z = г + / (ыЬ — п р е о б р а з у ю т с я в проводимость

114

§ 4.4. Мощность переменного тока в комплексной форме

Если известны напряжение и ток в двухполюснике в комплекс­ ной форме, можно определить мощность, поступающую в него. При этом напрашивается мысль, что для этого следует комплексное напряжение Û — Uda умножить на комплексный ток / = /е'Р. Однако такое произведение не имеет никакого смысла. Оно будет содержать сумму начальных фаз a -f- ß и, следовательно, окажется зависимым от начальных фаз напряжения и тока, т. е. от момента наблюдения.

Р = UI cos ф = UI cos (а - ß).

Но UI cos (а — ß) есть вещественная часть комплексного выра­ жения

Аналогично реактивную мощность

Q = VI sin ф = UI sin (а - ß)

можно представить в виде мнимой части того же комплексного выражения.

Таким образом, если комплексное напряжение Ü = Ue'a умно­ жить на комплексную величину, сопряженную с комплексным выра-

*

жением тока / = Іе~№, то вещественная часть полученного произ­ ведения будет представлять собой активную мощность, поступаю­ щую в двухполюсник, а мнимая — реактивную. (Звездочкой над

*

/ будем обозначать комплексную величину, сопряженную с комп­ лексной величиной /.)

Комплексная полная мощность

S = ÛÎ= Ue/aIe->V = иіе/ч> = UI cos Ф + jUI sin ф = P + jQ. (4.14)

Если мнимая часть комплексного выражения полной мощности по­ ложительна, то двухполюсник обладает индуктивной реакцией.

(вещественная и мнимая части этого выражения 5 имеют тот же смысл активной и реактивной мощностей соответственно).

115

При работе любой электрической цепи должен иметь место ба­ ланс мощностей, иными словами, алгебраические суммы активных и реактивных мощностей, развиваемых генераторами, должны равняться, .соответственно, алгебраическим суммам активных и реак­ тивных мощностей, поступающих во все пассивные элементы цепи, включая и внутренние сопротивления генераторов.

Полная-мощность, развиваемая генератором, есть произведение э. д. с. генератора, записанной в комплексной форме, на комплекс­ ную величину, сопряженную с комплексным выражением тока через генератор:

ÉI*=P0 + jQ0.

Полная мощность, поступающая в любой пассивный элемент цепи,

ÜI*=P + jQ,

где Û — напряжение на этом пассивном элементе.

Полную мощность, поступающую во внутреннее сопротивление

Если активная мощность, развиваемая генератором или отдавае­ мая генератором во внешнюю цепь, окажется отрицательной, то дан­ ный генератор не отдает, а поглощает энергию, т. е. является при­ емником.

Когда в цепи работает один генератор напряжения, мощность, отдаваемая им во внешнюю цепь, будет наибольшей, если эквива­ лентное реактивное сопротивление внешней цепи будет равно и про­ тивоположно по знаку внутреннему реактивному сопротивлению

116

Ток будет максимальным при заданных активных сопротивле­ ниях, если подобрать х — —xt. В этом режиме

Мощность Р = Рг, расходуемая во внешней цепи, будет макси­ мальной, если, кроме того, активное сопротивление внешней цепи подобрать равным активному сопротивлению генератора. Доказа­ тельство этого не отличается от приведенного в § 2.5.

Таким образом мощность, отдаваемая приемнику, максимальна, если полное сопротивление приемника и полное внутреннее сопро­ тивление генератора — сопряженные комплексы.

§ 4.5. Мост Витстона на переменном токе

Классическим примером применения символического метода при анализе электрических цепей может служить задача о равнове­

Отсутствие тока в диагонали свидетельствует о том, что мгно­ венное значение напряжения между точками а и b равно нулю в лю­

между собой не только по величине, но и по фазе. Равенство же двух величин по модулю и по фазе соответствует равенству их комп­ лексных выражений: Û\ = £74.

Предположив, что тока в диагонали нет, обозначим ток в сопро­ тивлениях Zl и Z a через 1Ъ а в сопротивлениях Z 3 и Z 4 через / 2 . Тогда

iiZi — /2Z4 и /]Z2 — izZ3.

Разделив первое равенство почленно на второе, получим условие

117

Г л а в а п я т а я РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Резонансом называют такой режим, при котором в цепи, содер­ жащей реактивные сопротивления, ток совпадает по фазе с напряже­ нием на зажимах цепи. Если в резонансе находится цепь, содержа­

Если в резонансе находится разветвленная цепь, содержащая парал­ лельно соединенные участки, имеющие индуктивный и емкостный характер, режим называется резонансом токов.

Режим резонанса в технике электрической связи и автоматике играет чрезвычайно важную роль, поэтому он должен быть подробно исследован.

§5.1. Последовательный колебательный контур

1.Основные соотношения. Электрическая цепь, схема которой

изображена на рис. 5.1, называется последовательным колебательным контуром или просто последовательным контуром.

Пусть последовательный контур подключен к источнику сину­ соидального напряжения и работает в режиме резонанса. При этом угол сдвига фаз между током и напряжением, приложенным к кон­ туру, должен быть равен нулю (ср = 0). Из выражения tgcp =

— видно, что ток в последовательном контуре может совпадать с напряжением по фазе при условии

Это равенство, являющееся условием резонанса напряжений, говорит о том, что резонанса напряжений всегда можно добиться изменением в широких пределах индуктивности L , емкости С или частоты / приложенного к контуру напряжения. Если изменять, например, частоту / приложенного к контуру напряжения от 0 до оо, то индуктивное сопротивление будет увеличиваться от хі — 0 дохі = оо (рис. 5.2). При таком изменении f емкостное сопротивле-

119