книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

уравнений Кирхгофа для дуальных цепей вытекает подобие урав­ нений контурных токов для исходных цепей и узловых напряжений для дуальных цепей.

Сравнивая обе дуальные схемы и продолжая обобщения резуль­ татов сравнения, устанавливаем, что генератор напряжения и гене­ ратор тока являются дуальными активными элементами электриче­ ских цепей. На рис. 3.32 генераторы очерчены пунктирными лини­ ями. Последовательному соединению элементов в исходной цепи соответствует параллельное соединение дуальных элементов в дуаль­ ной цепи. Контуры и узлы дуальных цепей следует считать дуальными топологическими элементами, так как при построении дуальных

другой из дуальных цепей. Это подобие справедливо при любых фор­ мах напряжений и токов питания в переходных и установившихся режимах работы дуальных цепей.

Очевидно,- что использование свойств дуальности позволит вдвое сократить общее число исследований линейных электрических цепей. Например, исследование цепи, питаемой источником синусо­ идального напряжения, содержащей g и С в параллельном соедине­ нии, можно заменить исследованием цепи, с г и L, соединенными последовательно и питаемыми генератором тока. Векторные и вре­ менные диаграммы обеих цепей будут подобны, если обозначения векторов и кривых заменить на дуальные. Эти замены ясны из срав­ нения векторных диаграмм, построенных для исходной и дуальной цепей (рис. 3.33, а, б). Частотные характеристики токов в исходной цепи и напряжений в дуальной должны быть также подобны. Инте­ ресно отметить, что емкостный характер нагрузки исходной цепи превращается в индуктивный характер нагрузки дуальной.

Построение цепи, дуальной по отношению к заданной сложной цепи, поясним с помощью примера. В качестве исходной задана цепь рис. 3.34, а; требуется построить дуальную цепь. Схема задан-

1UÜ

ной электрической цепи разбила всю плоскость рис. 3.34, а на три области — две области внутри простых контуров схемы и третью вне самой схемы. Каждая из этих областей будет соответствовать узлу-дуальной цепи. Эти узлы отметим точками a, b и d. Проведем штриховые линии, соединяющие узлы так, чтобы каждая из них проходила через один элемент исходной цепи один раз и не пере­ секала бы при этом соединительных проводов исходной цепи. Эти линии явятся ветвями дуальной цепи. В каждую из этих ветвей нужно ввести элемент, дуальный тому, который в исходной цепи пересекла соответствующая штриховая линия. На рис. 3.34, б показаны три узла дуальной цепи и связывающие их ветви. Нижние

Рис. 3.34

индексы исходных и дуальных элементов цепей сохранены одина­ ковыми. Можно убедиться в том, что уравнения для контурных токов цепи рис. 3.34, а подобны уравнениям узловых напряжений для цепи рис. 3.34, б. Узел d на рис. 3.34, б, соответствующий внешней области, при составлении узловых уравнений считают опорным. Положительные направления э. д. с. и задающих токов в дуаль­ ной цепи можно установить на основании следующей рекомен­ дации.

Если при обходе ячеек исходной цепи в направлении движения часовой стрелки положительные направления напряжений на двух­ полюсниках совпадают с направлением обхода, то за положительные направления токов через дуальные двухполюсники в дуальной цепи следует выбрать направления от узлов, помещенных внутри ячеек исходной цепи. Напомним, что за положительные направления на­ пряжений на пассивных двухполюсниках и на источниках приняты направления от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом.

101

Г л а в а ч е т в е р т а я СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД (МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД)

§4.1. Основы символического метода

Вгл. I I I были рассмотрены процессы в линейных электрических цепях, содержащих активные сопротивления, индуктивности и ем­ кости, при питании этих цепей синусоидальным напряжением. Мы убедились в том, что в установившемся режиме токи в этих цепях также изменяются по закону синуса. Действующие или амплитуд­ ные значения этих токов и напряжений на отдельных участках цепи изображались с помощью векторов на векторной диаграмме. Иссле­ дование и расчеты цепей основывались на применений законов Кирх­ гофа, приводивших к геометрическим действиям сложения и вычи­ тания векторов токов и напряжений. С помощью векторных диаграмм можно производить и расчеты цепей, однако в случае сложных цепей

эти расчеты были бы сложны и требовали бы большой точности в соблюдении масштабов диаграмм.

Развитие электроэнергетики и техники связи потребовало раз­ работки инженерного аналитического метода расчета электриче­ ских цепей, позволяющего использовать уже хорошо известные приемы расчета сложных цепей постоянного тока. Таким методом расчета электрических цепей переменного тока явился символиче­ ский метод или метод комплексных амплитуд. Символический метод является формальным переводом геометрических операций над век­ торами на язык алгебры комплексных чисел.

1. Вектор на комплексной плоскости. Плоскость векторных диаграмм будем считать комплексной плоскостью.

В отличие от обозначения У—1 через і, принятого в математике, будем обозначать у—1 буквой /, так как в теории электрических цепей і — обозначение мгновенного значения тока. По оси абс­ цисс на комплексной плоскости будем откладывать действительные (вещественные) части комплексных чисел m + jn, а по оси ординат — их мнимые части *. Положительные значения m будем откладывать вправо от начала координат, а отрицательные — влево от него. Положительные значения п условимся откладывать вверх от начала координат, а отрицательные — вниз от него.

* Коэффициент при мнимой части комплексного числа п для краткости часто

именуют просто мнимой частью комплексного числа. Этим сокращением наиме­ нования величины п мы будем пользоваться в дальнейшем.

103

ным направлением оси вещественных значений, U' и U" — проек­ ции вектора на оси вещественных и мнимых значений соответственно.

в комплексной форме. Мгновенные значения синусоидальной функ­ ции времени (см. гл. III) изображали в виде проекции вращающегося вектора на неподвижную ось. При этом длина вектора изображала амплитудное значение отображаемой им функции времени.

Вращающийся вектор можно также записать в комплексной форме. Действительно, как мы уже отмечали, геометрически аргу­ мент комплексного числа представляет собой угол между направле­ нием вектора на комплексной плоскости и положительным направ­ лением оси вещественных значений. Если этот угол увеличивается с течением времени, вектор вращается вокруг полюса в направле­ нии, противоположном направлению вращения часовой стрелки. При равномерном вращении вектора с угловой скоростью со, если начальная фаза отображаемой вектором физической величины равна нулю, угол равен со/.

В любой момент времени положение вращающегося вектора опре­ деляется комплексным числом (например, для тока):

Если начальная фаза тока не равна нулю, т. е. если при / = О направление вектора тока создавало с положительным направле­ нием оси вещественных значений угол а, комплексное выражение вращающегося вектора ît приобретает несколько более сложный вид:

можно записать Іт — Іт.

Возвращаясь к комплексному выражению вращающегося век­ тора, напишем его в тригонометрической форме:

h = /«е""* = 1те>{ < м + а ) = Іт cos (со/ + а) + //,„ sin (со/ + а).

Вещественная часть комплексного выражения j t представляет собой мгновенное значение гармонического тока, если этот ток запи­ сать в форме косинусоидальной функции времени:

і — /OT cos (at-{-а).

Мнимая часть этого же выражения представляет собой мгновен­ ное значение гармонического тока, если этот ток записать в форме синусоидальной функции времени:

і — Іт sin (cùZ + a).

105

Следовательно, вещественная и мнимая части комплексного выражения lt представляют собой мгновенные значения гармони­ ческой функции времени, сдвинутые между собой на четверть пе­ риода.

Если в виде мгновенного значения выбрана вещественная часть этого комплексного выражения, то перед І( пишут Re (от латин­ ского слова Realis — вещественный, реальный). Если в виде мгно­ венного значения выбрана мнимая часть комплексного выражения, то перед I t пишут Im (от латинского слова Imaginarius — мнимый). Таким образом, мгновенное значение синусоидального тока можно выразить через комплексное выражение вращающегося вектора:

При исследовании электрических цепей часто необходимо от вы­ ражений токов в комплексной форме переходить к выражениям их мгновенных значений. Для этого комплексная амплитуда тока запи­ сывается в показательной форме:

Затем она умножается на оператор вращения е'Ч*. Вещественная или мнимая части полученного комплексного

выражения вращающегося вектора І( будут представлять собой (выражения мгновенных значений гармонического тока, сдвинутые между собой на Г/4.

і = Re (lt) = I m cos (Ш + a). i = Im (//) = I m sin ((ùt-\-a).

Переход от комплексных выражений напряжений и э. д. с. к выражениям их мгновенных значений осуществляется подобным же образом.

Выбор действительной или мнимой части (см. равенства 4.2 и 4.3) является произвольным, но простоты ради следует этот выбор сделать и в дальнейшем от него не отклоняться.

і = Im (Іт&ш1) = Im sin (со^ + a).

106

содержит активное сопротивление и индуктивность. Величина, рав­ ная отношению комплексной амплитуды напряжения, приложен­ ного к приемнику, к комплексной амп­ литуде тока в приемнике называется

где г — уже известное полное сопротивление цепи; а ф — фазовый угол между напряжением и током.

Комплексное сопротивление можно также записать в другом виде:

опережал бы напряжение, угол ф был бы отрицательным и комплекс­ ное сопротивление

Таким образом, если напряжение на приемнике записать в комп­ лексной форме, то, разделив комплексное выражение напряжения на комплексное сопротивление, получим комплексную величину, модуль которой равен току, а аргумент — фазовому углу между напряжением и током:

z •

Это и есть комплексная форма закона Ома.

Величина, обратная комплексному сопротивлению приемника, есть его комплексная проводимость

107

Y = g * - j b = g + j b c .

При записи проводимости в комплексной форме в общем виде мнимая часть комплексного числа пишется со знаком минус. Мнимая часть комплексной проводимости, как было условлено, есть раз­ ность между реактивной проводимостью ветви с индуктивной реак­

cp = a r c t g - .

Предположим, что ветвь содержит активное сопротивление и ин­ дуктивность и, следовательно, ср > 0. Напряжение на ветви и ток в ветви при этом связаны законом Ома в комплексной форме:

0 = ге/Ч.

Это выражение связи между Ü и / для рассматриваемой ветви указывает на то, что модуль напряжения отличается от модуля тока множителем z и что напряжение опережает по фазе ток в ветви на угол ср.

Закон Ома для той же ветви в комплексной форме можно запи­ сать в виде

/ = ye-^Ü.

Из этого равенства видно, что ток отстает по фазе от напряжения на угол ср, так как при умножении на е"/ ф вектор Ü поворачивается по движению часовой стрелки на угол ср.

108

В дальнейшем при всех расчетах электрических цепей при сину­ соидальных токах мы будем пользоваться только методом комплек­ сных амплитуд, и комплексные сопротивления и проводимости ветвей будут служить основной формой записи сопротивлений и проводимостей. Величины zw у будут представлять собой модули их комп­ лексных выражений:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов в ветвях, связан­

Мгновенные значения этих токов можно представить в виде веще­

4 = 1

Так как равенство Si = 0 справедливо при подстановке вместо мгновенных значений вещественных или мнимых частей комплекс­ ных выражений Іш^"^, о н о должно быть справедливым и при подста­ новке вместо мгновенных значений токов самих комплексных выра­

Таким образом, если вместо мгновенных значений токов в первое

Подобное равенство можно написать и для действующих значе­ ний токов.

109