книги из ГПНТБ / Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Среднее значение мгновенной мощности, поглощаемой электри­

В дальнейшем под термином «мощность» будем понимать активную мощность.

Произведение U1 называется полной мощностью и измеряется в вольтамперах (ва):

пропорциональны напряжению, приложенному к его обмотке на­ пряжения, току в его токовой обмотке и косинусу угла сдвига фаз между ними. Полная же мощность измеряется с помощью вольт­ метра и амперметра.

При исследовании и расчетах электрических цепей переменного

При индуктивном характере цепи, т. е. при ф > 0, реактивная мощность положительна, а при емкостном, т. е. при ф < 0, она отрицательна.

Для цепи, содержащей сопротивления в последовательном соеди­ нении, выражениям мощностей можно придать и другой вид:

Q== U15Іпф= Izl Y = I2x [вар].

Вернемся к выражению мгновенной мощности и выясним смысл полученного выражения:

р = иі — UI cos ф — UI cos (2(о/ - f ф) [er].

90

Мгновенная мощность, поступающая в цепь, представляет собой периодическую функцию времени, изменяющуюся с частотой, удвоен­ ной по сравнению с частотой тока или напряжения. Уравнение мгно­

тает то положительное, то отрицательное значения. Во время поло­ жительных значений мощности энергия переносится от источника к приемнику. Частично эта энергия превращается в тепло в актив­ ном сопротивлении и частично идет на увеличение общего запаса электромагнитной энергии полей, создаваемых реактивными эле­ ментами приемника. При

этом, если индуктивность M г | и емкость соединены по­ следовательно, индук­ тивность запасает энер­ гию в той же четверти периода, в течение кото­ рой емкость отдает энер­ гию. Когда же реактив­ ные элементы приемника возвращают энергию ис­ точнику, мощность отри­ цательна. Так как часть энергии, поступающей в приемник, преобразует­ ся в тепло и теряется цепью, энергия, возвра­ щаемая источнику за пе­ риод, меньше энергии, забираемой у него в те­ чение того же времени.

Поэтому площадь, ограниченная огибающей положительных значе­ ний мощности и осью абсцисс, больше площади, ограниченной оги­ бающей отрицательных значений мощности и той же осью (рис. 3.24). Разность этих площадей в масштабе энергии равна энергии, теряемой в активном сопротивлении. На рис. 3.24 дана кривая мощности, поглощаемой приемником с индуктивной реакцией, содержащим г, L и С. Площади положительных и отрицательных значений мощно­ сти для одного периода изменения мощности заштрихованы.

При построении кривой мгновенной мощности, поступающей в приемник, следует исходить из того, что р = иі. Поэтому мгновен­ ная мощность равна нулю в те моменты времени, когда и или і равны нулю. Она положительна, когда и и і одного знака, и отри­ цательна, когда знаки и и і различны.

Мгновенную мощность, поступающую в приемник, можно пред­ ставить в виде двух составляющих:

р = UI cos ср — UI cos (2d)/ + ф) = Р (1 — cos 2wt) - f Q sin 2Ш.

91

Первое слагаемое правой части равенства есть мгновенная мощ­ ность, поглощаемая приемником, а второе — мгновенная мощность, поступающая в реактивные элементы приемника.

На рис. 3.24 построены обе составляющие мгновенной мощности. Первая составляющая рг = і2г — Р (1 — cos 2со/) всегда положи­ тельна, так как активное сопротивление только поглощает энергию. Среднее значение составляющей мощности, поглощаемой только активным сопротивлением, т. е. среднее значение мощности, посту­ пающей в приемник, равно Р = ÛI cos ср, так как среднее значение мощности, поступающей в индуктивность и емкость, равно нулю.

ные элементы цепи возвращают энергию в цепь. Например, в момент tx мощность, поглощаемая всей цепью, равна нулю, а активное сопро­ тивление поглощает энергию, отдаваемую индуктивностью рг =

=— pLC. Следует отметить, что амплитуда мощности, поступающей

вреактивные элементы цепи Q, равна реактивной мощности цепи.

Обмотки электромашинного генератора должны быть рассчи­ таны на определенные напряжение и ток. Поэтому номинальная мощ­ ность генератора обычно указывается в вольтамперах, т. е. в виде полной мощности, которую может отдавать генератор. Средняя же мощность, отдаваемая генератором, зависит еще и от угла сдвига фаз между током и напряжением, который зависит от соотношения между сопротивлениями х я г внешней цепи.

больше коэффициент мощности, тем ближе средняя мощность к пол­ ной. При одном и том же напряжении питания и при одной и той же мощности, поглощаемой приемником, ток в цепи будет зависеть от

понадобится значительно больший ток. При этом генератор может оказаться незагруженным по мощности, но перегруженным по току.

Потери в линии передачи и обмотках генератора зависят от тока в них. Поэтому рациональное использование электрических гене­ раторов и линий передачи электрической энергии возможно только при высоком cos ср приемника.

92

Построение векторной диаграммы для цепи начинаем с вектора, изображающего приложенное к цепи напряжение. Так как это на­ пряжение задано с начальной фазой, равной нулю, изображающий его век­ тор удобно расположить горизонталь­ но (рис. 3.26). При построении диа­ граммы пользуемся действующими значениями токов и напряжений. Век­ тор тока в активном сопротивлении

совпадает по направлению с вектором напряжения. Вектор тока в

Мгновенное значение неразветвленного тока может быть найдено с помощью первого закона Кирхгофа. При выбранных положитель­ ных направлениях токов

* = h + к + к = hm Si" СО/ + ILM Sin ((ut - у ) + /cm Sin (at + y ) .

При построении векторной диаграммы вектор тока в индуктив­ ности IL И вектор тока в емкости Іс строим из конца вектора тока через активное сопротивление / а . Геометрическая сумма этих трех векторов обозначена буквой / без индекса. Согласно векторной диаграмме

i=Vn+(h-ic)*-

Такое простое соотношение получено потому, что токи в ветвях цепи оказались сдвинутыми между собой на угол, равный я/2 ил-и л.

S3

ляющая вектора общего тока, совпадающая по направлению с век­

/р = / і - / о

Полной проводимостью цепи называют величину, равную отно­ шению общего тока в цепи к напряжению на ее зажимах:

/

У = Ѵ .

Активной проводимостью цепи называют отношение средней мощности, расходуемой в цепи, к квадрату действующего значения

напряжения, приложенного к цепи: g — -^-. Последнее выражение можно привести к виду

Следовательно, активная проводимость цепи может быть опре­

вательно, первая ветвь не содержит реактивной составляющей тока и ее реактивная проводимость равна нулю:

Во второй и третьей ветвях ток и напряжение сдвинуты между собой на угол в 90°, поэтому в них активные составляющие токов

94

и активные проводимости их ветвей равны нулю:

Проводимость второй ветви, содержащей только индуктивность, представляют собой индуктивную проводимость:

/_ i l —L

а проводимость ветви, содержащей только емкость, — емкостйую проводимость

Подобно тому как в цепи, содержащей L и С в последовательном соединении, под реактивным сопротивлением цепи понималось

между проводимостью ветви с индуктивностью и проводимостью ветви с емкостью:

b = bL — bc.

При построении рис. 3.26 и 3.27 предположили Ьі > be, т. е. что реакция цепи индуктивная. Общий ток в цепи отстает по фазе

Таким образом, реактивная проводимость цепи может быть вели­ чиной и положительной и отрицательной.

Несмотря на то что проводимости g, b и у не являются векторами, они изображены на диаграмме со стрелками, указывающими направ­ ление соответствующих составляющих вектора тока в этих проводимостях.

Если цепь состоит из ряда параллельно включенных активных и реактивных сопротивлений, то для нахождения общего тока нужно геометрически сложить все токи в ветвях. Так как токи во всех активных сопротивлениях совпадают по фазе с напряжением на за­ жимах цепи, а в реактивных сопротивлениях в зависимости от ха­ рактера сопротивления сдвинуты по фазе на угол ± я / 2 относитель­ но того же напряжения, общий ток в цепи может быть найден как гипотенуза прямоугольного треугольника токов. Одним из катетов этого треугольника, или активной составляющей общего тока, будет

95

арифметическая сумма всех активных токов в ветвях Е / а , а другим катетом, или реактивной составляющей общего тока, — алгебраи­ ческая сумма всех реактивных токов в ветвях

§ 3.8. Эквивалентные двухполюсники. Переходные формулы

При заданной частоте активное и реактивное сопротивления, активная и реактивная проводимости являются параметрами двух­

96

Переходные формулы легко получить, сравнив между собой соот­ ношения (3.21) и (3.22) для последовательного и параллельного со­ единения.

Таким образом, переходными формулами называют следующие равенства:

Из переходных формул ясно, что реактивное сопротивление двух­ полюсника и реактивная проводимость двухполюсника — величины

Если ветвь содержит г и х в последовательном соединении, то при увеличении х от 0 до оо проводимости g, b ну этой ветви, как следует из переходных формул, будут изменяться согласно кривым рис. 3.31. Аналогичные кривые можно построить для зависимостей z, г и х от g или Ь.

§ 3.9. Дуальные цепи

Назовем шесть уравнений, связывающих мгновенные значения напряжений и токов для трех элементов электрических цепей г, Lu С, исходными уравнениями. Запишем эти уравнения в левый столбец табл. 3.1. В правый столбец табл. 3.1 перепишем эти же уравнения,

Новые уравнения оказались совпадающими с исходными, но записанными в другом порядке.

Это свойство соотношений названо двойственностью или дуаль­ ностью, а величины, взаимнозаменяемые в этих уравнениях, назы­ ваются дуальными. Таким образом, напряжение и и ток і — дуаль­ ные физические понятия. Дуальными пассивными элементами элект­ рических цепей являются пары г, и g, L и С.

Напишем уравнения Кирхгофа для электрической цепи, состоя­ щей из одного контура (рис. 3.32, а):

98