книги из ГПНТБ / Татевский В.М. Классическая теория строения молекул и квантовая механика

Далее примем указанные выше предположения — все атомы С имеют одинаковую валентность, все атомы Н имеют одинаковую

т. е. связи СН стоят всегда на концах цепи. Если принять эти

Так как связи СН стоят на концах цепи, то все единицы сродства каждого атома Н затрачиваются на образование одной связи СН, так что ее кратность «сн будет равна qn- Обозначая кратность связи СС через «сс и подсчитывая полное число единиц сродства всех атомов по связям, получим

Это равенство должно выполняться для молекулы любого алкана С„Н2 „+2, т. е. для любого значения п. Поэтому должны быть равны

атома Н, а кратности связей СС и СН должны быть равны. Абсо­

Из экспериментальных данных следует, что для электрона осу­ ществляются только два состояния, отличающиеся проекциями век­ тора s на какую-либо выбранную ось. Для этих двух разных экс­ периментально фиксируемых состояний проекции вектора s на какую-либо ось будут

Отсюда следует, что квантовое число s вектора спина для элек­ трона должно быть принято равным '/г- Тогда квадрат вектора спина s и его модуль по формулам (2,1) и (2,2) будут иметь сле­ дующие значения:

Все эти свойства возможных спиновых состояний электрона можно рассматривать как результат определенной интерпретации (связанной с введением понятия спина электрона) совокупности большего числа имеющихся экспериментальных данных.

Ниже мы изложим один из вариантов квантовомеханического описания возможных спиновых состояний электрона с помощью некоторых физических понятий и определенного математического аппарата. Из нескольких вариантов описания выберем такое, кото­ рое наиболее близко по своим понятиям и аппарату к описанию, используемому в квантовой механике для случаев, когда свойства системы определяются волновыми функциями, зависящими только от пространственных координат х, у, z. Сначала рассмотрим этот

Х ц 2 ~ пространственные координаты электрона в некоторой системе координат, связанной с ядрами; Ха, Ya, Za — пространственные координаты ядра с номе­ ром а (фиксированные) в той же системе координат.

Тогда из требования интегрируемости квадрата модуля XY (2,10), подставляя в него выражение для W (2,11), получим

должна иметь интегрируемый квадрат, и, следовательно, может быть выбрана нормированной.

Теперь мы должны определить свойства функции Г|(о) и опе­ раторы, соответствующие проекциям вектора спина на оси ко­ ординат, а также оператор квадрата вектора спина так, чтобы результаты использования этого математического аппарата соответ­ ствовали изложенным выше результатам интерпретации экспери­ ментальных данных о возможных спиновых состояниях электрона.

Выберем некоторую систему координат осей OXYZ (например, систему осей, связанную с ядрами) и сопоставим проекциям век­ тора спина на эти оси некоторые операторы sx, s„, sz, а квадрату вектора спина s2 — некоторый оператор s2. Все эти операторы оп­ ределим как операторы, действующие только на функции от ус­ ловной спиновой координаты о. Таким образом, функции от х, у, z для этих операторов играют роль постоянных чисел.

Чтобы привести в соответствие указанный выше символический математический аппарат с положениями, изложенными выше, поз­ воляющими дать описание экспериментальных данных, касаю­ щихся возможных спиновых состояний электрона, нужно конкретно определить результаты действия операторов sx, sy, sz, s2 на спино­ вые функции Tj(a), т. е. определить конкретные свойства, которые нужно приписать этим-операторам и функциям г\(а).

Как уже было указано, не более одной из трех проекций век­ тора спина на оси OXYZ может иметь определенное значение в лю­ бом состоянии электрона, описываемом в общем случае функцией ^(х, у, z, о), т. е. функцией Ч*я(х, у, z)г\ (а). Следовательно, среди функций *Р (х, у, z, о), а поэтому и среди функций т](а), описы­ вающих все возможные состояния электрона, существуют только такие, которые могут быть собственными функциями не более чем одного из трех операторов sx, sy, sz. Если состояние электрона опи­ сывается волновой функцией, собственной для какого-либо одного из этих трех операторов, то будем всегда так обозначать оси коор­ динат, чтобы эта функция была собственной для оператора sz. Принимая это, мы прежде всего можем определить возможные результаты действия оператора s2 на функции W(х, у, z, о) [и, сле­ довательно, на функции г] (о)], описывающие состояния электрона, собственные для s2 (т. е. характеризующиеся определенным значе­ нием проекции вектора спина на ось OZ). Согласно сказанному

выше, для таких состояний мы должны получить один из двух возможных результатов:

либо

для оператора sz, соответствующие двум разным состояниям элек­

Функции а (а) и р(а) как собственные функции одного и того же оператора, относящиеся к разным собственным значениям, будут, очевидно, ортогональны, т. е.

Поскольку вектор спина рассматривается обычно как вектор собственного момента количества движения электрона, на опера­ торы sx, sy, Sz, s2 накладываются такие условия, что эти операторы должны удовлетворять таким же перестановочным соотношениям, которым удовлетворяют операторы орбитального момента коли­ чества движения *.

Эти соотношения имеют вид

Для того чтобы удовлетворить всем поставленным выше требова­ ниям, достаточно определить результату действия операторов sx и sy на функции а (о) и Р(а) , собственные для оператора s2, сле­ дующим образом:

две собственные функции, соответствующие собственным значе­

Следовательно, функции r\i(a) и г\2{а), например функции (2,32), играют при таком определении sz роль а (о) и 6(a) .