книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

Знак «—» в правой части (14.2) указывает на уменьшение числа нераспавшихся ядер.

Соотношение (14.2) представляет собой дифференциальное

Это уравнение легко решается методом разделения перемен­ ных:

Соотношение (14.3) называется законом радиоактивного рас­ пада. Он справедлив для большого числа ядер. Его содержание состоит в том, что количество нераспавшихся радиоактивных ядер уменьшается со временем по показательному (экспоненциальному) закону. На рисунке 127 представлены графики, выражающие этот закон для двух сортов ядер с разными постоянными распада: 7і и 7,2. Чем больше X, тем меньше нераспавшихся ядер остается по истечении одного и того же промежутка времени t при одинаковых начальных количествах ядер N0. Следовательно, постоянная рас­ пада характеризует скорость распада. Это вытекает из (14.2):

, - d N / N k dt

450

Постоянная распада — это относительная доля ядер, распа­ дающихся в единицу времени; она является количественной мерой скорости распада. Для практических целей скорость распада часто характеризуют не постоянной распада X, а периодом полураспа­ да Т. Так называется время, за которое распадается половина первоначального количества ядер, или время, по прошествии кото­ рого остается нераспавшейся половина первоначального числа ядер:

N{T) = ± - N O.

Из этого определения на основе закона распада (14.3) получаем соотношение между Т и X:

-|-М ,=М >е-«\

ln 2 _ 0,693

(14.4)

К Л

Периоды полураспада различных естественно-радиоактивных элементов колеблются в широких пределах: у урана он составляет 4,5 миллиарда лет, у радия — 1590 лет, у протактиния — 32 000 лет, у радона — всего 3,825 суток, а у радия-С (один из изотопов полония) и вовсе 1,5-10-4 сек. У некоторых искусственно полу­ чаемых радиоактивных элементов он составляет миллионные и сто­ миллионные доли секунды.

В связи с понятием периода распада у учащихся иногда возни­ кает неверное представление о том, что если период полураспада равен Т, то период полного распада равен якобы 2Т. Следует раз­ веять это заблуждение, просто обратив внимание на то обстоятель­ ство, что если через время Т останется половина первоначального

при t оо. Однако закон (14.3) не имеет смысла, если число ядер невелико. Понятие времени полного распада не имеет научной цен­ ности.

Естественно, возникает вопрос: как измерить очень большой или очень маленький период полураспада? Непосредственное ис­ пользование закона распада (14.3) для этого не годится. На по­ мощь приходит то обстоятельство, что продукт распада тоже, как правило, радиоактивен. Количество дочерних ядер, вообще говоря, изменяется с течением времени. Однако может наступить подвиж­ ное равновесие между ростом числа дочерних ядер вследствие рас­ пада материнских и уменьшением их числа вследствие распада дочерних ядер: число рождающихся в единицу времени дочерних ядер равно числу распадающихся дочерних ядер в единицу вре­ мени. Но число родившихся дочерних ядер равно числу распав-

шнхся материнских ядер. Следовательно, при упомянутом подвиж­ ном равновесии число распадов в единицу времени материнских и дочерних ядер одинаково:

При равновесии числа материнских и дочерних ядер пропор­ циональны их периодам полураспада. Этим соотношением поль­ зуются в тех случаях, когда период полураспада одного сорта ядер или слишком мал, или слишком велик, так что воспользо­ ваться законом распада (14.3) практически невозможно.

По определению число распадов в единицу времени называется активностью данного радиоактивного препарата. Согласно опреде-

Таким образом, активность препарата равна произведению по­ стоянной распада на число нераспавшихся ядер, содержащихся в этом препарате. Вследствие непрерывного уменьшения числа псраспавшихся ядер активность остающегося препарата непрерывно уменьшается. Это несущественно, если период полураспада велик, как у урана или радия, но уменьшение активности приходится учитывать, если период полураспада составляет несколько лет пли тем более дней. Например, в случае известных лечебных радоно­ вых ванн их активность уменьшается вдвое менее чем через чет­ веро суток, так как период полураспада радона равен 3,825 суток. Периоды полураспада широко применяющихся теперь радиоактив­ ных изотопов составляют, как правило, единицы лет. Поэтому сле­ дует учитывать их естественное «старение».

Первоначально в качестве единицы радиоактивности была взята активность 1 г радия. В честь супругов Марии и Пьера Кюри, открывших радий, она была названа кюри. Нетрудно уста­ новить абсолютную меру кюри, т. е. сколько распадов в секунду происходит в 1 г радия. Это можно сделать с помощью соотноше­ ния (14.5), постоянную распада найдем, зная период полураспада радия Т = 1590 лет. Число ядер, которое содержится в 1 г радия, очевидно, равно числу Авогадро, деленному на массу моля:

452

Как видим, в 1 г радия ежесекундно распадается колоссальное число — 37 миллиардов ядер. При вычислении активности радия мы оперировали величинами, числовые значения которых нахо­ дятся из опыта и потому не абсолютно точны: число Авогадро, число секунд в году. В настоящее время принято следующее опре­ деление кюри: 1 к ю р и — это активность такого радиоактивного препарата, в котором ежесекундно происходит точно 3,700-ІО10 распадов. Кюри — очень крупная единица, потому что радий сам по себе очень активный элемент и масса в 1 г — довольно боль­ шая величина для реальных препаратов. Достаточно сказать, что наличное количество радия во всем мире сейчас измеряется кило­ граммами.

Активность реальных препаратов измеряется тысячными и мил­ лионными долями кюри — милли- и микрокюри. Кроме того, при­ меняется другая единица радиоактивности ■— 1 резерфорд (1rd). Это активность препарата, в котором ежесекундно происходит миллион распадов:

— 37 rd (резерфордам).

Простые соотношения (14.2), (14.3), (14.4) позволяют решать многие задачи, связанные с радиоактивностью. Например, по фор­ муле (14.2) можно вычислить, сколько ядер или какая масса дан­ ного радиоактивного элемента распадается за тот или иной про­ межуток времени. Однако нужно иметь в виду следующее: по фор­ муле (14.2) можно находить число распавшихся ядер за конечный промежуток времени только в том случае, если этот промежуток во много раз меньше периода полураспада (At<g.T).

§ 3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Основной закон радиоактивного распада (14.3) выполняется строго, если число материнских ядер достаточно велико. В против­ ном случае происходят случайные отклонения (флуктуации) от

453

закона (14.3) в ту или другую сторону. Эти отклонения были за­ мечены на опыте Резерфордом и Гейгером. Схема опыта такова.

Благодаря большой энергии сс-частнц, вылетающих из распа­ дающегося ядра, можно регистрировать каждую а-частицу по вспышке флуоресцирующего экрана (сцинтилляции). Брали сла­ бый a-активный препарат и подсчитывали число вспышек на экране за определенный промежуток времени (в опыте — Vs сек). Согласно закону распада (14.3) число вспышек должно быть вполне определенным. Однако результаты опыта говорили о том, что число вспышек, приходящихся на один и тот же промежуток времени, не остается постоянным. Следовательно, не является по­ стоянным и число ядер, распадающихся за один и тот же проме­ жуток времени. Таким образом, выяснилось, что закон распада (14.3) является статистическим законом. Из результатов опытов следовал фундаментальный вывод о том, что распад ядер — это процесс с т а т и с т и ч е с к и й . Для каждого данного ядра его рас­ пад является событием совершенно с л у ч а й н ы м , точно непред­ сказуемым. К процессу распада ядер можно применить основные понятия теории вероятностей.

Будем исходить из того, что в данной совокупности одинаковых радиоактивных ядер все ядра находятся в совершенно одинаковых условиях по отношению к распаду. Каждое ядро обладает опреде­ ленной вероятностью распасться, причем эта вероятность одина­ кова для всех ядер.

Если за бесконечно малый промежуток времени dt из имею­ щихся N ядер распалось dN ядер, то при достаточно большом N

Вероятность же распада одного ядра в течение одной секунды в соответствии с теоремой сложения вероятностей определится так:

_ d w _ dN

(14.7)

W ~dT ~N~^dt

Эта вероятность одинакова для всех ядер и определяется только внутренними свойствами самого ядра. Радиоактивный распад пред­ ставляет собой совокупность случайных равновероятных событий — распадов отдельных ядер. Сравнив (14.7) с (14.2), видим, что вве­ денная ранее постоянная распада X, которую можно найти на опыте, представляет собой не что иное, как вероятность распада

При интегрировании дифференциального уравнения (14.2) предполагалось, что постоянная распада X является постоянной величиной, т. е. не зависит от времени. Это означает, что вероят­

454

ного распада. На основании (14.4) найдем простую связь между средней продолжительностью жизни ядра и периодом полураспада:

Средняя продолжительность жизни радиоактивного ядра равна примерно полутора периодам полураспада. При грубых оценках можно просто считать, что средняя продолжительность жизни ядра равна его периоду полураспада.

Средняя продолжительность жизни, как и всякая средняя ве­ личина, — величина статистическая. Она характеризует весь кол­ лектив в целом. Продолжительность жизни отдельных индивидуу­ мов может быть величиной как большей, так и меньшей средней. Например, тот факт, что средняя продолжительность жизни ядра радия равна 1,441590 = 2300 годам, а ядра радона — 5,5 суткам, означает, что в общем ядро радия проживает до распада во много раз большее время, чем ядро радона, хотя имеются ядра радия, распадающиеся в первые же секунды, так же как и ядра радона, которые распадаются только через тысячу лет.

§4. ПРИМЕНЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ РАДИОАКТИВНОСТИ

ВГЕОЛОГИИ И АРХЕОЛОГИИ

Убыль числа радиоактивных ядер по закону (14.3) может слу­ жить средством измерения времени t, протекшего с того момен­ та, когда количество радиоактивных ядер было равно No, до мо­ мента, когда их количество стало равно N. Другими словами, ра­ диоактивность может выполнять роль часов. Согласно (14.3)

данной совокупности радиоактивных ядер. Практически для раз­ личных целей нужны часы с различным «ходом». Для определения «возраста» минералов, содержащихся в земной коре, следует брать «геологические часы», идущие достаточно медленно, т. е. процессы радиоактивного распада с периодом полураспада того же порядка, что и геологические эпохи — сотни миллионов -и миллиарды лет. Этому условию удовлетворяют изотопы урана (уран-238 и уран235), смесь которых составляет в основном природный уран. Пе­ риоды полураспада изотопов U-238 и U-235 равны соответственно 4,5 миллиардам и 900 миллионам лет.

В настоящее время химически чистый природный уран содер­ жит 99,28% изотопа 9 2 U 238, 0,714% изотопа 9 2 U 2 3 5 и 0,006% изотопа 92ІІ234, так называемого урана-2, являющегося продуктом распада 92и 238. Ввиду ничтожности содержания урана-2 им можно пренеб­

456

речь. Как уже говорилось, изотопы урана gsU238 и 9 2 U 2 3 5 являются радионачальниками независимых радиоактивных семейств и в- конце концов превращаются в изотопы свинца. Поскольку ядра свинца — это в итоге распавшиеся ядра урана, то по соотношению количества свинца и урана в природном уране можно рассчитать промежуток времени, в течение которого накопилось данное коли­

мент образования чистого урана, когда в нем нет свинца. Пусть спустя промежуток времени t после начального момента, в при­ родном уране содержится УѴи ядер урана, УѴрь ядер свинца. По­ скольку свинец — продукт распада урана, то в начальный момент все ядра были ядрами урана. Следовательно,

Л^о= Л^и+ Л/рь.

Поэтому

ѵѴц (0 — (Л^и+Л^рь) в '-и*.

Отсюда найдем возраст урановой руды t:

В действительности расчет оказывается более сложным: изо­ топы урана U238 и U235 имеют, как указывалось, различные периоды полураспада и, кроме того, они превращаются в различные изо­ топы свинца. Но в принципе необходимые уточнения можно сде­ лать. Таким путем можно определить возраст минералов, содержа­ щих уран, и, следовательно, возраст земной коры, если считать, что уран образовался одновременно с земной корой. Определенный

предметов, найденных при раскопках. Однако урановые часы для этого не годятся по следующим причинам: во-первых, предметы, являвшиеся продуктом деятельности человека, не содержали уращ а -во-вторых, урановые часы идут слишком медленно для человече­ ской истории. Здесь время измеряется столетиями или тысячеле­ тиями, поэтому в качестве часов может служить радиоактивный распад с периодом полураспада порядка нескольких столетий или тысячелетий. К счастью, сама природа создала необходимые часы.

Частицы, входящие в состав первичных космических лучей, об­ ладая колоссальной энергией, при взаимодействии с ядрами эле­ ментов, входящих в состав земной атмосферы, разбивают их на все­ возможные «осколки». Последние обладают тоже большой энер­ гией и составляют вторичные космические лучи. В результате взаимодействия космических лучей с ядрами атмосферного азота последние превращаются в ядра изотопа углерода с массовым числом 14 — в бС14. Этот изотоп углерода радиоактивен. Период

457

его полураспада равен примерно 5570 годам. Это вполне устраи­ вает археологов. Более того, постоянство интенсивности первичных космических лучей обусловливает постоянное количество радио­ активного углерода в атмосфере. Из радиоактивного углерода об­ разуется радиоактивный углекислый газ, который усваивается растениями совершенно так же, как и обычный С 02. Вместе с рас­ тительной пищей радиоактивный углерод попадает в организм жи­ вотных и, будучи усвоенным, входит в состав их тканей и органов. Природа искусно «метит» радиоактивными атомами все живое на Земле.

Если растение пли животное живет, то процентное содержание радиоактивного углерода по сравнению с обычным остается в нем постоянным во времени, так как потерн углерода восполняются питанием. Но если организм погибает, то питание прекращается и восполнения углерода больше не происходит. С этого момента начинается счет времени по радиоактивным часам: содержание радиоактивного углерода в организме или изделии из дерева на­ чинает убывать в соответствии с законом радиоактивного распада (14.3). Так можно определить время, протекшее с момента гибели организма. Схема расчетов такова.

С помощью счетчика радиоактивных излучений (изотоп 6С14 является ß-радиоактивным) было найдено, что радиоактивный углерод, содержащийся в 1 г живой или недавно полученной клет­ чатки (например, только что спиленного дерева), излучает 35 ß- частиц в течение 2 мин, т. е. в среднем 17,5 частиц в минуту.'Радио­ активность изотопа бСи, содержащегося в 1 г живой клетчатки, со­ ответствует 17,5 распада в минуту. Отсюда на основании (14.4) найдем, какое число ядер изотопа 6С14 обладает такой активностью:

Таким образом, на 1 г углерода, содержащегося в свежей клет­ чатке, приходится 75 миллиардов ядер радиоактивного углерода. Вследствие распада количество радиоактивных ядер будет убывать со временем согласно закону распада (14.3). Активность остающе­ гося радиоактивного углерода будет непрерывно уменьшаться, и если сравнить активность в момент времени t с активностью в мо­ мент t — 0, когда дерево только что погибло, то можно будет опре­ делить промежуток времени t. Действительно, согласно определе­ нию активности (14.5) можем написать следующие соотношения, относящиеся к моментам 0 и t :

458