книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

где а — коэффициент поверхностного натяжения ядра. Поскольку согласно (13.4) радиус ядра пропорционален А'/*, выражение для Е3 можно записать в следующем виде:

Ея= из • Д";3,

где ао — новый коэффициент пропорциональности.

Четвертый член учитывает положительную потенциальную энер­ гию, обусловленную кулоновским отталкиванием протонов в ядре. Можно показать, что она определяется формулой

5 AneoR

Заменив R согласно (13.4), получим:

£ 4 = CI3-Z2-/1-'.',

где коэффициент аз может быть рассчитан теоретически.

Два последних члена в (13.5) учитывают более тонкие свойства атомных ядер. Величина Es учитывает то обстоятельство, что ядра, содержащие различные числа протонов и нейтронов, имеют раз­ личную устойчивость. Устойчивость ядра согласно общему правилу связана с энергией: состояние системы частиц тем более устойчиво, чем меньше ее энергия.

Наиболее устойчивы ядра, в которых количество протонов и нейтронов одинаково: NP = Мп, Z = А — Z, т. е. А = 2Z. В таких ядрах на один нуклон приходится наибольшая энергия связи. В об­ щем же случае число протонов отличается от числа нейтронов в ядре.

Тогда ядро обладает добавочной энергией, величина которой

не зависит от знака аргумента---- — , т. е. от того, каких именно

частиц в ядре больше — протонов или нейтронов, эту функцию полагают квадратичной:

А — 2Z \2

т £і=щ( А ) ’

или

гV (Д — 2Z)2

£5= а 4 —---д — — ,

где коэффициент 'a^ находится из опытных данных.

Наконец, последний член в (13.5) учитывает то обстоятельство, что взаимодействие нуклонов зависит от ориентации их спинов. Из-за этого энергия связи у четно-четных ядер максимальна, а у нечетно-нечетных — минимальна. Это различие в энергиях ядер и

440

учитывает величина Е6, для которой чаще всего используется сле­ дующая формула:

£'б=±а5-'4~3/\

где as — эмпирически подбираемый коэффициент.

Знаки «—» и «+» относятся соответственно к четно-четным и нечетно-нечетным ядрам. Для четно-нечетных и нечетно-четных ядер поправка Es не вводится.

В настоящее время принимаются следующие числовые значе­

Формула Вайцзеккера позволяет рассчитать условие устойчи­ вости атомных ядер. Энергия ядра является функцией двух пере­ менных — числа 'протонов Z и массового числа А. Можно найти, при каком соотношении между Z и А энергия ядра JC(Z, /1) мини­ мальна. Для этого следует, как обычно, приравнять нулю произ­ водную от функции по интересующему нас аргументу:

Решая это уравнение относительно ZyCT и подставляя известные значения коэффициентов, получаем:

В качестве ZyCT нужно брать целое число, ближайшее к вы­ численному по формуле (13.6). Эта формула хорошо согласуется с опытными данными. Из нее, в частности, следует, что для не слнш-

у А

ком тяжелых ядер ZyCT ^ - ^ - ; т. е. число протонов равно числу

нейтронов.

Формула (13.5) позволяет вычислить энергию связи любогоядра. Действительно, энергия связи, как уже говорилось, равна разности между полной энергией покоя ядра и энергией покоя со­ ставляющих его нуклонов: Есп = Е — Е\. Строго говоря, энергия связи — величина отрицательная, так как при синтезе ядра энергия выделяется, и, следовательно, энергия ядра меньше энер­ гии покоя его нуклонов на величину выделенной энергии, которая поэтому и называется энергией связи. Однако очень часто под энергией связи ядра понимают положительную величину, равную модулю отрицательной энергии связи.

Учтя это и взяв приведенные выше значения коэффициентов, получим из (13.5) следующую формулу для полной энергии связи ядра:

£ сп= [ 15,75Л — 17,8.+' — Ъ,7\Г-А~'Ъ _

Эта полуэмпирнческая формула тоже называется формулой Вайцзеккера.

4 4 t

Оболочечная модель ядра

.Между свойствами ядер и свойствами атомов была замечена следующая аналогия. Имеются атомы, химически очень устойчи­ вые, неактивные — инертные газы. У них электронные энергети­ ческие оболочки целиком заполнены, причем заполнение каждой следующей оболочки приводит к образованию следующего инерт­ ного газа. Среди атомных ядер особо устойчивыми являются ядра, содержащие некоторые определенные числа протонов и нейтронов, названные магическими числами. Это навело на мысль, что энерге­ тическая структура ядра подобна структуре атома: нуклоны в ядре движутся так, что их энергии образуют отдельные оболочки. То об­ стоятельство, что логические числа существуют как для протонов,

протонов, отличаются тем, что в ядре с большим Z число застроен­ ных протонных оболочек на единицу больше. Так возникла идея построить своего рода периодическую систему ядер, подобную периодической системе элементов Менделеева. Она строится не­ зависимо для протонов и нейтронов. Оболочечная модель ядра была предложена позже капельной, в 1949 г., Гепперт-Майером и И. Иенсеном. В ее основе лежит представление о том, что нуклоны

вядре движутся по «стационарным орбитам», подобно электронам

ватоме, несмотря на существенное различие в характере сил,

действующих на нуклоны в ядре и электроны в атоме.

Как уже говорилось, нуклоны являются фермионами, как и электроны: их спин равен -)—’/г или — ' / 2 в единицах Й. Следова­ тельно, в соответствии с принципом Паулн энергии всех нуклонов ядра должны быть различными. На энергию нуклона влияет вели­ чина его момента импульса, причем, как и у электрона в атоме, момент импульса нуклона состоит из двух частей: из орбиталь­ ного момента импульса и спинового. Орбитальный момент им­ пульса нуклона квантуется. Его величина и направления' опре­ деляются условиями квантования, аналогичными тем, которые су­ ществуют для электронов в атоме:

биты» в пространстве, причем разным ориентациям соответствуют различные значения энергии нуклона, т. е. разные состояния ну­ клона. В каждом из этих 21 -f- 1 состояний спин нуклона может иметь одну из двух ориентаций, причем разным ориентациям спи­ нов тоже соответствуют различные состояния нуклона. Таким об-

442

разом, значению I орбитального квантового числа соответствует 2- (2/ — 1) различных состояний нуклона в ядре. Этим определя­ ется число нуклонов в ядре, которые могут иметь данное значе­ ние I.

Подсчет числа состояний нуклона можно провести другим пу-

тем. Можно ввести вектор J полного момента импульса нуклона,

равный сумме векторов орбитального L и спинового 5 моментов, импульса:

/ = L+S.

А\одуль его квантуется обычным образом:

Й^уТТТ+ТУ.

Здесь / — внутреннее квантовое число. Оно в отличие от I при­ нимает полуцелые значения:

j = l + ~ - при /^ 1 , у= -^- ПРИ ^=0-

* -і»

Проекция / 2 вектора / на какое-нибудь направление квантуется тоже аналогично Lz:

Jz — nifi.

Число tiij называется полным магнитным квантовым числом. Оно может иметь все полуцелые значения между —/ и —j—у, т. е. принимать 2/ -(- 1 разных значений. Следовательно, в ядре может быть не более 2/-)- 1 нуклонов, имеющих данную величину /'.

На первый взгляд кажется, что число состояний нуклона в ядре равно числу состояний электрона в атоме и, следовательно, оболочечная структура ядра должна быть точной копией перио­ дической системы Менделеева для атомов, а магические числа должны представлять собой суммы чисел элементов в периодах менделеевской таблицы: первое магическое числа — 2, второе — 10 (2 -f- 8), третье — 28 (2 -f- 8 -}—18) и т. д. Однако в действи­ тельности магические числа оказываются иными. В этом проявля­ ется специфика ядерных сил по сравнению с кулоновскими си­ лами, действующими на атомные электроны. Для ядра нельзя так просто указать «главное квантовое число», которое сразу опре­ деляло бы и номер оболочки, и число состояний в ней, как это имеет место в случае атома.

Оболочка в ядре — это совокупность близко расположенных

>энергетических уровней, занятых частицами; между соседними оболочками имеется довольно высокий энергетический барьер, т. е. сравнительно большая разница между верхним уровнем нижней оболочки и нижним уровнем следующей оболочки.

443

Ниже приводится таблица (см. табл. 6) заполнения нуклонных оболочек, построенная на основе проведенного рассмотрения. Гори­ зонтальные линии разделяют состояния, энергии которых сильно различаются, т. е. разделяют оболочки.

т.д.

Вкрайнем правом столбце таблицы приведены максимальные числа протонов или нейтронов при полностью заполненных всех

оболочках. Эти числа и являются магическими: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Оболочечная модель, как видим, позволяет теоретически объяснить важный результат экспериментов. Магические числа проявляются следующим образом.

Ядра, в которых хотя бы одно число — число протонов пли число нейтронов — является магическим, обладают большой ус-

444

тойчивостыо и большей распространенностью в природе по срав­ нению с их соседями по периодической системе Менделеева: олово (Z = 50), барнй-138 (А — Z — 82), цирконий-90 (А — Z = 50). Особой устойчивостью, как уже говорилось, отличаются дважды

Очень устойчивы также ядра, являющиеся конечными продук­ тами радиоактивных превращений. Все они являются магическими ядрами, а свпнец-208 — даже дважды магическим: ряд урана

дважды магическое ядро) и, наконец, искусственно полученный физиками ряд нептуния — висмутом (.4— Z — 126).

Кроме объяснения магических чисел, оболочечная модель ядра позволяет правильно предсказать величину спина ядра и других его характеристик. Посмотрим, как можно вычислить спин ядра.

Прежде всего следует учесть, что минимум энергии магнитного взаимодействия любых магнитных моментов, как уже отмечалось, имеет место при антипарал'лельном направлении магнитных мо­ ментов (см. гл. 10). Вследствие этого протоны и нейтроны в ядре группируются в пары однотипных частиц с антипараллельными спинами. Спин каждой пары равен, следовательно, нулю, и если число протонов и число нейтронов — числа четные, т. е. если ядра четно-четные, то спин ядра равен нулю.

Исходя из этого, можно пояснить, почему все магические числа являются четными. Если число протонов (нейтронов) четное, а число нейтронов (протонов) нечетное, то суммарный спин ядра определяется оболочкой, в которой находится энергия верхнего нейтрона (или протона) с нескомпенсированным спином.

Рассмотрим некоторые конкретные примеры.

1. Ядро серы -32 (ieS32) . Число протонов Z = 16 четное, число нейтронов А — Z — 16 тоже четное. Следовательно, предсказываем, что спин ядра [6S32 должен равняться нулю. Опыт это подтверж­ дает.

2. Ядро хлора-35 (і7С135). Число протонов Z = 17, число нейт­ ронов А — Z — 18. Утверждаем, что спин ядра определяется обо­ лочкой 17-го протона. По таблице «периодической системы ядер» находим,, что 17-й нуклон, в данном случае протон, находится в 3-й оболочке, в группе из 4 частиц, для которых / равно 3/2. Сле­ довательно, спин ядра 1 7 СІ3 5 должен быть равен 3/2Й. Опыт под­ тверждает и этот вывод теории.

3. Ядро германия-73 (32Ge73). Число протонов Z = 32, число нейтронов А — Z = 41. Спиновый момент этого ядра должен определяться моментом 41-го нейтрона. По таблице ядер находим, что 41-й нейтрон находится в 5-й оболочке, являясь первым из 10 нуклонов, застраивающих ее. Спин этих частиц равен Э/2Й. Следо­

445

ГЛАВА

1 4 ЕСТЕСТВЕННАЯ РАДИОАКТИВНОСТЬ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Естественной радиоактивностью называется самопроизвольное превращение одних атомных ядер в другие, которое сопровожда­ ется испусканием определенных частиц (а-, ß-лучи, нейтрино) и электромагнитного излучения (у-лучн). Радиоактивные ядра явля­ ются, как правило, тяжелыми ядрами, располагающимися в конце периодической системы Менделеева, за свинцом. Однако имеются и легкие, естественно радиоактивные ядра. Это ядра изотопов ка­ лия іэК40, углерода 6СИ, кальция, рубидия, некоторых редких земель (лантана, самария, лютеция), а также индия и рения. Пре­ вращения ядер, сопровождающиеся испусканием а- и ß-лучей, на­ зываются соответственно а- и ß-распадом. Термина «у-распад» не существует. Распадающееся ядро называется материнским, ядро продукта распада — дочерним. В результате анализа продуктов распада были открыты опытные правила смещения при радиоак­ тивных распадах:

ц-распад: ZXA 2_2УА-4+ 2 Не4,

а.

ß-распад: zXA^y z+ITA-f_ie°. ß_

Здесь X — химический символ материнского ядра, У — дочернего, ядро изотопа гелия 2Не4 — а-частпца, -щ 0 — ядерный символ обыч­ ного (отрицательного) электрона (его заряд в единицах элементар­ ного заряда е равен — 1, а массовое число равно нулю, так как масса электрона в 1836 раз меньше, чем у протона).

а-распад уменьшает массовое число на 4, а зарядовое число на 2, т. е. перемещает элемент на два номера назад в системе Мен­ делеева. ß-распад не изменяет массового числа, а зарядовое число увеличивает на 1, т. е. перемещает элемент на один номер вперед в таблице Менделеева. Это обстоятельство в настоящее время ши­ роко используется для получения трансурановых элементов.

Упоминавшийся в начале предыдущей главы распад радия иллюстрГірует первое из этих правил:

ssRa^-^eRn^+aHe4.

447

В теоретическом отношении правила смещения являются эле­ ментарными следствиями двух законов сохранения: закона сохра­ нения электрического заряда и закона сохранения массового числа.

Продукт радиоактивного распада — дочернее ядро, как пра­ вило, само является радиоактивным, его дочернее ядро, уже «вну­ чатое» по отношению к исходному, тоже радиоактивно и т. д. Имеет место цепочка радиоактивных превращений, и ядра, связан­ ные этой цепочкой, образуют радиоактивный ряд, пли радиоактив­ ное семейство. Члены радиоактивных рядов являются радиоактив­ ными изотопами элементов, стоящих в соответствующих клетках таблицы Менделеева. Первоначально им давались иные названия, связанные с исходным элементом. Так, продукт распада радия сначала назывался эманацией радия, что в переводе означает «ос­ таток от радия», другие продукты распада радия назывались ра- дием-Л, радием-ß, радием-С, радием-С1, раднем-D. Так же посту­ пали с последовательными продуктами превращений тория и акти­ ния.'

Как уже говорилось, в настоящее время известно четыре радио­

2) ряд актиния, или актиноурана, изотопа урана goU235, сыграв­ шего исключительную роль в выделении ядерной энергии:

92и235_*.. _ ->-82Pb207;

3) ряд тория:

эоТЬ232—>-... -i-saPb208;

4) ряд нептуния, начинающийся с первого искусственно полу­ ченного трансуранового элемента:

9зNp237^ - ... »8 зВІ203.

Массовые числа членов всех радиоактивных семейств связаны единой формулой

Здесь k — определенное целое число, a b — целое число, оди­ наковое для членов одного ряда: для ряда урана b = 2 , для ряда актнноурана b = 3, для ряда тория b — Ь, для ряда нептуния

Ъ = 1.

Формула (14.1) имеет следующий смысл: при радиоактивных распадах массовое число не изменяется совсем (при ß-распаде) или уменьшается на 4 (при а-распаде).

Поэтому массовые числа членов одного ряда могут отличаться на числа, кратные 4, и тем сильнее, чем более дальним «родственни­ ком» исходного ядра является данный продукт распада. Например,

448

в ряду урана изменяется от 59 для исходного ядра 9 2 U2 3 8 до 51 для конечного ядра вгРЬ206.

Интересно, что, не зная детально, какой именно член данного ряда претерпевает а- или ß-распад, можно с полной определен­ ностью сказать, сколько а- и ß-распадов должно произойти, чтобы данное исходное ядро превратилось в заданное конечное ядро. Найдем, для примера, сколько а- и ß-распадов испытает ядро урана, чтобы превратиться в ядро свинца:

9 2 I J 2 , 3 8 _ V . . . - ^ P b 2 0 6 .

Число а-распадов па найдем сразу, разделив разность массо­ вых чисел начального и конечного ядра на 4, поскольку, как уже отмечалось, массовое число уменьшается при каждом а-распаде на 4:

Для нахождения числа ß-распадов пр обратимся к изменению зарядового числа: оно уменьшалось на 92 — 82 = 10 единиц. Од­ нако нужно учесть, что при а-распаде зарядовое число ядра умень­ шается на 2, а при ß-распаде — увеличивается на 1. Таким путем получим уравнение для нахождения числа ß-распадов:

Z, — Z2 =2/za — /ір,

НЛП

2 па — ttpz=10.

Учтя найденное значение па, получим: пр = 6 . Значит, при превращении в свинец ядро урана испытывает 8 а-распадов п 6|3-распадов.

§ 2. ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Вследствие радиоактивного распада число нераспавшихся ядер, естественно, с течением времени уменьшается. Найдем, по какому закону это происходит. Пусть в начальный момент времени име­ ется достаточно большое число N0 ядер радиоактивного эле­ мента X. Найдем, какое число ядер этого элемента останется не­ распавшимися спустя промежуток времени t.

Решение задачи основано на следующих двух естественных при большом начальном числе ядер предположениях: 1 ) за больший промежуток времени распадается и большее число ядер; 2 ) за данный промежуток времени, например в течение минуты, распа­ дается тем большее число ядер, чем больше их было вначале. Ма­ тематически оба эти положения выразятся следующим образом. Если обозначить число нераспавшихся ядер в момент времени t через N, а число нераспавшихся ядер в момент t-\-dt через