книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

тепловое движение электронов, несмотря на большую скорость, не создает электрического тока, поскольку это движение беспоря­ дочно. Для создания упорядоченного движения в веществе требу­ ется внешняя сила. Она возникает, если в металле создать элект­ рическое поле, приложив к его концам напряжение. Скорость упо­ рядоченного движения электронов, которую называют обычно дрейфовой скоростью, очень мала — она составляет по порядку величины микрометры в секунду. В этом можнб непосредственно убедиться, если в формулу для плотности тока

представляющей собой определение плотности тока, подставить ве­ личину плотности тока, равную, например, 1 а}мм2. Дрейфовая ско­ рость, как видим, — это лишь ничтожная добавка к большой ско­ рости теплового движения электронов, но именно она создает электрический ток.

Дрейф электронов при наличии тока можно сравнить с движе­ нием роя мошкары: каждая мошка в рое совершает довольно быст­ рые, но беспорядочные движения, хотя рой как целое может не двигаться. Рой как целое может медленно сноситься ветром, дрей­ фовать. Тогда скорость мошки относительно Земли будет пред­ ставлять собой сумму большой скорости беспорядочного движения мошки в рое и малой скорости дрейфа всего роя.

При наличии электрического поля с напряженностью Е внутри металла каждый электрон будет двигаться с ускорением а, рав­ ным отношению силы еЕ к массе:

_ еЕ m

Это приведет к возрастанию скорости в направлении поля, точнее, в противоположном направлении ввиду отрицательного знака за­ ряда электрона. По закону равноускоренного движения

Электрон движется ускоренно между столкновениями с ионами ре­ шетки в течение времени свободного пробега т. Будем считать, что при каждом столкновении электрон передает иону всю свою кинетическую энергию, которую сообщило ему электрическое поле, так что после каждого столкновения электрическому полю прихо­ дится ускорять электрон заново. Исходя из этих представлений, можно вывести и закон Ома, и закон Джоуля-—Ленца. .

Вывод закона Ома

Подставив в (11.2) в качестве времени t среднее время сво­

390

Электрон между столкновениями движется неравномерно, постоян­ ный же ток представляет собой равномерное движение зарядов. Это следует пз (11.1): постоянный ток — это такой ток, плотность которого в данной точке проводника не меняется со временем; по­ стоянство j при постоянных /іо и q может быть обеспечено только постоянством дрейфовой скорости ѵ. Поэтому реальное ускорен­ ное движение электрона заменим равномерным движением с по­ стоянной скоростью V, равной среднему арифметическому из ско­ ростей электрона в начале п в конце свободного пробега. Посколь­ ку ѵ0 = 0, то

Плотность тока оказалась пропорциональной напряженности электрического поля, а это н есть закон Ома в дифференциальной

Проводимость не только металла,но и любого другого тела обусловлена наличием свободных электрических зарядов. Провод­ ник — это всякое тело, в котором имеются свободные электри­ ческие заряды. Диэлектрик, или изолятор, — это такое тело, в ко­ тором нет свободных зарядов; в нем электроны связаны в моле­ кулах. Идеальных изоляторов не существует: всякий реальный изо­ лятор характеризуется некоторой концентрацией свободных элект­ ронов; правда, она примерно в ІО20 раз, т. е. на 20 порядков, меньше, чем в металлах. Во столько же раз отличаются и прово­ димости и удельные сопротивления металлов и изоляторов.

Проводник — это тело, в котором может существовать элект­ рический ток. Резкой границы между проводниками и изоляторами нет: хорошие проводники и хорошие изоляторы стоят на противо­ положных концах шкалы удельных сопротивлений или удельных проводимостей.

Вводя в общую формулу проводимости подвижность носителей тока ц (см. гл. 6), получаем:

а = подцо.

391

Отсюда видно, что подвижность электронов в металле пропорцио­ нальна среднему времени свободного пробега электрона:

Закон Ома справедлив и для тока в электролитах. Надо только иметь в виду, что, во-первых, проводимость электролита равна сумме проводимостей, обусловленных положительными и отрица­ тельными ионами, находящимися в растворе, п, во-вторых, подвиж­ ность электролитического иона зависит от иных величин, чем под­ вижность электрона в металле, поскольку движение ионов в рас­ творе, точнее сольватов ионов, является по-настоящему равномер­ ным как установившееся движение в вязкой среде (см. гл. 6).

Вывод закона Джоуля—Ленца

Подобно закону Ома, закон Джоуля—Ленца формулируется в дифференциальной форме для количества тепла, выделяемого электрическим током в единице объема проводника за единицу времени. Эта величина называется объемной плотностью тепловой мощности; она выражается формулой

Если в известной записи этого закона (в интегральной форме) Q = I2R t разделить обе части почленно на объем проводника SI и

Соотношения (11.7) и выражают закон Джоуля—Ленца в диф­ ференциальной форме. Каждое из равенств (11.7) соответствует одной из трех форм записи этого закона в обычной интегральной форме:

Q _ W т = т - t ~ R

Для теоретического вывода закона Джоуля—Ленца следует предположить, что каждый электрон при столкновении с ионом

392

Эта энергия идет на увеличение энергии тепловых колебаний ионов относительно узлов решетки, т. е. на повышение температуры про­ водника. Такую энергию передает решетке один электрон при од­ ном столкновении с моном. Чтобы найти количество тепла, выде­ ляемое за единицу времени в единице объема проводника с током, нужно энергию W\ умножить на среднее число столкновений элект-

рона с нонами в секунду Z = — и на число электронов в единице

объема проводника щ\

Коэффициент пропорциональности перед Е2 представляет со­ бой согласно (11.5) удельную проводимость металла а. Следо­ вательно, полученное теоретическим путем соотношение (11.8) со­ впадает с законом Джоуля—-Ленца (11.7). Выведя теоретически закон Ома и закон Джоуля—Ленца двумя независимыми путями, мы получили одинаковые выражения для'проводимости металла. Вывод основных законов электрического тока с единых позиций явился в свое время триумфом классической электронной теории. Однако ее триумф на этом и кончился.

Вскоре обнаружилось, что имеется ряд опытных фактов, объ­ яснить которые классическая теория не могла. Один из таких опытных фактов связан с теплоемкостью металлов.

Как уже указывалось ранее, молярная теплоемкость всех атом­ ных кристаллов одинакова и равна "примерно 6 ккал/кмоль0К (за­ кон Дюлонга и Пти). Это число, найденное сначала из опытных данных, как было ранее показано, может быть легко, получено тео­ ретически для атомных кристаллических диэлектриков, таких, на­ пример, как сера или фосфор. Но именно для диэлектриков, а не для металлов.

Для теплоемкости металлов теория давала не 6, а 9 ккал/кмоль °К, из которых 6 ккал/кмоль °К — это теплоемкость кристаллической решетки в согласии с законом Дюлонга и Пти, а 3 ккал/кмоль °К — это теплоемкость электронного газа в металле. (Кинетическая теория идеальных газов давала для молярной теп­ лоемкости одноатомных газов значение 3 ккал/кмоль°К■) С дру­ гой стороны, опытные данные свидетельствовали о ..том, что ме­ таллы, как и диэлектрики, тоже подчиняются закону Дюлонга и Пти. Выходило, что электронный газ, вопреки теории, совершенно не вносит вклада в теплоемкость. Классическая теория оказалась -бессильной перед этим опытным фактом. Это явилось настоящей

393

катастрофой для классической электронной теории. Под впечатле­ нием ее безысходности создатель -этой теории Г. Л. Лоренц заявил на одном из конгрессов физиков в отчаянии: «Я жалею, что не умер раньше, чем обнаружилась эта .катастрофа».

§ 3. УСТРАНЕНИЕ «КАТАСТРОФЫ» КВАНТОВОЙ ТЕОРИЕЙ

Выход из тупика указала только квантовая механика. Как уже отмечалось в главе 7, электронный газ в металле вплоть до температур в тысячи градусов Кельвина является вырожденным газом. Все энергетические уровни ниже верхней границы — уров­ ня Ферми — заняты электронами. Строго говоря, занятыми ока­ зываются уровни энергии, лежащие вне интервала шириной x k T ниже уровня Ферми. Поэтому электроны, энергии которых лежат вне этого интервала, не могут заимствовать энергию у нагрева­ теля и потому не будут участвовать в создании теплоемкости. Ведь сущность теплоемкости как раз и состоит в способности си­ стемы частиц принимать энергию от внешнего тела — нагрева­

уровню Ферми: каждый из таких электронов может получить от нагревателя энергию порядка kT и перейти на верхний, свободный энергетический уровень. Эти электроны, следовательно, будут уча­ ствовать в создании теплоемкости. Только их немного, примерно 2—3% от общего числа. Поэтому и вклад электронов в теплоем­ кость металла может составлять всего 2—3% (при комнатых тем­ пературах) от 3 -ккал. Опыт прекрасно подтверждает это пред­ сказание теории — небольшое отличие теплоемкости металлов от закона Дюлонга и Пти.

Еще одно затруднение классической теории проводимости ме­ таллов, преодолеть которое смогла тоже только квантовая меха­ ника, состоит в следующем.

Выразив среднее время свободного пробега электрона т через

среднюю длину свободного пробега Я и среднюю тепловую ско­

рость его и:

т= Я /и,

можно формулу (11.5) длй проводимости металла записать в та­ ком виде:

Подставив в эту формулу опытное значение удельной прово­ димости а какого-нибудь металла (важен лишь порядок вели­

чины) и примерные значения п0 и и, получим, что средняя длина

3 9 1

свободного пробега электрона в металле К в сотни (!) раз превы­ шает расстояние между узлами решетки! Это значит, что электрон странным образом проходит без столкновений сотни межузельных

расстояний. Согласно же классической теории X должна иметь тот же порядок величины, что и межузельное расстояние. Выход из этого затруднения был также найден только квантовой механикой.

В квантовой механике движение электрона в металле, как,

.впрочем, и в любой другой среде, а также в вакууме, трактуется как распространение волны де Бройля, связанной с электроном. Электрическое сопротивление обусловлено рассеянием: электрон­ ных волн. Вследствие рассеяния энергия электронных волн умень­ шается по мере увеличения пути волны в металле. Для восполне­ ния энергетических потерь необходимо воздействие на электроны внешнего электрического поля, поддерживаемого работой источ­ ника э. д. с.

Дебройлевские электронные волны, как, впрочем, и любые «обычные» волны, например световые, рассеиваются на наруше­ ниях структуры той среды, в которой они распространяются. Рас­ смотрим с физической точки зрения понятия прозрачной и мутной среды. Прозрачная среда, например чистая вода или стекло, — это такая среда, которая не рассеивает распространяющийся в ней свет: если мы посмотрим на луч света, идущий в прозрачной среде, сбоку, то мы луча не увидим. Световые лучи сами по себе неви­ димы! Чтобы луч увидеть, нужно среду замутить, т. е. поместить в нее большое число мелких частиц постороннего вещества. Отра­ жение света от границ раздела «своей» среды и «чужих» частиц, происходящее многократно по разным направлениям и представ­ ляет собой явление рассеяния света мутной средой. Оно приводит к уменьшению интенсивности волны по мере увеличения ее пути в среде. Напомним, что интенсивность волны — это величина, рав­ ная энергии, переносимой волной за единицу времени через еди­ ничную площадку, перпендикулярную потоку энергии. «Чужая» среда для света — это среда с другим показателем преломления. Можно высказать общее важное утверждение: свет отражается от границы раздела двух сред с разными показателями преломления, или, коротко, свет отражается от скачка показателя преломления. Для отражения важен именно скачок показателя преломления. При плавном же изменении показателя преломления в среде про­ исходит не отражение, а искривление светового луча. Примером может служить так называемая горизонтальная атмосферная ре­ фракция — искривление световых лучей, идущих от заходящего Солнца, вследствие изменения показателя преломления атмосфер­ ного воздуха с высотой, обусловленного изменением плотности ат­ мосферы с высотой по барометрическому закону.

Рассеяние световой волны средой происходит на нарушениях ее однородной структуры: капельки воды в тумане или шарики жира в молоке представляют собой нарушения однородности ос­ новной среды — воздуха и воды. Благодаря рассеянию света на

395

этих капельках п шариках мы, собственно, и «видим» туман или молоко. Напомним, что иесамосветящиеся тела мы видим только потому, что они отражают зеркально или рассеивают (как гово­ рят, отражают диффузно) падающий на них свет от постороннего источника (Солнца или лампы).

Возвращаясь к рассеянию электронных волн в металле, по­ ставим вопрос: на чем они рассеиваются, на каких неоднороднос­ тях структуры металла? Казалось бы, ответ ясен: на ионах, колеб­ лющихся около узлов решетки. Однако это поспешное заключе­ ние: ведь в прозрачной воде световая волна тоже «сталкивается» с молекулами воды, однако не рассеивается. Дискретная, атомар­ ная структура вещества сама по себе не является причиной рас­ сеяния распространяющихся в нем волн. После этого замечания не будет казаться ошеломляющим следующий вывод квантовой меха­ ники: если бы правильность периодической структуры кристалла

электрическим сопротивлением при любой температуре. Наруше­ ние строгой периодичности структуры обусловлено тепловыми ко­ лебаниями частиц кристалла, так что согласно квантовой механике при Т — 0° К. сопротивление всех металлов должно равняться нулю. Собственно, такой же вывод может быть сделан и на основе фор­ мулы (11.5') классической теории: при 7 = 0 тепловая скорость й равна нулю и, следовательно, проводимость металлов бесконечна. Превосходство квантовой теории электрического сопротивления ме­ таллов перед классической в количественном отношении, не говоря о более правильной, современной трактовке самого явления, со­ стоит прежде всего в разрешении трудности, связанной с чрезмерно большой длиной свободного пробега электрона.

Квантовая теория электрического сопротивления приводит к следующей формуле удельной проводимости металла, внешне по­

Однако физический смысл входящих в эту формулу величин nF и XF и н о й , чем в формуле (11.5'). Величина uF — это скорость электрона, при которой его кинетическая'энергия равна энергии на

пробега электронной волны на уровне Ферми). Из изложенного ясно, что XF не связана непосредственно с межузельным расстоя­ нием и может во много раз превышать его. Наконец, квантовая теория разрешила затруднение классической теории, связанное с температурной зависимостью сопротивления металлов.

Поскольку X не зависит от температуры, а из соотношения

396

следует, что и ~ л/Т, то формула (11.5') проводимости металлов позволяет сделать вывод, что

о ~ І/УТ.

Опыт же свидетельствует о том, что

<т ~ 1 /Т,

а удельное сопротивление металлов пропорционально абсолютной

температуре ( д = — —■У ), а не квадратному корню из абсолют­

ной температуры.

Но именно такой результат дает квантовая теория. Величина %р обратно пропорциональна абсолютной температуре, а величина

Строго говоря, закон Q ~ Т выполняется при обычных комнатных температурах и более высоких. При низких же температурах, в области абсолютного нуля, температурная зависимость удельного сопротивления характеризуется законом е ~ Т5. Этот результат квантовой теории проводимости также подтверждается опытом.

/

§ 4. ПОНЯТИЕ О ЗОННОЙ ТЕОРИИ ПРОВОДИМОСТИ КРИСТАЛЛОВ

Кристалл представляет собой совокупность, систему атомов или молекул. Согласно квантовой механике энергия каждого уеди­ ненного атома квантуется, т. е. может принимать только дискрет­ ный ряд значений, достаточно далеко удаленных друг от друга. При объединении же атомов в кристалл взаимодействие атомов приводит к тому, что каждый уровень энергии изолированного атома расщепляется на N подуровней, число которых равно числу атомов в единице объема кристалла. Совокупность N подуровней образует, как говорят, разрешенную энергетическую зону. У кри­ сталла зон много — столько же, сколько дозволенных уровней у изолированного атома. Оценим энергетическое расстояние между соседними подуровнями.

Для ориентировочной оценки можно принять, что расстояние между соседними уровнями энергии изолированного атома равно по порядку величины 1 эв. Примерно такой же является и ширина энергетической зоны кристалла. Число подуровней в зоне, равное числу атомов в кристаллическом образце, по порядку величины такое же, как и число атомов в единице объема кристалла, т. е. ІО22 1 /см5 (считаем, что объем образца по порядку величины равен 1 см3). Следовательно, получим, что расстояние между соседними

397

подуровнями в зоне равно по порядку величины ІО-22 эз. Малое значение этой величины является очень существенным обстоятель­ ством в вопросе о проводимости кристалла.

Образование зон запрещенных значений энергии электрона в кристалле можно проиллюстрировать рассмотрением предельного случая слабой связи электрона в кристалле. Если применить к этому случаю формулу Вульфа—Бреггов, то из нее найдем значе­ ния дебройлевских длин волн, при которых электроны отражаются от атомных плоскостей кристалла и, следовательно, не могут рас­ пространяться. Запрещенным же значениям длины волны де Бройля соответствуют запрещенные значения для импульса элект­ рона

p= fik = fi 2я

~

и, следовательно, запрещенные значения энергии электрона, по­ скольку

2я импульсом частицы ц длиной волны де Бройля p= fik — H— , по-

А

лучим следующее соотношение между энергией и волновым вектором свободной частицы:

Е2тП2 k2.

Зависимость Е от k является, таким образом, квадратичной. Гра­ фически эта зависимость выражается параболой (рис. 111, а).

398

Рассмотрим теперь движение не свободного электрона, а элек­ трона, связанного в кристалле. Условие слабой связи позволяет в качестве полной энергии рассматривать кинетическую энергию электрона. Из условия Вульфа—Бреггов

2я

2d sin ®=пХ— п — k

найдем запрещенные значения модуля волнового вектора (волно­

Электрон, очевидно, не может иметь значений энергии, соответст­ вующих запрещенным значениям /г. Графически зависимость Е от k в этом случае приведена на рисунке 111,6. Как и в случае сво­ бодного электрона, это парабола, только с разрывами при запре­ щенных значениях k. Из рисунка видно существование запрещен­ ных зон энергии, соответствующих запрещенным значениям к.

У верхнего края зоны разрешенных энергий кривая изменяет кривизну: из вогнутой она становится выпуклой. Это значит, что

d2E

вторая производная ■ ■ в этой области отрицательна. Можно

СІіѵ*

показать, что для электрона в кристалле его эффективная масса

пропорциональна (см. стр. 404). Следовательно, можно

сказать, что у границы зоны электрон обладает отрицательной эффективной массой. Рассмотрим механизм электрического тока в кристалле с позиций квантовой механики и попутно выясним, почему тот или иной кристалл по своим электрическим свойствам является металлическим проводником, диэлектриком или полу­ проводником.

Допустим, на концы кристаллического образца, имеющего, на­ пример; форму стержня, подано напряжение. Это значит, что внутри кристалла создано электрическое поле. Действуя на элект­ рон, оно будет ускорять его, увеличивая его энергию. Но в кван­ товой механике очень важен вопрос: сможет Ли частица, в данном случае электрон, принять подводимую к ней энергию? В класси­ ческой физике частица может принять любую подводимую к ней энергию. В квантовой механике частицы могут принять только такие порциц энергии, которые могут их перевести на один из дозволенных возбужденных уровней энергии. Электрон будет уча­ ствовать в создании электрического тока в кристалле только в том случае, если он будет принимать энергию от электрического поля,

399