книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

смещению (вправо) соответствует такое же по абсолютной вели­ чине отрицательное смещение (влево). Это значит, что при строга гармонических колебаниях положения средних точек колеблю­ щихся частиц кристалла остаются неизменными при любых ампли­ тудах колебаний, т. е. при любой температуре. Следовательно,, при условии строгой гармоничности колебаний частиц кристаллов никакого теплового расширения кристаллов не было бы. Значит, причиной теплового расширения твердых тел является негармонич­ ность, или ангармоничность колебаний его частиц. Найдем, исходя из этого, закон теплового расширения, т. е. зависимость удлинения, тела от температуры.

В этом случае зависимость потенциальной энергии частицы:

Это верно при не слишком больших х ; как говорят, формула (9.9)' аппроксимирует ход реальной потенциальной кривой в окрестности положения равновесия. Коэффициент к" положителен. При х > 0= (точка правее равновесия) член — к"хг отрицателен, и кривая (9.9) идет ниже параболы (9.8); при х < 0 член — k"x3 положи­ телен, и кривая (9.9) идет выше параболы (9.8); оба эти обстоя­ тельства отражены на рисунке 95. Теперь выразим силу:

Для упрощения дальнейших расчетов примем, что среднее

значение силы равно нулю (Д с^О ). Чтобы найти средний квад­

рат смещения х2, примем (это тоже не строго), что средняя вели­ чина потенциальнойэнергии колеблющейся частицы кристалла пропорциональна температуре Т, подобно средней кинетической энергии газовой молекулы:

— k'xzttkT ,

где к — постоянная Больцмана.

, Подставив это в (9.10") и учтя, что Fx — 0, получим:

■151

Среднее значение смещения представляет собой расстояние точки,

весные положения всех частиц с повышением температуры отстоят друг от друга все дальше, а это и приводит к расширению крис­ талла при нагревании. Из приведенного изложения следует, что коэффициент линейного теплового расширения не зависит от тем­ пературы. Это имеет место лишь в некотором интервале темпера­ тур. Более детальный учет различных факторов (более точная аппроксимация потенциальной кривой, более корректное прове­ дение расчетов) позволяет построить более полную теорию теп­ лового расширения твердых тел.

Попутно мы выяснили и природу закона Гука на молекулярном уровне. Он имеет место благодаря тому, что при не слишком больших смещениях частиц возникает возвращающая сила (9.8'), пропорциональная смещению. Закон Гука — закон приближенный: при не слишком малых смещениях пропорциональность наруша­ ется.

Из графика силы взаимодействия частиц, приведенного на ри­ сунке 93, видно, что закон Гука справедлив в той мере, в какой реальную кривую для силы в окрестности равновесного расстоя­ ния между частицами (г0) можно аппроксимировать отрезком пря­ мой. Чем короче отрезок кривой, тем точнее такая аппроксимация. Это соответствует тому опытному факту, что закон Гука справед­ лив для малых деформаций, т. е.- для малых отклонений от рав­ новесного состояния.

§8. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

В1819 г. французские ученые Дюлопг и Пти на основе опыт­

Дюлонга и Пти).

Этот закон может быть выведен теоретически, если атомы кри­ сталла считать гармоническими осцилляторами. Каждый атом об­ ладает тремя колебательными степенями свободы.

По закону равномерного распределения энергии по степени сво­ боды, лежащему в основе классической теории теплоемкости, на одну степень свободы приходится средняя кинетическая энергия

еь равная тцкТ.

Поскольку, как видно из (8.16') и (8.16") с учетом того, что

-sin2co^=cos2co^=— , для гармонического осциллятора среднее

значение кинетической энергии равно среднему значению потенци­ альной энергии, средняя энергия осциллятора, приходящаяся на

3 5 2

одну степень свободы, равна 2- — kT. На все же три колебатель­

ные степени свободы приходится энергия 3 kT. Такова средняя энергия одного атома кристалла. Поскольку в моле содержится МА атомов (NA — число Авогадро), внутренняя энергия моля кристал­ ла, равная энергии всех NA атомов, будет равна:

где R = kNA — универсальная газовая постоянная.

Тепло Q, подводимое к твердому телу, идет практически пол­ ностью на увеличение его внутренней энергии, т. е. на нагревание, поскольку работой расширения твердого тела можно пренебречь ввиду малости теплового расширения твердых тел:

С другой стороны, по определению теплоемкости

Q— C- АТ.

Таким образом, для молярной теплоемкости кристаллических простых веществ, частицы которых можно считать гармоническими осцилляторами, получаем:

Поскольку R « 2 ккал/кмоль °К, то С = 6 ккал/кмоль °К, т. е. мы теоретически вывели закон Дюлонга и Пти.

Следует иметь в виду, что закон Дюлонга и Пти относится к атомным кристаллам. Для молекулярных и ионных кристаллов этот закон несправедлив. В ионных кристаллах, например, пова­ ренной соли NaCl, каждый ион (Na+ и С1_) является самостоя­ тельным осциллятором, число их в моле равно 2NA, и теплоем­

В молекулярных кристаллах энергия колебаний молекулы скла­ дывается из энергий колебаний атомов в молекуле. Если атомы в молекуле считать независимыми осцилляторами, то получим, что молярная теплоемкость кристаллического химического соединения, молекула которого содержит Z атомов, равна Z ■3R Ä ; 6Z. Этот вывод совпадает с эмпирическим законом Джоуля и Коппа: при достаточно высоких температурах молярная теплоемкость твердых химических соединений равна сумме килоатомных тепло­ емкостей элементов, входящих в состав этих соединений. На ос­ новании изложенного ясно, почему этот закон имеет место при вы­ соких температурах: атомы, входящие в состав молекул, можно считать независимыми осцилляторами.

Закону Дюлонга и Пти подчиняются не только кристалличе­ ские диэлектрики, но и м е т а л л ы . Это обстоятельство сыграло важную роль в физике (см. гл. 11).

При более тщательной проверке оказалось, что закон Дюлонга

т. е. приближается к теоретическому значению 6. Это значит, что для трех последних веществ комнатная температура не является достаточно высокой, а для остальных из названных элементов она является таковой.

Более детальное изучение вопроса на опыте показало, что теп­ лоемкости всех кристаллов уменьшаются с понижением темпера­ туры и при Т ->- 0; тоже стремятся к нулю. Типичный эксперимен­ тальный ход теплоемкости с температурой приведен на рисунке 96, Значение 6 ккал/кмоль °К, даваемое законом Дюлонга и Птн, яв­ ляется предельным, достижимым при достаточно высоких темпе­ ратурах. Классическая теория, дающая для теплоемкости лишь одно значение — 6 ккалікмоль °К, бессильна объяснить ее темпе­ ратурную зависимость. Исчерпывающая теория теплоемкости кри­ сталлов была построена на базе квантовых представлений перво­ начально. Эйнштейном в 1907 г. и в окончательном современном виде австрийским физиком Петером Дебаем в 1910—1912 гг.

Эйнштейн исходил из формулы Планка для квантованных зна­ чений энергии линейного гармонического осциллятора, колеблюще­

Эйнштейн предположил для простоты, что каждый атом кристалла колеблется с одной-единственной частотой ѵ. Для вычисления теп­ лоемкости нужно, как мы видели, вычислить энергию колебаний Е всех NA атомов, содержащихся в моле. А для этого нужно знать среднюю энергию одного осциллятора Дер, приходящуюся на одну степень свободы. Тогда

Для вычисления средней энергии одного осциллятора поступим следующим образом. Пусть нам известно, что N\ атомов обладают каждый энергией Е { = 1• hv, N2 атомов — энергией Е2 — 2 -hv, N3 атомов — энергией E3 — 3-hv и т. д. Тогда для средней энергии, приходящейся на один атом, получаем:

354

Для нахождения числа частиц Nn, имеющих энергию En = n -hv каждая, воспользуемся классическим распределением Больцмана:

Это выражение заменяет классическую формулу для средней энер­ гии линейного гармонического осциллятора £ Ср.кл = kJ, получен­ ную из закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. Формула (9.19) удовлетворяет принципу соответствия:

hv

при достаточно высоких температурах, при которых -^-<^1, име­

ет место приближенное соотношение

ßhv/liT~ hv kT ’

и согласно (9.19)

ЕсржкТ.

А это значение совпадает с принятым в классической физике. Подставив (9.19) в (9.15), получим выражение для внутренней

энергии моля кристалла:

Молярную теплоемкость найдем, если согласно (9.13) продиффе­ ренцируем внутреннюю энергию по температуре:

ГЛАВА

1 0 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Магнитные свойства веществ макроскопически проявляются в том, что вещество, помещенное во внешнее магнитное поле, само становится источником нового магнитного поля. Другими словами, вещество, помещенное во внешнее магнитное поле, намагничива­ ется. Намагничивающиеся среды назвали магнетиками, так как считали, что намагничиваться во внешнем поле — это свойство лишь некоторых сред, или веществ. Однако со временем выясни­ лось, что все без исключения среды так или иначе намагничива­ ются во внешнем поле, т. е. являются магнетиками. Тем не менее термин «магнетики» сохранился в физике.

В современной физике принимается, что первичным носителем магнитных свойств вещества, количественной характеристикой маг­ нитных свойств вещества являются магнитные моменты. Реальные токи всегда замкнуты, охватывают некоторую площадь. Магнит­ ное же поле замкнутого контура с током определяется, как уже говорилось, магнитным моментом тока:

pm=poASn. (8.25)

Как уже говорилось, плоский контур с током — это короткий, бесконечно короткий магнит, так называемый магнитный листок; он имеет два полюса: северный и южный, причем северный полюс —

на той стороне листка, из которой «выходит» вектор рт (рис. 97, а ). На рисунке замкнутые линии, пронизывающие контур, и осевая прямая представляют собой силовые линии магнитного поля листка; как и должно быть, они замкнуты или простираются в бесконечность в обе стороны. Направление поля связано с на­ правлением тока правилом правого винта; та плоскость магнит­ ного листка, из которого поле «выходит», является северным по­ люсом, другая плоскость листка, в которую силовые линии «вхо­ дят», является южным магнитным полюсом листка. Магнитный момент прямого (полосового магнита) направлен, как и у листка, от южного полюса 5 магнита к северному N (внутри магнита, рис. 97, б).

357

N

9Ф"

Два опытных факта привели одного из создателей электроди­ намики — Андрэ Мари Ампера в 30-х годах прошлого века к пра­ вильным в основе представлениям о физической природе магнетиз­ ма вещества. Это, во-первых, тот факт, что круговой ток эквивален­ тен магниту, во-вторых, магнит можно делить на сколь угодно ма­ лые части, и всегда будут получаться магниты с двумя полюсами. Изолированных магнитных полюсов не существует. Ампер высказал гипотезу, что магнетизм — это свойство атомов и молекул, что каждый атом и каждая молекула представляет собой магнит, а магнетизм молекул обусловлен так называемыми молекулярными круговыми токами, текущими в атомах и молекулах. Ампер пред­ положил, таким образом, что магнетизм имеет электрическую при­ роду, что это свойство замкнутых токов. Правда, ни Ампер, ни много лет спустя после Ампера физики не знали природы амперовых токов. И только дочти сто лет спустя, когда в физику вошел атом Резерфорда—Бора, выяснилась природа молекулярных токов Ампера: каждый из таких токов обусловлен движением электрона вокруг ядра. Понятие магнитного момента настолько прочно вошло в современную физику, что в физике магнитный момент является одной из важнейших физических величин.

Классификация магнетиков (диа-, пара-, ферромагнетики) ос­ нована на поведении образцов из разных веществ во внешнем маг­ нитном поле. Если брусочки различных веществ помещать в маг­ нитное поле, то образцы одних веществ располагаются своей длин­ ной стороной в д о л ь поля. Такие вещества называются парамаг­ нитными веществами или, коротко парамагнетиками. Такое назва­ ние происходит от греческого слова «пара», что значит «вдоль» (па­ раллельные прямые — это прямые, направленные одна вдоль дру­ гой). К парамагнетикам относятся металлы литий; натрий, алю­ миний, хром, кальций, магний, марганец, молибден, уран и др.;

358

Р и с . 9 8 .

соли железа, никеля, кобальта, соли редкоземельных элементов; газ кислород и ряд других веществ.

Образцы некоторых веществ во внешнем поле располагаются длинной стороной п о п е р е к поля. Это и обусловило их название: диамагнитные среды, или диамагнетики («диа» по-гречески значит «поперек»; диагональ — прямая, идущая поперек угла квадрата).

Феноменологически или макроскопически указанное различие в поведении пара- и диамагнетиков можно объяснить тем, что пара­ магнетики намагничиваются во внешнем поле в д о л ь поля, а диамагпетпкп — противоположно полю. Намагнититься вдоль или

•» против поля — это значит приобрести магнитный момент р'т, на­

правленный вдоль или нротивоположно внешнему полю. Внешнее поле ориентирует или индуцирует магнитный момент, который у парамагнетиков направлен вдоль поля, а у диамагнетиков — проти­ воположно полю. (Молекулярный механизм парамагнитного и диа­ магнитного намагничения рассмотрим ниже.) Из твердых веществ днамагнетиками являются следующие металлы: медь, серебро, зо­ лото, цинк, кадмий, ртуть, свинец, сурьма, висмут и некоторые дру­ гие: Из жидких диамагнетиков можно указать этиловый (винный)

Поскольку разноименные полюсы притягиваются, а одноимен­ ные отталкиваются, то парамагнетик стремится расположиться вдоль внешнего поля, а диамагнетик — поперек поля. Это их по­ ложения равновесия.

При отклонении пара- и диамагнетика от этого положения рав­ новесия возникает вращающий момент, возвращающий магнетик в прежнее положение.

Следовательно, расположение поперек внешнего поля является положением устойчивого равновесия диамагнетика. Аналогичные

359