книги из ГПНТБ / Стручков В.В. Вопросы современной физики пособие для учителей

ленной частоты, называемые продольной модой. Расстояние между соседними модами по шкале частот в случае рубинового лазера, когда / = 10 см, составляет примерно 1,5 Г г ц = 1,5-ІО9 гц.

На первый взгляд кажется, что практически невозможно на­ строить лазер на частоту ѵ, которую он должен генерировать, т. е.

согласовать (8.57') с правилом частот Бора v = - j- ( £ n — Ет). Од­

нако положение спасает то обстоятельство, что’ частота лазерного перехода согласно (8.44) не является однозначной, поскольку каждая спектральная линия атома обладает некоторой шириной.

Выше уже указывались причины, по которым излучение атомов не является строго монохроматическим. Наибольший вклад в это явление вносит доплеровское уширение спектральных линий, об­ условленное тепловым движением атомов. В результате оказы­ вается, что на ширине спектральной линии укладывается несколько мод. На рисунке 91 схематически представлена спектрограмма лазерного излучения: на фоне доплеровской ширины спектральной линии Дѵд, соответствующей частоте лазерного перехода

ѵл=-^-(£з — Ei), представлены линии, соответствующие отдельным

модам. Их спектральная ширина так мала по сравнению с Дѵд, что на рисунке отразить ее невозможно, и моды представлены вертикальными линиями.

Спектральная ширина линии излучения, соответствующей одной моде, значительно меньше естественной ширины линии, о которой говорилось ранее, в § 7 этой главы. Именно это обстоятельство имеют в виду, когда говорят об исключительной монохроматично­ сти лазерного излучения.

Предельная степень монохроматичности лазерного излучения очень высока, но достижение ее связано со значительными труд­ ностями. Прежде всего, незначительные деформации кристалла, обусловленные нагреванием, приводят к нарушению условия ре­ зонанса (8.57'). В настоящее время достигнута стабилизация ча­ стоты спектральной линии по ширине в пределах 0,1 Мгц, в отно-

330

линии! До лазеров естественная ширина спектральной линии счи­ талась пределом монохроматичности.

Из того, что рассмотрено выше, становятся понятными три ос­ новных свойства лазерного излучения: 1 ) острая направленность, т. е. малая угловая расходимость, 2 ) возможность получения сверх­ высоких интенсивностей лазерного луча на больших расстояниях от источника, 3) когерентность (как пространственная, так и вре­ менная). Подчеркнем еще раз, что все фотоны лазерного излуче­ ния должны лететь строго параллельно оси лазера. В действи­ тельности лучи несколько расходятся; это обусловлено дифракцией на выходном отверстии (зеркале В).

В радиофизике угловую ширину луча, даваемого передающей антенной диаметром D, можно определить по формуле

Из него вытекает жесткое требование: чем уже мы хотим иметь луч, тем большими (по сравнению с длиной волны Я.) должны быть размеры антенны. По этой причине приемные антенны радио­ телескопов, предназначенных для приема радиосигналов от очень удаленных локализованных источников радиоизлучения, имеют в поперечнике несколько 'километров!

Чтобы оценить малость этой величины,' подсчитаем, какого ра­ диуса круг на поверхности Луны осветит такой луч, пущенный с Земли. Умножив угол на расстояние от Земли до Луны ( « 380 000 км), найдем:

Ю-6-1-10-5-(380000 км) =0,38 + 3,8 км.

Диаметр освещенного круга составит по порядку величины 1 км. Следовательно, расходимость лазерного луча составляет примерно 1 км на каждые полмиллиона километров пройденного расстояния. Этим объясняется то, что в будущем связь с астронав­ тами будет осуществляться с помощью лазерного излучения, а не

женность одного цуга волн: для лазерного луча она может дости­ гать нескольких километров. Это значит, что с помощью такого

331

луча можно наблюдать интерференцию света при отражении от верхней II нижней поверхностей плоскопараллелы-юй пластинки толщиной в несколько сотен метров! Вспомним, что для осущест­ вления интерференции нужно, чтобы встречались волны, принад­ лежащие к одному цугу. Для получения интерференции с помощью обычного спонтанно испущенного света требуются пластинки тол­ щиной в микрометры и менее. (Примером является интерференция в тонких пленках, например мыльных пузырях.)

Пространственная когерентность означает следующее. В слу­ чае одномодного излучения вся поверхность выходного зеркала п вообще любое сечение луча, ему перпендикулярное, представляет собой фронт одной волны, так как фаза колебаний во всех точках сечения одинакова. Поэтому практическое осуществление интер­ ференционного опыта Юнга с помощью лазерного луча предельно просто: нужно на пути лазерного луча, на любом расстоянии от лазера, поставить экран с двумя отверстиями; за ним, на другом экране, можно наблюдать четкую и яркую интерференционную картину.

В случае света от обычных источников пространственная коге­ рентность отсутствует, так как реальная волна представляет собой суперпозицию сферических волн от некогерентных источников — атомов. Чтобы сгладить некогерентность в опыте Юнга от обыч­ ного источника, экран с отверстиями приходится значительно уда­ лять от источника, что приводит к малой освещенности интерфе­ ренционной картины. "

Большая интенсивность и «тонкость» лазерного луча нашли применение в хирургии, при сложных операциях. При некоторых заболеваниях глаз сетчатка отслаивается от глазного дна, ибо она прикреплена всего в трех точках. С помощью лазерного луча оказалось возможным «приварить» сетчатку и восстановить зре­ ние.

Высокая временная когерентность делает лазерный луч иде­ альным передатчиком информации: например, с помощью одного лазерного луча можно передать в тысячи раз больше радиограмм, чем по существующим кабельным и наземным линиям связи. Кроме высокой временной когерентности лазерного излучения, этому спо­ собствует то обстоятельство, что несущая частота для лазерного излучения гораздо больше модулирующей частоты передаваемого сигнала, чем в случае несущей частоты для радиодпапазона. Нако­ нец, большая интенсивность лазерного луча открыла возможность получения так называемых нелинейных эффектов в оптике и по­ ложила начало нелинейной оптике.

В обычной, так называемой линейной оптике принимается, что показатель преломления среды и связанная с ним фазовая ско­ рость волны зависит только от частоты (дисперсия), но не от ам­ плитуды проходящей волны. Это оказывалось верным для любых, даже больших амплитуд, с которыми оптика имела дело до по­ явления лазеров. Интенсивность лазерного луча такова, что ампли­ туда электрического вектора световой волны достигает огромной

332

ГЛАВА

9 СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КРИСТАЛЛАХ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Физика твердого тела (сокращенно ФТТ) за последние 40 лет претерпела бурное развитие и к настоящему времени преврати­ лась в обширную физическую науку. Предметом изучения ФТТ являются следующие важнейшие проблемы: 1 ) силы связи и внут­ реннее строение твердых тел, 2 ) зонная теория кристаллов, 3) ме­ ханические свойства твердых тел, 4) тепловые свойства твердых тел, 5) электрические свойства твердых тел, включая свойства полупроводников и контактные явления, 6 ) оптические свойства ■твердых тел (в особенности вопросы квантовой электроники), 7) проблема магнетизма, 8 ) получение материалов с заданными свойствами.

Ни одна из отраслей физики не испытала на себе такого влия­ ния квантовых представлений, как ФТТ. Это обстоятельство за­ трудняет проникновение современной ФТТ в курс физики средней школы. Тем не менее оно неизбежно, и задачей методистов явля­ ется поиск путей изложения ФТТ в средней школе.

Рассмотренные здесь вопросы определяются вышеперечисленной тематикой ФТТ.

Отличительной особенностью кристаллов 1 является 'так назы­ ваемый дальний порядок —• строго упорядоченное расположение частиц, точнее, узлов пространственной кристаллической решетки, во всем макроскопическом объеме монокристалла. Догадки о даль­ нем порядке, относящиеся к XVII—XVIII вв., получили прямое опытное подтверждение лишь в начале нашего века. В 1912 г. из­ вестный немецкий физик Макс фон Лауэ вместе со своими уче­ никами Фридрихом (он впоследствии стал президентом Академии наук Германской Демократической Республики) и Книппингом впервые осуществил на .опыте дифракцию рентгеновых лучей на кристалле. Опыт Лауэ состоял в ф°тогРаФиРо в а н и і 1 результата прохождения узкого пучка рентгеновых лучей через монокристалл. На рентгенограмме, называемой лауэграммой, вокруг следа па­ дающего луча возникали дополнительные почернения пленки, до­ полнительные максимумы, расположенные в определенном порядке

1 Слово «крнсталлос» по-гречески значит «лёд».

334

вокруг центрального пятна. Объяснение картины было дано самим Лауэ: упорядоченное рассеяние рентгеновых лучей кристаллом яв­ ляется результатом дифракции' этих лучей на пространственной ди­ фракционной решетке, роль которой играет кристалл. Порядок в расположении максимумов является следствием упорядоченного расположения частиц в кристалле. Теория позволяет по располо­ жению максимумов определять структуру кристаллической ре­ шетки, т. е. находить расстояния между узлами решетки по раз­ личным направлениям, подобно тому как по положению полос от оптической дифракционной решетки можно вычислить период ре­ шетки. Правда, теория дифракции от кристалла гораздо сложнее теории дифракции от плоской решетки, потому что кристалл — это трехмерная пространственная периодическая структура, тогда как оптическая решетка является простейшей одномерной периодиче­ ской структурой: она периодична только в одном направлении — перпендикулярном к штрихам.

Работы Лауэ положили начало новой ветви физики '— рентге­ ноструктурному анализу — исследованию строения вещества с помощью рентгеновых лучей.

В основу классификации кристаллов в современной физике положены два связанных между собою признака: по типу частиц, колеблющихся относительно узлов решетки, и по характеру сил взаимодействия между частицами. Все кристаллы при чрезвы­ чайном разнообразии их свойств подразделяются на следующие четыре типа: атомные, молекулярные, ионные и металлические. Полупроводники при всей их важности в самостоятельную группу не выделяются — они относятся к атомным кристаллам.

§2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Воснове теории твердого тела лежат законы взаимодействия двух частиц. Количественно законы взаимодействия различных ча­ стиц, например молекул или ионов, выражаются различными фор­ мулами. Взаимодействие любых частиц являет собой пример диа­ лектического единства противоположностей — между частицами одновременно действуют и сила притяжения, и сила отталкивания.

Причем эти противоположно направленные силы, вообще говоря, не уравновешивают друг друга; они по-разному зависят от расстоя­ ния между частицами, причем так, что на сравнительно далеких расстояниях преобладает сила притяжения, на малых же расстоя­ ниях доминирует сила отталкивания. Обычно говорят не о силах взаимодействия, а о потенциальной энергии взаимодействия час­ тиц. На рисунке 92 приведена типичная потенциальная кривая взаимодействия двух частиц как функция расстояния между ними (кривая 3). На этом же рисунке приведены кривые потенциаль­ ных энергий сил отталкивания и притяжения. Кривая 2 соответст­ вует притяжению, а кривая 1 — отталкиванию, поскольку, как было выяснено ранее, потенциальная энергия притяжения отрица­ тельна, потенциальная же энергия отталкивания положительна.

335

Результирующая кривая 3 получается путем алгеб­ раического сложения орди­ нат кривых I и 2. Из гра­ фика видно, что кривая име­ ет минимум, соответствую­ щий расстоянию Го между частицами. По общему пра­ вилу механики это значит, что расположение частиц на расстоянии г0 друг от друга соответствует устойчивому положению равновесия. Это чрезвычайно важное обстоя­ тельство. Не будь его, не было бы молекул, не было бы ни жидких, ни твердых тел, частицы стремились бы или удалиться на бесконеч­ ное расстояние друг от дру­ га, пли, наоборот, слиться друг с другом.

Для дальнейшего полез­ но привлечь представление о силах. Сила связана с со­ ответствующей ей потенци­

альной энергией. Работа консервативной силы на некотором пе­ ремещении равна взятому с обратным знаком приращению по­ тенциальной энергии при этом перемещении, т. е. разности потен­ циальных энергий в начальной и конечной точках:

(Под приращением функции в физике, как и в математике, пони­ мается разность значений функции в конечной и начальной точ­ ках.) Это соотношение можно проиллюстрировать примером со свободным падением в поле силы тяготения. При падении гела сила тяготения производит положительную работу, так как сила и перемещение одинаково направлены; потенциальная же энергия при этом уменьшается, ее приращение отрицательно ( А Д < 0 ) . Из (9.1) получаем следующее общее соотношение:

АU

(9.2)

Аг '

Проекция силы на некоторое направление равна изменению потенциальной энергии на единице расстояния, взятой в этом направлении. В средней школе потенциальная энергия вводится корректно только в связи с потенциалом электростатического поля.

336

Там получается следующее соотношение между напряженностью электрического поля и его потенциалом: напряженность поля чис­ ленно равна падению потенциала, на единице длины силовой ли­ нии. Это вытекает из (9.2), так как напряженность поля равна силе, отнесенной к единичному заряду.

В общем случае переменной силы следует в правой части (9.2) брать бесконечно малые приращения:

dU

(9.20

dr

Проекция силы на некоторое направление равна взятой со знаком «минус» производной потенциальной энергии по этому направле­ нию. Коротко это формулируют следующим образом: сила как вектор равна взятому со знаком «минус» градиенту потенциаль­ ной энергии. В качестве направления, на которое проектируется сила, выберем направление прямой, соединяющей взаимодействующне частицы. Если начало координат поместим в одной из частиц, а ось направим к другой частице, то с помощью (9.2') мы найдем силу, действующую на другую частицу. Это можно сде­ лать и путем графического дифференцирования кривой потенци­ альной энергии, график которой представлен на рисунке 92. Гра­ фическое дифференцирование позволит быстро получить общий вид зависимости силы взаимодействия частиц от расстояния между ними. Нужно только привлечь самые общие сведения о производ­ ной: производная от функции положительна, если при возраста­ нии аргумента функция тоже возрастает; производная отрица­ тельна, если при возрастании аргумента функция убывает; произ­ водная тем больше по абсолютной величине, чем сильнее возра­ стает или убывает функция; в точках максимума и минимума функции производная равна нулю.

В положении устойчивого равновесия, на расстоянии г0, сила равна нулю. Это значит, что на этом и только на этом расстоянии сила притяжения уравновешивает силу отталкивания, на всех же других расстояниях преобладает одна из сил, поскольку у кривой потенциальной энергии имеется только одна точка минимума. При расстояниях, больших г0, потенциальная энергия возрастает (умень­ шается абсолютное значение отрицательной величины), производ­ ная положительна, а сила, точнее ее проекция, отрицательна. Кру­ тизна потенциальной кривой, а с ней и модуль силы возрастает до точки перегиба, 'после чего рост потенциальной энергии и, стало быть, также и силы ослабевает, и сила стремится к нулю при г —У о о .

При расстояниях, меньших равновесного г0, производная отри­ цательна; при уменьшении г функция U возрастает, а значит, при увеличении г она убывает. Сила же, следовательно, при г < г0 положительна. По мере уменьшения расстояния между частицами сила становится все больше и больше. Таким путем получим об-

щиіі вид графика силы; он приве­ ден на рисунке 93. Для лучшего уяснения связи графиков силы и потенциальной энергии их целесо­ образно строить один под другим

-лой притяжения. Действительно, только при действии силы при­ тяжения удаление частиц друг от друга увеличивает запас их потенциальной энергии, т. е. величину работы, которую могут совершить сами частицы, будучи предоставлены сами себе. Ана­ логичным образом найдем, что положительная сила — это сила отталкивания. Как видим, совсем не просто объяснить, что значит положительный или отрицательный знак проекции силы.

Начиная с некоторого расстояния между частицами сила от­ талкивания резко возрастает, становится практически бесконечно большой. Это значит, что дальнейшее сближение частиц уже не­ возможно. Можно представить себе, что частицы «уперлись» одна в другую и дальше сближаться не могут. Поэтому расстояние, на­ чиная с которого сила отталкивания резко возрастает, может быть принято за размер частиц, за минимальное расстояние между их центрами, т. е. за удвоенный радиус 2R, или диаметр частицы. Как видим, и это общее правило, размер частицы, атома или молекулы, да и других частиц — понятие весьма условное: у частиц нет «границ» в нашем житейском понимании.

Мы рассмотрели взаимодействие только двух частиц. Этого :не вполне достаточно для понимания механизма образования всех типов кристаллов, но достаточно для трех типов из четырех — ион- :ных, атомных и молекулярных кристаллов и, кроме того, важно само по себе для понимания того, как могут взаимодействовать электрически нейтральные молекулы реального газа и как элект­ рически нейтральные атомы могут соединяться в молекулы.

§ 3. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. ПРИРОДА СИЛ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА

С проявлением сил взаимодействия молекул мы 'сталкиваемся в связи с рассмотрением отступления реальных газов от законов идеальных газов. Для реальных газов закон Бойля—Марнотта, строго говоря, не выполняется: произведение давления газа на

.занимаемый им объем при неизменной температуре не остается постоянным. Силами взаимодействия между молекулами объясня­ ется также эффект Джоуля—Томсона. Этот эффект можно наблю­ дать в бытовых условиях. Если взять баллончик ое сжатым уг^іе-

•338

кислым газом от бытового сифона для газирования воды и вы­ пускать углекислый газ наружу, то баллончик около места выхода газа будет охлаждаться и на нем может появиться иней или даже корка льда. В изменении температуры реальных газов при их рас­ ширении и состоит эффект Джоуля—Томсона (это определение ив' вполне строго, но для первого знакомства достаточно). Правда, изменение температуры не обязательно носит характер охлажде­ ния, ряд газов при расширении, наоборот, нагревается. Поэтому охлаждение при расширении называется положительным эффектом, Джоуля—Томсона, нагревание — отрицательным эффектом. Количественно эффект Джоуля—Томсона характеризуется так назы­

лаждается (т. е. АТ < 0), коэффициент положителен, если же при расширении газа (Ар < 0) он нагревается (АТ > 0), коэффициент

АТ

отрицателен. Положительный или отрицательный знак коэф­

Ар

фициента Джоуля—Томсона не является неизменным свойством данного газа — он зависит от параметров состояния (температуры II давления). Например, при комнатных температурах водород дает отрицательный эффект Джоуля—Томсона, при температурах же ниже —80° С — положительный эффект.

В эффекте Джоуля—Томсона очень ярко проявляется двойст­ венный характер сил взаимодействия молекул: притяжение и от­ талкивание.

Представим себе, что между молекулами действуют только., силы притяжения. При расширении газа, т. е. при увеличении сред­ них расстояний между молекулами, нм пришлось бы совершить. работу против внутренних сил межмолекулярного притяжения. Па закону сохранения энергии внутренняя энергия газа (т. е. сумма кинетических энергий теплового движения молекул и потенциаль­ ной энергии их взаимодействия) при этом не изменится, а потен­ циальная энергия возрастает. Следовательно, кинетическая энер­ гия молекул уменьшится в результате расширения, а ведь она определяет температуру газа. Следовательно, газ, между молеку­ лами которого действуют только силы притяжения, будет охлаж­ даться при расширении, т. е. давать положительный эффект Джоу­ ля—Томсона.

Наоборот, если бы между молекулами действовали только силы отталкивания, то при расширении газа эти силы ускоряли бы молекулы, т. е. увеличивали бы их кинетическую энергию, а еле-, довательно, температуру газа. Таким образом, силы отталкивания между молекулами обусловливают отрицательный эффект Джоу­ ля—Томсона,.

Изменение знака эффекта при изменении давления, т. е. при изменении средних расстояний между молекулами, свидетельст­ вует о том, что в действительности между молекулами реального