книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

488 В Ы Б О Р О П Т И М А Л Ь Н Ы Х С Х Е М И П А Р А М Е Т Р О В Г У [ Г Л . 9

С вектором X (t) соотношением

где ошибки измерения V (t) в теории Калмана предполагаются линейно связанными с белым шумом и имеют нулевые математи­ ческие ожидания, а корреляционные функции компонент вектора V (t) определяются формулой

где мат])ица

— симметричная положительно определенная матрица размер­ ности \тХт]. Предполагается, что компоненты вектора U (t) некоррелированы с компонентами вектора V (t). Объединяя (54) с (58) и учитывая (57), получим систему уравнений, характеризую­ щую состояние рассматриваемой динамической системы

*xgL = F(t)X(t) + G(t) U{t),

(9.61)

Z(t) = H{t)X(t) + V{t).

Так как в общем случае матрицы F, G, Н могут изменяться со временем, то система уравнений (61) характеризует нестацио­ нарную динамическую систему, уравнения которой имеют пере­ менные коэффициенты.

Если все элементы матриц F, G, Н постоянны, то система (61) является стационарной. Если II (t)=0 (или G=0), то система называется свободной.

Пусть t0 — начальный момент времени, тогда вектор X (t{)) характеризует начальное состояние системы и является вектор­ ной случайной величиной с нормальным распределением.

При сделанных предположениях векторы X (t) и Y (t) также будут нормальными.

Динамические устройства, выполняющие операцию линейной фильтрации и позволяющие получить заданный случайный про­ цесс из белого шума, часто’называют формирующими фильтрами.

В соответствии со сказанным первое уравнение системы (61) является уравнением формирующего фильтра. Поэтому иногда говорят, что в методе Калмана используется задание случайного

Выражение (69) называется дифференциальным уравнением оптимального фильтра, который «возмущается» наблюдаемым сигналом Z (t) и дает на выходе наилучшую линейную оценку X (і) состояния X (t) динамической системы. Входящая в (69) матрица К (t) представляет собой матричный коэффициент уси­ ления оптимального фильтра. На рис. 9.3 приведена блок-схема фильтра Калмана, из которой следует, что оптимальный фильтр содержит модель формирования полезного сигнала, на которую

Рис. 9.3. Блок-схема фильтра Калмана.

через переменные коэффициенты усиления ^поступает разность между наблюдаемым сигналом Z (t) и H(t)X (t).

Для оптимальной экстраполяции полезного сигнала Калманом получено выражение

оптимальной оценки. Начальное значение Р (^0) этой корреляцион­ ной матрицы характеризуется выражением (67) и предполагается известным.

Матричный коэффициент К (t) усиления оптимального фильтра, входящий в (69), выражается через корреляционную матрицу ошибки оценки Р (t) следующим образом:

где R~x (t) — обратная матрица по отношению к R (t) [см. (60)]. Для корреляционной матрицы Р (t) ошибки оценки Калманом

было получено уравнение

при начальном значении P (t0) корреляционной матрицы, опре­ деляемым выражением (67).

Нелинейное дифференциальное уравнение (75) для корреля­ ционной матрицы ошибки оценки называется корреляционным или дисперсионным уравнением. Корреляционное уравнение пред­ ставляет собой систему п (га+1 ) / 2 дифференциальных уравнений типа Риккати. Таким образом, решение задачи оптимальной фильтрации дается системой уравнений (69), (74), (75), образую­ щей алгоритм фильтра Калмана. При этом должны быть заданы

Р (t0) ошибки оценки. Следовательно, в методе Калмана опти­ мальный оператор представляет собой оператор линейного диффе­ ренциального уравнения, при этом непосредственно определяется дифференциальное уравнение (69) оптимального фильтра. Реше­ ние задачи оптимальной фильтрации сводится к нахождению реше­ ния матричного нелинейного дифференциального уравнения (75) относительно корреляционной матрицы Р (t) ошибок оценки и к последующему определению с помощью формулы (74) матрич­ ного коэффициента усиления К (t), входящего в дифференциаль­ ное уравнение (69) оптимального фильтра.

Для решения задачи оптимальной фильтрации должны быть известны модели формирования полезного сигнала (матрицы F (t) и G (t)) в первом уравнении (61)) и наблюдаемого сигнала (матрица Н (t) во втором уравнении (61)).

При решении задачи на ЦВМ дискретные аналоги дифферен­ циального уравнения (69) оптимального фильтра и дифференциаль­ ного уравнения (75) для корреляционной матрицы ошибок оценки являются рекуррентными выражениями, предполагающими при­

рицы ошибок оценки Р (t), использование которой на последую­ щем шаге обработки дает возможность осуществить дальнейшее уточнение оценки X (t).

Применение пошаговой процедуры обработки информации

бок оценки превращается в постоянную величину. Следовательно, в устойчивом состоянии системы коэффициент усиления К (t) также будет постоянным.

При указанных условиях оптимальный фильтр будет стацио­ нарным и его дифференциальное уравнение, согласно (69), при­

и во временной области эквивалентно фильтру Винера, который

вчастотной области определяется из решения интегрального уравнения Винера—Хопфа.

Алгоритм фильтра Калмана, образуемый дифференциальными уравнениями (69), (74), (75), достаточно удобен для реализации его

вреальном масштабе времени с помощью цифровых вычислитель­ ных машин.

Отметим некоторые особенности, связанные с реализацией и применением оптимального динамического фильтра. Как былоуказано, одно из основных предположений метода оптимальной фильтрации Калмана состоит в том, что помеха наблюдений при­ нимается как независимый случайный гауссов процесс типа бе­

лого шума.

В ряде последующих работ этот подход был обобщен на слу­ чай коррелированной помехи наблюдений. По существу все эти обобщения сводятся к соответствующим преобразованиям наблю­ даемого сигнала, после чего задача оптимальной фильтрации ре­ шается обычным методом. При этом предварительное преобразо­ вание наблюдаемого сигнала осуществляется таким образом, чтобы полученный сигнал содержал белый шум. Дальнейшее решение осуществляется по методике Калмана—Бьюси с учетом ряда осо­ бенностей.

При реализации фильтра Калмана важным является обеспе­ чение его устойчивости.

Для того чтобы оптимальный фильтр был равномерно (экспо­ ненциально) асимптотически устойчивым, достаточно, чтобы мо­ дель формирования полезного сигнала (61) была равномерно полностью наблюдаемой и равномерно полностью управляемой **), а нормы матриц F(t), Q(t), R(t) удовлетворяли бы некоторым не­ равенствам. Показано, что оптимальный фильтр является равно­ мерно асимптотически устойчивой динамической системой.

При этом корреляционное уравнение представляет собой

тической устойчивостью, может иметь неограниченную реакцию на ограниченное возмущение и практическое применение подоб­ ного фильтра нецелесообразно.

При практическом осуществлении фильтра Калмана весьма важен вопрос об ошибках входных данных, начальных условий и т. д. Так, например, в некоторых случаях ограниченные ошибки в априорных данных о характере входного сигнала вы­ зывают неограниченный рост ошибок фильтрации, вследствие чего использование фильтра становится практически невоз­ можным.

Основные причины неограниченного отклонения реальной ошибки фильтра от расчетного установившегося ее значения следующие:

а) отличие реальной модели процесса от принятой при рас­ чете;

б) ошибки машинного счета, вызванные ошибками округления

всвязи с ограниченностью разрядной сетки и другими причинами.

Врезультате ошибок второй группы корреляционная матрица сшибок оценки P(t) перестает быть положительно определенной и симметричной, вследствие этого переменный коэффициент усиления K(t) фильтра вычисляется неверно и алгоритм обработки данных наблюдений все больше отличается от оптимального.

Существенную роль играет также точность определения начальных оценок. Чем начальная оценка значения вектора состоя­ ния ближе к истинному значению этого вектора, тем линейный рекуррентный процесс будет быстрее сходиться. Если ошибки начальной оценки слишком велики, то фильтр Калмана в пе­ реходном процессе может давать большие ошибки.

*) См. подстрочное примечание на стр. 475.

**) Понятия наблюдаемости и управляемости динамической системы подробно разъяснены, например, в книге Я. Н. Р о й т е н б е р г а , Авто­ матическое управление, «Наука», 1971.

5 9 . 6 ] С У Щ Н О С Т Ь М Е Т О Д А О П Т И М А Л Ь Н О Й Ф И Л Ь Т Р А Ц И И К Л Л М Л Н А 495

В ряде работ были найдены практические модели фильтра Калмана (модифицированные фильтры), в которых предотвраща­ ется расходимость из-за неточности модели процесса, ошибок округления и других факторов.

Практическая реализация метода оптимальной динамической фильтрации предъявляет значительные требования в отношении объема вычислений. Были рассмотрены различные возможности сокращения вычислений путем использования субоптимальных фильтров. Один из способов решения этой задачи состоит в ис­ ключении из корреляционной матрицы ошибок оценки P(t) тех элементов, которые незначительно влияют на работу системы.

Другой способ состоит в использовании заранее вычисленных коэффициентов усиления.

Достоинствами рассматриваемого метода оптимальной фильт­ рации являются:

1)Он дает, как и другие методы оптимизации, наилучшие в смысле минимума погрешности возможные оценки, исходя из из­ вестных вероятностных характеристик как входных переменных, так и ошибок измерений.

2)Данные измерений обрабатываются непосредственно по мере их получения, причем алгоритм обработки информации, представляющий собой совокупность дифференциальных и алге­ браических уравнений, достаточно удобен для реализации в реаль­ ном масштабе времени с помощью цифровых вычислительных машин.

3)Этот метод позволяет получить при решении оптимальной задачи непосредственно структуру оптимального фильтра, кото­ рая практически может быть осуществлена.

4)Оптимальный фильтр Калмана озволяет решать задачи синтеза многомерных динамических систем, что существенно рас­ ширяет область его применения.

5)Данный метод дает возможность решать задачи оптималь­ ной фильтрации для нестационарных систем, описываемых диф­ ференциальными уравнениями с переменными коэффициентами при учете нестационарного характера входных сигналов и помех,

для конечного и бесконечного времени наблюдения.

6 ) Применительно к различным системам навигации имеется возможность осуществления коррекции этих систем при одно­ временной работе нескольких корректирующих устройств и про­ извольном распределении моментов их включения и выключения.

Благодаря указанным и некоторым другим достоинствам метод оптимальной динамической фильтрации получил широкое применение в космической навигации, при решении разнообраз­ ных задач навигации самолетов и кораблей, в автоматическом управлении, в радиотехнике, в управлении производственными

процессами и в других областях. Применительно к рассматривае­ мым в настоящей книге гироскопическим устройствам фильтры Калмана используются в инерциальных навигационных системах.

Здесь они применяются при решении различных задач, в част­ ности, при первоначальной выставке гиростабилизированных площадок, при осуществлении демпфирования ИНС по скорости и коррекции координат места, для улучшения динамических свойств различных устройств ИНС при отсутствии внешней инфор­ мации, для определения источников ошибок различных инерциаль­ ных приборов и осуществления их коррекции, при решении задач гирокомпасирования (определение курса объекта без использо­ вания гирокомпаса), при разделении действительных ускорений объекта от «ускорений», вызванных инструментальными ошиб­ ками инерциальных приборов с целью уменьшения их влияния на точность навигации и т. д.

§9.7. Примеры определения оптимальных схем

ипараметров ГУ

Рассмотрим несколько примеров определения оптимальных систем, поясняющих решение задач трех типов, указанных в § 9.1:

а) определение оптимальной динамической системы без ка­ ких-либо ограничений, наложенных на ее структуру;

б) нахождение параметров ГУ при заданной его структурной схеме;

в) определение корректирующего устройства при заданной неизменяемой части гироскопической системы (гироскоп и другие элементы).

Пример 9.1. Определить оптимальную передаточную функцию измерителя угловой скорости бортовой качки корабля (гиротахо­ метра), если память системы не ограничена, угол крена 6(t) — стационарная случайная функция, а на вход системы поступает сумма полезного сигнала £/(£)= Ѳ(2) и помехи V(t), возникающей вследствие различных возмущающих факторов. Дано, что й—г>=0,