книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

§ 9.2. Определение оптимальной динамической системы при бесконечном времени наблюдения

Как было указано в § 9.1, в задаче Винера на вход динамической системы поступает сумма управляющего воздействия (полезного сигнала) U (t) и возмущающего воздействия (помехи) V (t), кото­ рые являются стационарными случайными функциями времени (будем считать й=г;=0). Рассматриваемая система должна на своем выходе воспроизводить некоторый требуемый сигнал Z (t), который связан с U (t) заданным функциональным соотношением

т. е. ее реакция на единичную импульсную функцию должна обра­ титься в нуль для if 0. Следовательно, импульсная переходная функция I (t) (весовая функция) должна удовлетворять условию

Погрешность е (t) системы определяется разностью между действительным выходным сигналом Y (t) и требуемым выходным сигналом Z (t), т. е.

В связи с этим условие минимума средней квадратической ошибки может быть записано в виде

Задача синтеза оптимальной системы считается решенной, если определена импульсная переходная функция 1(х) или связан­ ная с ней взаимно однозначными соотношениями передаточная функция системы L (іш):

СО

L (іш) = J I (t) e~imidt,

где Su (ш) и (о>) — спектральные плотности случайных процес­ сов U (f )n F (t) соответственно, а Suv ( ш) — их взаимная спектраль­ ная плотность,

Если Z (<) является результатом применения оператора N к текущим или будущим значениям ординат функции U (t), то I65]

г=1к=1

в верхней полуплоскости.

Если функция Z (t) является результатом применения опера­ тора N к ординатам функции U (t) в прошлые моменты времени, то

ляющее и возмущающее воздействия приложены к различным точ­ кам системы, дано в [47], [49]. При этом рассматривается случай, когда кроме полезного сигнала U (t) и помехи V (t) на систему действует возмущение, точка приложения которого не совпадает с точками приложения U (t) ж V (t).

конечное, т. е. система должна обладать, как говорят, конечной «памятью», реагируя только на входные данные, поступающие в си­ стему не ранее чем за время Т до настоящего момента времени. Во-вторых, входной полезный сигнал, помимо случайной состав­

В зависимости от имеющихся сведений о составляющей g (t) следует различать три случая: а) о коэффициентах кд ничего не известно; б) значения коэффициентов кд заданы; в) коэффициенты kq являются случайными и известны их вероятностные харак­ теристики.

Таким образом, в отличие от рассмотренного к § 9.2 случая Винера входная функция системы X (t) содержит неслучайное слагаемое g (t), т. е. выражается формулой

где [g (t) -\-U ([)] и F (t) по-прежнему обозначают полезный сигнал и помеху, а функции U (t) и V (t) будем считать стационарными, несвязанными случайными функциями с нулевыми математиче­ скими ожиданиями.

На выходе динамической системы получаем некоторую вели­ чину Y (t). Для импульсной переходной функции системы I (<) вместо одного условия (6 ) для рассматриваемой системы с конеч­ ной «памятью» должны выполняться следующие два условия:

Первое из них, аналогичное (6 ), является условием физической осуществимости системы; второе — отражает сделанное предполо­ жение о невосприимчивости системы к сигналам, поступающим в систему ранее чем за время Т до настоящего момента времени (конечная «память» системы).

Входной сигнал X (t) должен быть преобразован в некоторый выходной сигнал Y (t), который должен, в определенном смысле

Рассмотрим первый случай, когда коэффициенты кд в выра­ жении (27) являются неизвестными.

Требование отсутствия систематической ошибки записывается в виде

В соответствии с (38) есис (t) является полиномом от t степени г, обращение в нуль которого возможно только в том случае, когда все коэффициенты полинома обращаются в нуль. Приравнивая эти коэффициенты нулю, получим (г + 1 ) дополнительное условие, которому должна удовлетворять импульсная переходная функ­ ция I (т) оптимальной системы

Тсо

Следовательно, в рассматриваемом случае необходимо найти импульсную переходную функцию I (t) системы, обращающую в минимум величину М [е2 (£)] и одновременно удовлетворяющую (r-j-1) условию (41), т. е. нужно решить изопериметрическую за­ дачу вариационного исчисления (найти условный экстремум не­ которого функционала от искомой функции, на которую наложен ряд ограничений). В вариационном исчислении доказывается, что эту задачу на условный экстремум можно свести к задаче опре­ деления безусловного экстремума функционала I, если положить

В случае, рассмотренном Заде и Рагаззини [90], предполагается, что спектральная плотность Sx( u>) случайной функции X (t) — ■—g (t) представляет собой дробно-рациональную функцию от со, т. е.

Расчеты по определению оптимальных импульсных переходных функций динамических систем с конечной «памятью» существенно упрощаются при использовании приведенных в [ 70 ] таблиц, составленных для различных выражений спектральных плотно­ стей случайной составляющей полезного сигнала и помехи.

§9.4. Определение оптимальных параметров системы

сзаданной структурой

Применительно к гироскопическим устройствам широкое при­ менение может получить следующая задача синтеза: известна структурная схема ГУ и его динамические характеристики, опре­ деляющиеся дифференциальными уравнениями или соответствую­ щими передаточными функциями; требуется определить оптималь­ ные значения параметров ГУ. Решение подобной задачи может потребоваться, например, при выборе оптимальных значений пара­ метров гиротахометра, акселерометра, поплавкового интегрирую­ щего гироскопа и других ГУ, структурная схема которых задана.

При определении оптимальных параметров системы с заданной структурой речь идет не о выборе всех параметров системы, а лишь тех из них, которые могут быть легко изменены в широких преде­ лах и которые существенно влияют на точность системы.

Обозначим через р15 р2, . . ., уя параметры системы. Поскольку структура системы (передаточная функция линейной системы) и вероятностные характеристики входного сигнала и помехи из­ вестны, то критерий качества системы, например дисперсия ее ошибки е (t), может быть выражен в виде функции параметров системы

Оптимальные значения параметров системы определяются из системы уравнений, которая получается приравниванием нулю частных производных критерия качества по неизвестным пара­ метрам системы

(9.50)

Решения ^ = |а°лт, ц2 = р.®лт, . . ., |ія = р.°пт системы уравне­ ний (50) определяют оптимальные параметры рассматриваемой динамической системы.

Указанный подход был применен Р. Филиппсом [19] для определения оптимальной динамической системы, передаточная функция которой выбрана в виде дробно-рациональной функции с неизвестными коэффициентами, значения которых определя­ лись при оптимизации качества рассматриваемой системы.

довательным или параллельным. На рис. 9.1, а показано коррек­ тирующее устройство с передаточной функцией LK(s), включен­ ное последовательно с объектом (с неизменяемой частью системы),

передаточных функций корректирующих устройств при последо­ вательном и параллельном их включении

Обычно оптимальная передаточная функция L (s) системы является дробно-рациональной или трансцендентной. В последнем случае и передаточная функция корректирующего устройства также будет трансцендентной, и ее не представляется возможным реализовать с помощью элементарных звеньев. Для приближенной реализации передаточной функции корректирующего устройства ее необходимо аппроксимировать дробно-рациональной функцией. Для этого обычно пользуются методом логарифмических частотных характеристик [70]. Существуют также различные приближенные аналитические методы аппроксимации трансцендентных функ­ ций (см., например, [36]).