книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

458 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ ІГЛ. 8

от систематических ошибок, то вместо выборки (64) после ис­ пытания т приборов мы будем иметь выборку

«и äs------ e«. (8-R7)

где через а, обозначена оценка величины ап полученная по фор­ муле (56). Если считать, что измерение параметра для каждого прибора делается независимо от измерений для других приборов, то элементы выборки ät являются независимыми. Обработав реализации äl методом, рассмотренным в § 8 .1 , п. 2 , для выборки (67) можно найти «теоретический» закон распределения пара­ метра А, получаемого путем измерения значений этого параметра для серии однотипных приборов. Так как значения ät получаются с ошибкой измерения, характеризуемой плотностью вероятности

в нем / (а+(., (а) на /т (а). Однако практически задача существенно упрощается, так как обычно и закон распределения случайной величины А и закон распределения случайной величины X, харак­ теризующей ошибки измерения är можно считать нормальными. В этом случае достаточно определить дисперсию случайной ве­ личины А, которая, в соответствии с общей формулой (1.39) для дисперсии суммы независимых слагаемых и формулами (6 6 ) и (65), определяется равенством

т

2. Испытания ГУ для проверки их соответствия техническому заданию. Во многих случаях испытания ГУ производятся с целью проверки соответствия их параметров техническому заданию. При этом испытациц ставятся или в порядке технического^коц-

i 8.2] ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ 459

троля в процессе изготовления ГУ или в процессе контрольных проверок после хранения изделия перед его эксплуатацией или, наконец, в порядке различных регламентных проверок.

Во всех этих случаях возникает задача определения, насколько испытываемое изделие укладывается по значениям его параметров (будем рассматривать только случай, когда параметры являются постоянными величинами) в определенные пределы, обеспечиваю­ щие нормальную работу ГУ при его эксплуатации. Задача обычно усложняется тем, что определение значения параметра изделия сопровояедается ошибками, и следовательно, о пригодности изде­ лия приходится судить не по истинной величине измеряемого параметра, а по его оценке. При этом возникает вопрос об уста­ новлении необходимых допусков, определении требующегося числа испытаний и о рациональном способе проведения испытаний.

Рассмотрим возникающие при этом вопросы более подробно. Сформулируем прежде всего задачу математически. Путем анализа условий применения гироскопического устройства уста­ новлен интервал (аѵ аа), при попадании внутрь которого пара­ метра устройства а обеспечивается необходимое качество системы, составной частью которой это устройство является. Производится серия п испытаний, при каждом из которых определяется пара­ метр а с ошибкой X , имеющей нулевое математическое ожидание и дисперсию огх. Требуется указать признак, при наличии кото­ рого прибор следует признать не удовлетворяющим предъявля­ емым ему требованиям, и наконец, указать число испытаний п , при котором вероятность а признать некачественный прибор

качественным была бы достаточно малой величиной.

Рассмотрим решение этой задачи для простейшего (но наиболее часто встречающегося) случая, когда ошибка измерения X явля­ ется нормальной величиной. Также нормальным будем считать и закон распределения параметра А. Интервал (аѵ а2), как было указано выше, определяется из анализа условий использования ГУ и не является искомым в данной задаче. Примем для простоты, что прибор бракуется, если измеренная величина параметра а выйдет хотя бы раз за интервал (Ьх, Ь2), расположенный симмет­ рично относительно расчетного значения параметра ä, а также будем считать, что

и определим вероятность а при заданном s после п испытаний, показавших, что исследуемый параметр лежит в интервале (Ь,, Ъ2).

Если точность измерения параметра, характеризуемая средней квадратической ошибкой измерения ах, известна, то искомую вероятность можно определить путем следующих рассуждений.

Обозначим через /а (а) плотность вероятности случайной вели­ чины А, которую будем считать известной на основании предвари­ тельного анализа процесса изготовления приборов подобного типа («априорная плотность вероятности»), и через / 0 (а/С) — плотность вероятности, которую следует принять для параметра а после того, как при п испытаниях имело место событие С, состоя­ щее в том, что измеренное значение параметра А ни разу не вышло за интервал (Ьи Ь2) («апостериорная плотность вероятности»). Согласно формуле умножения вероятностей имеем

Наконец, интегрирование последнего выражения по а от а—е0 до а + е 0 даст для искомой вероятности а окончательное выраже­ ние

Формула (77) позволяет исследовать зависимость вероятности а признать некачественный прибор качественным от числа испыта­ ний п и ширины контрольного интервала е. Для рационального выбора окончательных значений этих величин необходимо учи­ тывать и значение вероятности ß того, что качественный прибор будет признан некачественным, что может часто иметь место, например, если интервал е взять очень узким.

Вероятности а и ß, которые в статистике часто называют «риском потребителя» и «риском поставщика», необходимо учи­

тывать при разработке рациональных методов контроля. Более подробное изложение относящихся к данному вопросу сообра­ жений выходит за рамки настоящей книги (см., например. [21],

В некоторых случаях возникает необходимость выяснить, не имеются ли среди испытанных приборок образцы, значение параметра А которых не может быть объяснено случайным его разбросом в соответствии с имеющимся законом распределения этого параметра. Например, такая задача может возникнуть в том случае, когда приборы изготовляются на различных заво­ дах и есть основание считать, что условия работы или принятая технология на одном из заводов приводят к систематическому изменению значения параметра прибора. Так как в подавляющем большинстве случаев и ошибки измерения и истинные значения параметра можно считать нормальными величинами, то здесь могут быть использованы формулы (29)—(33) дисперсионного анализа Фишера. В ряде случаев может быть использован и кри­ терий согласия Смирнова. Их применение к исследованию кон­ кретного ГУ рассмотрено в примере 8.1.

§ 8.3. Определение характеристик случайных функций, являющихся ошибками ГУ

1. Определение параметра ГУ при ошибках измерения, яв­ ляющихся случайной функцией времени. Определение вероятно­ стных характеристик случайных функций при исследовании гироскопических устройств не отличается в принципе от опреде­ ления вероятностных характеристик любых случайных функций и имеет только некоторые особенности, связанные со спецификой решаемых при этом задач.

В качестве первой задачи такого типа рассмотрим определение параметра гироскопического устройства в том случае, когда измерение его величины сопровождается ошибкой X (t), имею­ щей характер стационарной случайной функции. Подобная за­ дача возникает, например, при контрольных проверках ГУ и в некоторых других случаях. Предположим, что измерения производятся непрерывно в течение промежутка времени Т. В результате измерений мы получим реализацию у (t) случайной функции Y (t), связанную с реализацией х (t) случайной функ­ ции X (t) соотношением

Будем считать, что измерение свободно от систематической ошибки, и следовательно, математическое ожидание х равно нулю. В этом случае задача сводится к определению математического

462 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ [ГЛ. 8

ожидания у , которое равно искомому значению параметра а. Эта задача не отличается от общей задачи, рассмотренной в § 8 .1 , и. 1, и следовательно, формулы (42) и (43) полностью применимы в данном случае. Однако рассматриваемой задаче можно придать и несколько другой вид, который иногда возникает при контроль­ ных испытаниях приборов. Предположим, что нам задан интер­ вал (%, а2), при нахождении внутри которого параметра а счита­ ется, что прибор удовлетворяет техническим условиям, а при на­ хождении вне этого интервала — не удовлетворяет. Предположим далее, что в целях простоты контроля принимается, что первое условие выполнено, если за время Т не наблюдалось ни одного выброса за «дозволенный» интервал (Ьг, Ь.2), и не выполнено — если наблюдался хотя бы один выброс за границы указанного интервала. Требуется определить границы интервала (bv b2) и длительность контроля Т таким образом, чтобы вероятность а признать исправным прибор, не удовлетворяющий техническим условиям, была достаточно малой. Не останавливаясь на выборе допустимого значения а (при этом нужно учитывать возможные последствия от пропуска дефектного прибора, недопустимость частой браковки исправных приборов и ряд других обстоятельств),

задача сводится к нахождению одного параметра е, определяю­ щего интервал (а — е, а + е), невыход за который в течение времени Т гарантирует с вероятностью а нахождение параметра А в интервале (79).

Если случайная функция X (t) нормальная и имеет дробно­ рациональную спектральную плотность, то эта задача может быть решена с помощью теории марковских процессов. Для этого достаточно заметить, что, согласно теореме Дуба (см. § 1.3), функ­ ция X (t) является компонентой марковского процесса, и следо­ вательно, задача сводится к решению уравнения Колмогорова (1.147) при соответствующих граничных и начальных условиях, которые должны учитывать закон распределения значений пара­ метра А.

Для простейшего случая, когда ошибка X (t) имеет кор­ реляционную функцию видаа2е~и-ІтІ, эта задача решена до конца [2 1 J, для более сложного вида корреляционной функции задача реша­ ется по той же схеме, однако решение уравнения Колмогорова, естественно, усложняется. Приближенное значение вероятности а можно определить с помощью теории выбросов, не прибегая к пред­ положению о наличии марковского процесса.

§ 8.3] ОП РЕДЕЛЕН И Е ХАРАКТЕРИСТИК ОШИБОК ГУ 463

где / (а+е, и) — плотность вероятности / (у, ѵ) ординаты случай­ ного процесса Y (t) и его производной V (t)=dY (t)/dt в момент времени t, взятая при у=а-\-е. Аналогичным образом среднее число случаев пг выхода реализации случайного процесса у (t) при заданном значении параметра а за уровень Ьх сверху вниз

равно

о

а общее среднее число выходов п в течение времени Т ординаты функции Y (t) за интервал (bv b2) равно сумме Пу-\-п2, т. е.

Если среднее время между соседними выбросами достаточно ве­ лико, чтобы можно было считать выбросы независимыми случай­ ными событиями, то для числа п появлений выбросов приближенно справедлив закон распределения Пуассона (см. [20], [14], [1в ]), согласно которому вероятность Рп появления п выбросов опреде­ ляется формулой

Интересующая нас вероятность а есть вероятность того, что за время Т не будет ни одного выброса, т. е. а—Р0. Следовательно, учитывая ”(83), имеем

Для использования последней формулы нужно, во-первых, явно вычислить интегралы (82) и, во-вторых, более точно сформу­ лировать сделанное выійе предположение о том, что среднее время между выбросами достаточно^велико для применимости закона I Гуассона.

Вычисление интегралов (80) и (81) просто осуществляется для нормального процесса X (t). В этом случае

где дисперсия производной У (t)=dY (t)/dt=dX (f)/dt в соответ­ ствии с (1.73) определяется формулой

(8.8В)

dt2 т=о

Подстановка (85) в (80) и (81) и интегрирование дают

Вопрос о выполнимости условий, при которых можно считать применимым закон Пуассона, требует более тонкого исследования, однако в первом приближении можно считать, что эти условия вы­ полняются, если среднее время между выбросами х больше вре­ мени тк корреляции процесса X (t), т. е. времени

В качестве второй задачи рассмотрим задачу определения гармони­ ческой компоненты, являющейся слагаемым в выходной функции ГУ. Подобная задача возникает, например, в некоторых инерциаль­ ных системах, на выходе которых могут возникать колебания с частотой Шулера, амплитуда которых зависит от значения на­ чальных условий. Аналогичная задача появляется иногда при испытаниях приборов в том случае, когда высокая частота, пи­ тающая гиромотор, создается генератором, вращаемым мотором, питающимся низкой частотой (например, 50 гц). В этом случае частота 50 гц может «пройти» через систему и таким образом соз­ дать компоненту, не характерную для нормального режима ра­ боты прибора.

В том случае, когда амплитуда этих колебаний не меняется в течение опыта, выделение этих колебаний может быть достиг­ нуто путем корреляционного анализа. Действительно, если слу­ чайная функция Y (t) связана с центрированной стационарной слу­ чайной функцией X (t) равенством

где а, Vи if - постоянные числа, то, вычисляя оценку корреля­ ционной функции Y (t) по формуле (45) и учитывая, что при до­

466 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ [ГЛ. 8

К (х): К (0 ), найденную при обработке результатов пробных опы­ тов, можно определить Д, при котором разность (94) будет иметь достаточно малое значение.

4. Некоторые общие соображения. В заключение данного параграфа приведем некоторые общие соображения о методике испытаний ГУ в динамике. В целях простоты эти испытания часто ставятся при наличии внешних возмущений, меняющихся по гар­ моническому закону (например, на качалке, угол наклона кото­ рой колеблется с заданной частотой). Примеры исследования гиро­ скопических систем, приведенные в предыдущих главах данной работы, показывают, что подобный метод испытаний не может дать достаточно объективного представления о точности ГУ в реаль­ ных условиях.

j Если исследуемое устройство можно считать линейным, то для получения характеристики его точности возможно использовать два метода. В первом методе нужно провести испытания при раз­ личных значениях частоты внешних возмущений и>, определить таким образом передаточную функцию системы и затем рассчи­ тать точность ГУ по общим формулам (1.103) и (1.119), учитыва­ ющим спектральный состав функций, поступающих на вход си­ стемы в реальных условиях. Во втором способе необходимо сами испытания проводить так, чтобы внешние возмущения соответ­ ствовали по своему характеру возмущениям, которые имеют место при эксплуатации приборов в реальных условиях (для чего, на­ пример, можно использовать записи реализаций возмущений, полученных в натурных условиях).

Первый из указанных способов имеет то преимущество, что позволяет оценить точность работы ГУ в различных условиях.