Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

18.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 5546 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

§ 8.1] ОБЩИЕ ПРИНЦ ИПЫ ПО ЛУ ЧЕНИЯ ОЦЕНОК 447

нределения^Стыодента с числом степеней свободы к -п 1-\-п2—2, которому подчиняется величина

^ а ^пх (пг + « 2 —’2 )

(8.37)

ѵбг, — щи"

і'де

(8 .3 8 )

а £ и ajj — оценки математического ожидания и дисперсии,

найденные по обеим выборкам (34), рассматриваемым как выборка объемом (Пі+Пг) из одной генеральной совокупности. Применение закона Стьюдента для оценки гипотезы об одинаковых значениях математических ожиданий ж и у отличается от проверки гипотез, рассмотренных выше, только тем, что вместо таблиц закона распределения Фишера в данном случае надо использовать таблицы закона распределения Стьюдента, которые можно найти

в I*«»],	Р ] .
3.	Получение оценок по реализациям случайных функций.

Во всех рассмотренных выше методах обработки эксперимен тальных данных предполагалось, что в качестве исходного ма териала дана выборка типа (1 ), т. е. совокупность независимых реализаций случайных величин. В том случае, когда исходным экспериментальным материалом являются реализации случай ных процессов, возникает ряд особенностей, связанных, во-пер вых, с тем, что значения реализаций случайных процессов в раз личные моменты времени являются реализациями зависимых случайных величин, и, во-вторых, с тем, что в этом случае воз никают не только задачи нахождения оценок числовых пара метров, но и задачи нахождения оценок различных функций, таких, как, например, корреляционных функций и спектраль ных плотностей.

Приведем основные правила обработки реализаций случай ных функций, ограничиваясь рассмотрением только стационар ных случайных процессов.

Предположим, дана реализация стационарного случайного процесса X (t) на интервале времени (0, Т). Обозначим эту реали зацию X (t). Реализация х (t) в статистике случайных процессов играет роль, аналогичную выборке (1 ) в статистике случайных величин, а длина реализации Т в некотором смысле слова ана логична объему выборки п.

Если случайный процесс X (t) является эргодическим (см. [вв ]), то по реализации х (t) можно определить оценки ряда характерис тик случайного процесса X (t), причем точность этих оценок будет повышаться с увеличением длины реализации Т.

4 4 8 О Б Р А Б О Т К А Р Е З У Л Ь Т А Т О В И С П Ы Т А Н И Й Г У І Г Л . 8

Не останавливаясь здесь на формулировке условий эргодич ности, отметим только что во всех задачах, которые будут рассматриваться ниже, это условие выполняется. Общие характе ристики оценок, с которыми мы имели дело применительно к оцен кам параметров закона распределения случайных величин (сос тоятельность, несмещенность, эффективность), применимы и к оценкам параметров случайных функций, однако имеют нес колько другой вид вследствие того, что роль объема выборки в данном случае играет длина реализации Т.

Так, например, если обозначить Кх (т) оценку корреляцион ной функции стационарного случайного процесса X (t), то оценка

будет состоятельной, если
lim D \ Кх (ъ)] = 0.	(8.39)
71 -> со
Оценка ІГДт) будет несмещенной, осли
м [ З Д ] = В Д .	(8.40)
и наконец, оценка будет асимптотически несмещенной, если
lim М Г ^ т )! = ,().	(8.41)
Т - > со

Перейдем к рассмотрению правил нахождения оценок основ ных параметров стационарной случайной функции.

Несмещенная состоятельная оценка математического ожи дания X стационарной случайной функции определяется формулой

т
X = ^г ^ X (t) dt.	(8.42)

Дисперсия этой оценки, служащая мерой ее эффективности, связана с корреляционной функцией Кх ( т) формулой

т
D[£J = ft j (Т — t)K x (x)d-z.	(8.43)
о

При вычислении оценки математического ожидания по фор муле (42) используются все ординаты реализации х (t), и поэтому можно было бы думать, что эта оценка является более эффектив ной, чем оценка, которая использует только дискретное число орди нат, выбранных, например, в концах интервалов Д, получаю щихся путем разбиения всего интервала Т на тп равных частей. Однако, как на это впервые обратил внимание С. Я. Виленкин [1Б],

§ 8.1]	О Г . І Ц И Е П Р И Н Ц И П Ы П О Л У Ч Е Н И Я О Ц Е Н О К		449
§ 8.1]	О Г . І Ц И Е П Р И Н Ц И П Ы П О Л У Ч Е Н И Я О Ц Е Н О К
оценка	хт математического	ожидания, которая для дискретного
числа	ординат выражается	формулой

(8.44)

(при весьма общих предположениях о виде корреляционной функции ^ ( т ) ) , при некоторых значениях т может иметь мень шую дисперсию, чем оценка (42). Иными словами, существует оптимальный интервал дискретности, при котором оценка по дискретному числу ординат имеет меньшую дисперсию, чем оценка, использующая весь непрерывный график реализации X (t). Хотя выигрыш, получаемый при оптимальном шаге дис кретности, и невелик (порядка МТ1), указанные выше свойства оценки хт следует учитывать в том случае, когда получение не прерывной реализации процесса связано с добавочными трудно стями (см. [в6]), например, когда ординаты случайного процесса получаются путем фотографирования шкал приборов.

Формулы (42), (44) и соответствующие им формулы для дис персий оценок предполагают, что математическое ожидание х является постоянной величиной. Если данное условие не выпол няется, как это часто имеет место вследствие «дрейфа нуля» раз личных приборов, то оценка математического ожидания будет иметь систематическую ошибку, которая может расти с ростом Т. Поэтому нахождению оценок математического ожидания по ука занной выше схеме всегда должен предшествовать анализ опыт ного материала в целях проверки правильности предположения о стационарности процесса. Иногда для такого анализа достаточно исследовать физические причины возникновения случайного про цесса. В других случаях приходится обрабатывать реализацию процесса по частям и исследовать, может ли расхождение оценок для различных участков реализации быть объяснено случайными причинами, или мы имеем дело с систематическим изменением математического ожидания, т. е. процесс не является стацио нарным.

Так как корреляционная функция процесса X (t) является математическим ожиданием произведения

[X (t) — я] [X (t + т) — X]

то, используя формулу (42) и заменяя X его оценкой х, для оценки Кх (т) получим

(8.45)

= ^ [x{t)~x\[x(t-\- i) — x\dt.

29 А . А . С в е ш н и к о в , С. С. Р и в ш ш

450

О Б Р А Б О Т К А Р Е З У Л Ь Т А Т О В И С П Ы Т А Н И Й Г У

[ Г Л . 8

Оценка (45) будет асимптотически несмещенной и состоятель ной. Для определения ее дисперсии в общем случае уже недоста точно знания корреляционной функции процесса (или ее оценки), а необходимо располагать моментами ординат случайной функ ции до четвертого порядка включительно. Однако если процесс X (t) является нормальным, то эти моменты могут быть выра жены через Кх {і) и для дисперсии оценки (45) может быть полу чена формула, при выводе которой для простоты считалось, что оценка х получена по отрезку реализации х (t) в интервале (0, Г—х). В этом случае

м	[ а д	] =		а д	-
	(Т			\	(7’ — х — ті)І'^Лх + ^і) +			^х(т — Ti)]dxi-
D f^ W l = (T T T ^ 5 ( Г - т - х ,) [ Я * ( т 1) +
							т-~
+	л'Д х +	хі) л'Л х — хі)М хі +				yz= ^ k (х) \		r**(x +	xi) +
							о
							У’- т
	+ К	(х-		тд - к х (X)] dxx-			J хх [Кх(, +		хх) +	(8.46)
										(8.46)
					Т - т У’- т У’- т
+	ХДх- т 1) ] ^ - (^Л -Гз J					J	$ IК Л к - І г ) К Л Ь - І г ) +
					0	0	0
	-\-к ЛЧ — * — h) к х if3 + х — h)] d t ^ d t g +
		7 -т							\ 2
			\	(71 — X — T j ) [Kx(x + xx) + Kx(z — X j ) ]					dTxJ -f
		0			г T— 1				J
		1			г T— 1
					(T’- x ) 4	S	іт— x — xi ) ^ ( xi)^xi
					(T’- x ) 4

В том случае, когда математическое ожидание ж известно, в фор муле (45) £ нужно заменить на %, оценка корреляционной функ ции становится несмещенной (в отличие от оценки (45), которая только асимптотически несмещенная), а вместо формулы (46) для дисперсии оценки получим более простое выражение

D	f C	( x)	Т - т	-	(	F	^	S	( r	-	x -
			]
			о

+ ^ ( x + xl ) ^ ( x — h) \dxl-

( 8 -4 7 )

§ 8.1]	ОБЩИЕ ПРИНЦ ИПЫ П О ЛУ ЧЕНИЯ			ОЦЕНОК	451
Положив	в последней	формуле	т =	0, получим	дисперсию
оценки дисперсии Кх (0) нормального			случайного процесса X (t)
при известном х:		т
		т
	D [Кх (0)] =	± \ ( Т - ^ ) К 1		(тх) dxv	(8.48)
		0

В формулы (46), (47), (48) входит корреляционная функция Кх (т) случайного процесса X (t), которая, по смыслу рассматри ваемой задачи, является неизвестной. Поэтому во всех формулах в правых частях равенств неизвестную функцию Кх (і) для полу чения окончательного числового результата приходится заме нять ее оценкой Ё х {і). Эта замена вносит тем меньшую ошибку, чем больше длина реализации Т и чем, следовательно, точнее оценка R x (т). Однако даже в том случае, когда оценка корреля ционной функции не обладает большой точностью, эта замена обычно бывает допустима, так как необходимая точность полу

чения дисперсии		D [Rx ( т) 1 бывает невысокой — достаточно оце
нить порядок	ее	величины.
В формулах (42) и (45) предполагается, что математическое
ожидание х	случайной функции X (t) является постоянной.

На практике иногда это предположение не выполняется строго («дрейф нуля»), В этом случае оценки х к К х (т) будут содержать систематические ошибки, величина которых, как правило, рас тет с ростом Т.

При получении оценки спектральной плотности представля ется естественным принять за основу связь между спектральной

плотностью	и корреляционной	функцией	(1.96), заменив	в этой
формуле S x	( id) и Кх ( т) их оценками, т.		е. положив
		т
	= І	S e - ^ K x (r)dr,		(8.49)
	—т

где замена области интегрирования (—оо, со) на (—Т, Т) явля ется вынужденной, поскольку вне этого интервала значение оценки Кх {і) не может быть получено. Однако формула (49) не является наилучшей и может быть применена только в том случае, если вид корреляционной функции Кх (і) не вызывает

сомнения и оценка Кх ( т) используется только для определения параметров этой корреляционной функции. В этом случае в фор мулу (49) нужно подставить соответствующее аналитическое выражение, которому и будет соответствовать оценка S x ((o) (в этом случае интегрирование нужно проводить от —оо до + 00)- Если вид Кх ( т) нам неизвестен, а вся обработка реализации ве дется для определения тонкой структуры спектральной плотности, то формула (49), в которую подставляется в этом случае экспе-

29*

452 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ [ГЛ 8

риментально найденная оценка К г (т), не годится, так как конеч

ные	пределы	интегрирования	и увеличение дисперсии	й х (')
с ростом т не только не позволят выявить характерные				особен
ности Sx ( с о ) ,		но, как правило,	будут приводить к тому, что при
некоторых значениях со мы будем получать отрицательные орди
наты	спектральной плотности — результат, противоречащий са

мому понятию спектральной плотности.

Еще менее приемлемым является определение оценки по фор

муле
п	\	1 ! I е "°г \х (t)—т,\ dt	(8.50)
7	И =	2

которая представляется «естественным» следствием определения спектральной плотности как усредненного значения квадрата

модуля комплексной амплитуды гармоники частоты		си.
Формула (50), которая иногда приводится в литературе, не
позволяет получить состоятельной оценки,	так как lim	D [/ (со)] =£=
=7^=0, хотя lim М [/ (со)] = Sx (со). Например,	Т-*• со
	для нормального про-
Т-усо
цесса
lim D [/ (со)] = 5* (со).		(8.51)
оэ

Не останавливаясь более подробно на этом вопросе (см., на пример, [6в]), укажем только на сущность приема, используе мого для получения оценки спектральной плотности. Состоя тельную и асимптотически несмещенную оценку Sx ( со) удается получить, если под знак интеграла (49) ввести весовую функ цию h (т), обращающуюся в нуль вне интервала (—Т0, Т0) и по добранную так, чтобы она удовлетворяла еще некоторым доба вочным условиям. Увеличение Т0 уменьшает систематическую ошибку § х (со) (делает ее «менее смещенной»), уменьшая одновре менно ее эффективность. Поэтому выбрать рациональное значе ние Т0 (при достаточно большой длине реализации Т) практи чески удается следующим образом: выбрав вид весовой функции h (т), производят расчет § х (со) по формуле

т	S	8^ 2)
= è

—т

при различных значениях Т0 идя, например, от меньших к боль шим. При малом Т0 график функции Sx ( со) будет иметь вид плав ной кривой, на которой сглажены все характерные особенности спектральной плотности. По мере увеличения Тп эти характерные особенности начнут постепенно проявляться, однако весь ход графика Sx ( со) будет становиться менее устойчивым. Наконец,

§ 8.1]

О Б Щ И Е П Р И Н Ц И П Ы П О Л У Ч Е Н И Я О Ц Е Н О К

4 5 3

при дальнейшем увеличении Т0, как правило, получаются кри вые, имеющие вид реализации случайной функции. Если Т доста точно велико, то можно найти такое значение Т0, при котором S ( со) будет иметь устойчивую тонкую структуру, соответствую щую истинному виду Sx (ш). Если такого значения Т0 найти не удается, то это означает, что объем экспериментального материала недостаточен. Вид весовой функции h (т) можно менять довольно в широких пределах, и в литературе имеется ряд предложений на этот счет. Формула (52) эквивалентна формуле

СО

(8.53)

— СО

где I ( ш) определяется (50), а w ( ш) является преобразованием Фурье весовой функции h(i) .

В некоторых случаях обрабатываемые реализации имеют вид сравнительно медленно меняющихся функций, на которые нало жена быстро осциллирующая функция, т. е. реализация представ ляет собой как бы сумму низкочастотной и высокочастотной сос тавляющих. Подобная картина имеет место в том случае, когда спектральная плотность процесса имеет два резко выраженных максимума — в области низких частот и в области высоких час тот. (При исследовании ГУ эти максимумы могут соответствовать, например, прецессионной и нутационной частотам гироскопа, частоте качки корабля и частоте вибраций места установки ГУ.) В этом случае хорошие результаты дает^раздельная]* обработка низкочастотной и высокочастотной составляющих случайного процесса. Для этой цели реализации предварительно тем или иным методом сглаживают, получая таким образом «низкочас тотную составляющую». Затем вычитают эту составляющую из реализации и получают высокочастотную составляющую (см., например, [84]). Более подробное изложение методов оценки спектральной плотности выходит за рамки данной книги. Необ ходимые подробности можно найти в ряде источников [88], [78],

Р ] ,	1 5 Ы 66].
В	заключение общего обзора методов обработки реализаций

случайных функций кратко остановимся на определении закона распределения ординат случайных функций и проверке согласия теоретического закона распределения с экспериментальными дан ными. Рассмотрим снова реализацию случайной функции X (t), заданную на интервале времени (0, Т). Проведем прямую, парал лельную оси времени на расстоянии х от оси абсцисс. Эта прямая пересечет реализацию в ряде точек, соответствующих выбросам случайной функции за данный уровень. Обозначим время пребы вания реализации выше уровня х после /-го выброса через t..

454 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ [ГЛ. 8

Тогда в качестве оценки F (х) функции распределения F (х) можно принять

F ( x ) = i - 1 2 ^	?(8 -5 4 )
о

где суммирование производится по всем выбросам, имевшим место для данной реализации в течение времени Т. Оценка (54) является состоятельной и несмещенной.

При обработке реализаций случайной функции также может возникнуть вопрос, насколько экспериментальный материал со гласуется с предположением о виде закона распределения. На пример, можно ли считать случайную функцию нормальной? Если обозначить функцию распределения предполагаемого за кона распределения через FT (ж), то вопрос сводится к оценке согласия FT (ж) с полученной на опыте оценкой F (х).

Применение для этой цели критериев согласия, разрабо танных для случайных величин, невозможно хотя бы потому, что во все формулы в этом случае (см., например, формулу (25)) входит число степеней свободы, связанное с объемом выборки п, теряющее смысл применительно к реализации случайной функции. Однако при небольшом видоизменении некоторые из этих крите риев (например, критерий согласия К. Пирсона) могут быть применены и для случайных функций. Подробнее об этом можно найти, например, в [в6] *).

§ 8.2. Обработка результатов испытаний гироскопических устройств

1. Определение параметров гироскопических устройств. Рас смотрим сперва простейшую задачу обработки эксперименталь ных данных, связанную с определением параметров ГУ: смеще ния Іг центра тяжести гироскопа относительно точки подвеса, кинетического момента гироскопа Н, коэффициента жесткости пружины в гиротахометре и т. п. Будем считать в данном пара графе, что условия работы ГУ являются неизмененными, и следо вательно, искомые параметры являются постоянными величи нами, а не функциями времени. Случайность этих величин связана с тем, что их значения всегда несколько отличаются Рот рас четных, и следовательно, при рассмотрении нескольких приборов одной партии мы всегда будем иметь случайный разброс пара метров ГУ, хотя для каждого прибора в отдельности эти пара метры выступают в качестве постоянных величин, значения кото рых необходимо определить на опыте.

*) См.	также Дж. Б е н д а т, А. П и р с о л , Измерение и анализ
случайных	процессов, ^«Мир», 1971.

§ 8.2 J

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ Г У

4Г)5

Таким образом, обработка результатов опыта в данном, прос тейшем случае может преследовать две различные задачи: а) оп ределить значения параметров ГУ и указать точность этого опре деления и б) найти закон распределения величин параметров для приборов данной партии (данной технологии изготовления).

Рассмотрим обе эти задачи подробнее. Если бы при измерении параметра а ГУ отсутствовали ошибки измерения, то первая задача решалась бы точно путем однократного измерения. Однако в действительности всякое измерение сопровождается ошибкой, следовательно, произведя п раз измерение параметра, мы полу чим серию чисел

хѵ х.2, х3, . . ., хп,

(8.55)

которые при независимых измерениях можно считать выборкой объема п из некоторой генеральной совокупности (см. § 8 .1 , п. 2). Ошибки измерения в подавляющем числе случаев можно считать нормальными величинами. Следовательно, выборку (55) можно считать выборкой из нормальной генеральной совокуп ности и применить к ее обработке формулы математической ста тистики, приведенные в предыдущем параграфе для этого случая. Если при измерении величины а отсутствуют систематические ошибки, то искомый параметр а равен математическому ожи данию случайной величины X, соответствующей выборке (55). В этом случае в качестве оценки а следует принять оценку мате матического ожидания X, т. е. на основании (5)

П
ä = x = ^ ^ x j .	(8.56)
3 = 1
В качестве оценки дисперсии ошибки определения параметра а
на основании (6 ) и (1 2 ) имеем
П
=	<8 '57>
з=і

Наконец, для определения доверительного интервала е, в ко тором может находиться ошибка определения искомого параметра а с заданной доверительной вероятностью а, на основании (17) имеем

а = Р ( І а — « l< s } =		2^ Sn_x(t) dt,
		О	(8.58)
t,	в ^ п	е 'Jп	(8.58)
t,

3 = 1

45В	ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГУ	[ГЛ. 8
где величина	а должна быть выбрана так, чтобы
	1 — а < 1 .	(8.59)

Как отмечалось в § 8.1, при достаточно большом п (п >- 30) закон распределения Стьюдента Sn (t) практически не отличается от нор мального закона распределения, и следовательно, вместо фор мулы (58) можно пользоваться формулой

(8.60)

где Ф (X) — интегральная функция Лапласа [см. (1.21)]. Независимо от того, применяется формула (58) или (60),

понятие доверительного интервала может быть использовано как для определения числа опытов, для которого при заданной гарантийной вероятности ошибка не выйдет за пределы задан ного интервала, так и для определения вероятности, с которой при заданном числе измерений гарантируется ошибка параметра, не большая заданной.

Впервом случае, задавшись величиной е и а, по формулам (59)

и(60) определяют с помощью соответствующих таблиц значение дроби

откуда находят искомую величину п:

(8.62)

Во втором случае по е, п и а| находят taи по формулам (59) и (60) определяют а *).

Во всех предыдущих формулах мы считали, что изменения значений параметра а, получаемые при различных измерениях, вызываются ошибками измерения. Очевидно, что все приведенные выше рассуждения остаются в силе и в том случае, когда неста бильность результатов связана не только с ошибками измери тельной аппаратуры в собственном смысле слова, но и с неста бильностью условий работы ГУ, например, с нестабильностью температуры, нестабильностью частоты тока, питающего гиро мотор, и т. д.

Единственное предположение, которое необходимо для при менимости приведенных выше формул, состоит в требовании отсутствия систематических ошибок, т. е. отсутствия постоянно

*) Входящая в формулу (61) величина является характеристикой точности метода измерения параметра а и мало зависит от числа опытов п.

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 5546 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ