книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов
.pdf§ 7.3] МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 427
столько раз, сколько различных комбинаций этих параметров представляет интерес. Это еще более увеличивает общий объем вычислений.
Поэтому, наряду с методом Монте-Карло, для исследования нелинейных систем находят применение различные аналитические методы, удобные для реализации на вычислительных машинах.
В качестве одного из таких методов рассмотрим метод, предло женный Б. Г. Доступовым [25] и состоящий в том, что моменты выходной функции динамической системы выражаются через ли нейную комбинацию решений системы, найденных при нескольких значениях случайных параметров, входящих в уравнения системы.
Этот метод для одного уравнения первого порядка, содержащего случайные величины, был рассмотрен в п. 4 § 5.1, где было пока зано, что если уравнение зависит от одной случайной величины А,
математическое ожидание а и дисперсия |
которой известны, т. е. |
Y = F ( Y , t , A ) , |
(7.72) |
где функция F является нелинейной функцией своих аргумен тов, то
y(t) = ?(t, â), |
(7.73) |
где tp (t, ä) — решение уравнения (72), в котором случайная вели чина А заменена ее математическим ожиданием й.
Для дисперсии решения уравнения (72) там была приведена формула
|
D [У ( * ) ] « |
» ^ J , |
(7.74) |
где уг (£) — решение |
уравнения (72), в котором случайная ве |
||
личина А заменена |
суммой ö-f-коа, |
а к — «достаточно малая» по |
|
стоянная.
Таким образом, для определения дисперсии выходной вели чины Y (t) достаточно решить исходное уравнение (72) дважды: один раз при А = й и другой раз при A=ä~\-koa.
Приведенные в § 5.1 рассуждения применимы и для уравнения более высокого порядка, чем первый (к системе уравнений первого порядка), если уравнения содержат функции случайных величин. Единственное изменение, которое нри этом будет иметь место, све дется только к тому, что у (t) и уг (£) в этом случае будут реше ниями уравнения более высокого порядка, а не уравнения первого порядка, как это было рассмотрено выше для одного уравнения. Этот метод без труда обобщается и на тот случай, когда уравнения содержат функции нескольких случайных величин.
Метод Доступова применим и в том случае, когда исследуемое дифференциальное уравнение содержит случайные функции с из вестными вероятностными характеристиками.
428 ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 7
Рассмотрим этот случай несколько подробней, предполагая для простоты, что случайная функция, являющаяся возмущением в дан ной задаче, стационарна. Не останавливаясь на строгом выводе окон чательных расчетных формул, приведем общие соображения, по зволяющие получить эти формулы. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
LY(t) = F[Y{t), t, X (01, |
(7.75) |
где L — линейный дифференциальный оператор, а F IY, t , X ]— нелинейная функция своих аргументов. Функция X (t), со гласно сделанному предположению о ее стационарности, может быть представлена в виде ее спектрального разложения:
СО |
|
X{t) — X = J е<ш<йФ(а>), |
(7.7В) |
где дифференциалы йФ ( о>) связаны со спектральной плотностью случайного процесса X (t) формулами (1.93) и (1.94):
М [ЙФ И ] = |
0, |
(7.77) |
М [ЙФ* (u)j) ЙФ (ц>2)] = |
|
|
Sx(шд) 8 (ш2 — (Од) й(і)дйо)г. |
||
Будем рассматривать интеграл |
в (76) как |
предел интегральной |
П |
|
|
сѵммы 2 е‘ш-^йФ(со.) при увеличении числа п |
точек ш., равномерно |
|
j =1 |
|
3 |
покрывающих ось частот со до бесконечности. В этом случае решение уравнения (75) можно рассматривать как функцию вре мени t u n параметров 7у=йФ(ш ■), т. е. можно написать
Y(t) = ?[t; Vv F 2, ... ,F J . |
(7.78) |
Предположим, что функция <р допускает линеаризацию относи тельно этих параметров, т. е. будем считать, что допустимо поль зоваться приближенным равенством
1 |
|
|
Y(t)& ?(t, 0, 0 , . . . , 0 ) + 2 M |
f ., |
(7.79) |
J= 1 |
1 |
|
где частные производные дер (t)/dVj предполагаются вычисленными при нулевых значениях всех параметров F.. Находя математи
ческое ожидание (79) и учитывая при этом, что на основании (77) М [ѴЛ = 0 , получим
y(t) = <?(t, 0 ,...,0 ) . |
(7.80) |
Функция cp (t, 0,. . ., 0), есть решение исходного уравнения (75), при нахождении которого все дифференциалы йФ( w,)= Fy по
ложены равными нулю. Однако обращение в нуль этих дифферен
§ 7.3] |
М Е Т О Д Ы И С С Л Е Д О В А Н И Я У Р А В Н Е Н И Й |
429 |
|
циалов в соответствии с (76) эквивалентно замене X (і) ее мате матическим ожиданием х. Таким образом, получаем первое пра вило: для нахождения математического ожидания у (t) решения нелинейного уравнения (75) нужно случайную функцию X (t) заменить ее математическим ожиданием и решение полученного таким образом уравнения приравнять у ( I ) . Следовательно, у ( t ) (приближенно) определяется уравнением, не содержащим случай ных величин и функций в правой части
\,y{t) = F \ y { l ) , t , x \ . |
(7.81) |
Заменив cp (t, 0, |
. . ., 0) |
в |
(79) на |
у ( t) и |
перенеся у (t) |
в левую |
||||
часть |
равенства, |
получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Т (0 - » (* ) = |
2 ѵ Т |
Ѵг |
<7'82> |
||||
|
|
|
|
|
|
|
J - 1 |
3 |
|
|
Умножив последнее равенство на (76), |
взятое при t= t 2, |
и находя |
||||||||
математическое |
ожидание |
результата, |
с учетом (77) получим |
|||||||
|
! |
|
С) = |
Pi 2 |
|
|
(C) |
S C(m.) dm. |
( 7 . 8 3 ) |
|
|
|
|
|
âVj |
|
|||||
|
|
|
|
|
j |
1 |
|
|
|
|
где |
— пока |
произвольный |
постоянный |
множитель. |
|
|||||
Сравнивая (83) с (79) и (78), замечаем, что сумма взаимной корре |
||||||||||
ляционной функции R |
( £ ь і) |
и математического ожидания у (t) |
||||||||
является решением исходного уравнения (75), в котором слу
чайные дифференциалы |
ЙФ ( Шу) заменены на |
\x1eia>Jt-‘S x (u>.) di»j, |
т. е. вместо случайной функции X (t) взято выражение |
||
^ + |
9 і J eiait-‘Sx (т) dm, |
(7-84) |
|
— СО |
|
которое получается из (76) после соответствующей замены и пере хода от суммы к интегралу.
Однако на основании формулы (1.95) интеграл в (84) есть кор реляционная функция Кх (t2).
Таким образом, для нахождения взаимной корреляционной функции решения уравнения (75) и случайной функции X (t) получаем следующее правило: для нахождения взаимной корреля
ционной |
функции |
R (t, |
t2) |
необходимо определить |
решение |
|
Ух (t , t2) |
уравнения, |
которое |
получается из уравнения |
(75) путем |
||
замены случайной функции X (t) на сумму |
(t2). Искомая |
|||||
взаимная |
корреляционная |
функция определится |
формулой |
|||
|
|
» |
( I _Vi(t, t2) — у (/) |
|
(7.85) |
|
|
|
Ѵ 'З ’ |
с) — |
|
|
|
430 ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖ НЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ t r a . 7
где постоянная должна быть выбрана достаточно малой для того, чтобы дробь в (85) не зависела от ее значения.
Аналогичным образом можно получить правило и для нахожде ния корреляционной функции Ку (t, t2). Написав для этой цели
равенство (82) второй раз при t=~t2, перемножая эти равенства и учитывая (77), получим
|
<*р( 0 |
Фр (h) |
|
Ѵ-2К у (*» h) = Ps |
21 |
dVj Sx (“у) |
(7.8ІІ) |
dVj |
|
где постоянный множитель р2 введен искусственно путем умноже ния обеих частей полученного равенства.
Сравнение (8 6 ) с (82) показывает, что у2 Ky{t, t2) является раз ностью решения у2 (t, t2) уравнения (75), в котором дифференциалы
йФ (Wj) = V . заменены на |
Sx (ик) dio^ и V на у (t). Однако эта |
замена на основании (76) и (83) дает взаимную корреляционную функцию R yx (t2, t). Следовательно, для нахождения корреляцион
ной функции К у (t, t2) получаем следующее правило: для нахож дения корреляционной функции К у (t , t2) необходимо определить решение у2 (t, t2) уравнения, которое получается из уравнения (75)
путем замены случайной функции X (t) на сумму X |
(t2, t). |
|
Искомая корреляционная функция определится формулой |
|
|
K y (t, t2) = ^ ' |
^ - v « ) |
(7.87) |
9 |
1*2 |
|
где постоянная р2 должна быть выбрана достаточно малой для того чтобы выражение (87) не зависело от ее значения.
Так как и при вычислении у (t) и при вычислении у1 (t, t2) и у2 (t, t2) вид уравнения (75) не изменяется, а меняется только один аргумент правой части уравнения, то при использовании вычис лительных машин уравнение нужно «набрать» один раз, что упро щает вычисления.
В том случае, когда необходимо найти только дисперсию слу чайной функции Y (t) в определенный момент времени t-=tx, расчеты еще более упрощаются.
Действительно, так как D [Y (t^)] = K (tx, tx), то решение у (t) и у2 (t, t2) нужно находить только при одном значении аргу мента t= t1n при t2= tv Следовательно, взаимную корреляционную функцию І? (t2, t) нужно знать только при одном значении t2= tx и при значении второго агумента t, меняющемся в интервале (0 , ^). В соответствии с формулой (85) для этого необходимо найти ряд
значений функции ух (t , t2) |
при |
фиксированном значении |
t = t x |
и при различных значениях |
t2 в |
указанном интервале (0 , |
tx). |
434 |
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖ НЫ Х ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ |
[ГЛ. 7 |
|
системы (91) при замене |
Ѳ(t) на \>.г К.ъ (t2) и вычисляем R ^{t, t2) |
||
по формуле |
^ |
(7.92) |
|
|
RM t, |
||
|
|
ri |
|
где решение задачи для разных значений [хх показывает, что
Рис. 7.3. График взаимной корреляционной функции (tx, t2).
можно положить и, = 1. Производя указанное решение системы при значениях £=^=300 сек, 600 сек, 900 сек и при значениях
|
второго |
аргумента |
взаимной |
|||||
|
корреляционной функции в |
ин |
||||||
|
тервале |
|
|
получим |
для |
|||
|
каждого значения |
зависимость |
||||||
|
R« 8 (fl, t2) |
от t2, которая пред |
||||||
|
ставлена на рис. 7.3. Снова ре |
|||||||
|
шая систему уравнений (91), в |
|||||||
|
которой |
Ѳ (t) |
заменено |
|
на |
|||
|
ц2 й аіі (t2, t), |
получим |
решение |
|||||
|
а2 (t, t2), |
которое |
в [согласии |
|||||
|
с (87) дает искомую дисперсию |
|||||||
Рис. 7.4. График зависимости |
В [я(0] = |
-Я!і(*’ |
г)~ |
й{і) , |
(7.93) |
|||
D И *)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
где в соответствии с пробными расчетами |
в |
качестве |
р2 |
взято |
||||
ц2 = 1 . ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдя по формуле (93) для выбранных значений tx три значе ния D [а (£)], получаем возможность построить график зависи мости D [а (£)] от t (рис. 7.4).
§ 7 .4 ] |
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ |
435 |
Пример 7.3. Определить для времени I математическое ожидание ä и дисперсию D [ а (t) ] ошибки а (t) авиационной гиро вертикали, уравнение которой определяется соотношением
(3.69) при условии ірх (ж)—signx:
â ( / ) = - - / / ч — ^ s i g n l a ^ ) — Z (/)'|, |
(7.94) |
где отклонение физического маятника %(t) имеет нулевое матема тическое ожидание и корреляционную функцию
К г (т) = a^e-v-1т I (cos Хт -J- — sin X| т .
Данная задача отличается от предыдущей только тем, что уравнение гировертикали имеет существенно нелинейное сла гаемое sign [a (t)—y.(t)). Однако это не меняет схему решения задачи методом Доступова. Решая уравнение (94) в той же последовательности, что и в предыдущем примере, получим зна чения ä и D [а] для момента времени t.
Г Л А‘В А 8
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
§ 8Л. Общие принципы получения оценок вероятностных характеристик случайных величин
ипроцессов
1.Основные задачи, возникающие в гироскопии при обра ботке опытного материала. Применение вероятностных методов
вприкладной гироскопии возможно только в тех случаях, когда даны вероятностные характеристики случайных величин и функ ций, определяющих внешние воздействия на ГУ, или когда имею щийся экспериментальный материал позволяет непосредственно определить вероятностные свойства величин, являющихся по казаниями гироскопического устройства.
Таким образом, в прикладной теории гироскопов возникает необходимость как в определении вероятностных характеристик возмущений, так и в исследовании вероятностных свойств показа ний гироскопических приборов, являющихся случайными вслед ствие наличия различных случайных факторов, характеризую щих условия использования прибора.
Решение первой из этих задач не связано с исследованием погрешностей гироскопа как такового, а требует изучения харак тера случайных сил и моментов, действующих на ГУ. Определе ние этих характеристик необходимо для аналитического исследо вания поведения гироскопического устройства и расчета его точности.
Решение второй задачи возможно в том случае, когда мы рас
полагаем готовым образцом ГУ и можем его испытать в условиях, близких к предполагаемым условиям его эксплуатации.
Несмотря на различное прикладное содержание указанных выше двух задач, их математическая природа является одинако вой. В обоих случаях речь идет об определении вероятностных характеристик случайных величин или функций на основании обработки опытного материала. Иными словами, в обоих слу чаях мы имеем дело с основной задачей математической статис тики.
2. Получение оценок по реализациям случайных величин.
В большинстве прикладных задач, как это неоднократно от-