книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

388 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

Учитывая вышеприведенные соотношения и формулу (109), уравнение (106) можно представить в виде

и полагая потом все переменные z^.=0 , получим ряд рекуррентных соотношений, связывающих последовательные моменты случайной

Дифференцируя (110) по другим аргументам характеристической функции Zj и комбинируя получающиеся после обращения в нуль всех переменных Zj уравнения, можно получить ряд соотношений между моментами случайных величин U . (т) более высокого порядка.

При исследовании ГИ обычно представляет интерес не только ошибка ускорения, пропорционального â (г), но и ошибка опреде­

ления самой скорости, пропорциональная отклонению угла а (t) t

от значения — ^ wK(^) dtv которое должен показывать интегратор

о

в том случае, когда ошибки отсутствуют. Определение ординат функции а (t) можно выполнить аналогичным образом, используя уравнения (1 0 0 ), однако расчеты при этом усложняются.

Исследование ГИ, приведенное выше в качестве иллюстрации применения теории марковских процессов к анализу нелинейных гироскопических устройств, может быть проведено и каким-либо другим приближенным методом, например, методом последователь­ ных приближений.

390 Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

Учитывая, что значение t предполагается большим, в послед­ нем выражении сохраним только слагаемое, пропорциональное t, а верхний предел интегрирования положим равным бесконечности. После этого получим

в соответствии с (4. 38) имеем

где нормированные корреляционные функции кь (") и к? (т) в соот­ ветствии с (1 1 2 ) определяются равенствами

(6.117)

/сф(т) = е '^ І т| (1 — [а |т|).

Дальнейшие вычисления приходится вести численно. Подстав­ ляя (116) в (115), учитывая (4.36) и производя численное инте­ грирование, получим

Например, при t= l0 мин D [а (t) ]= 3 -ІО- 7 рад2.

Для сравнения рассмотрим решение этой задачи методом ста­ тистической линеаризации. Согласно этому методу [25] нелиней­

где коэффициенты k2 и А;'подобраны так, чтобы дисперсии обеих ча­ стей равенства (119) были одинаковы, т. е. в нашем случае, учиты­ вая (117), имеем

(6.120)

Подставляя (119) в (4), для определения a(t) и ß (t) получим си­ стему линейных уравнений с постоянными коэффициентами, в пра­

Интегрируя по частям и ограничиваясь рассмотрением установив­

в первом приближении согласно (71), равна нулю. Следующие же приближения дают в данном случае несущественные поправки. Аналогичным образом можно убедиться, что â0 (t) в данном примере дает математическое ожидание d (t) с достаточной для практики точностью-

§ 6.5. Гироскопические устройства, при исследовании которых возникают нелинейные задачи, не связанные

свидом уравнений ГУ

Вприкладной теории гироскопов возникает ряд нелинейных задач, не связанных с видом уравнений ГУ. К подобным задачам можно отнести исследование кардановых погрешностей гироскопа направления [23], [82], определение взаимного азимутального по­ ворота стабилизированных площадок на корабле при различной ориентации осей их кардановых подвесов [23], определение сред­ него времени пребывания ошибки ГУ в данном интервале и др.

Рассмотрим несколько примеров на решение подобных задач. Пример 6.4. Найти математическое ожидание и дисперсию кардановой погрешности ГН, установленного на самолете и слу­ жащего для определения угла рыскания ф самолета. Ось гироскопа (при отсутствии наклонов основания) составляет с продольной

осью самолета угол х.

Дано: углы крена у(£), тангажа &(t) и рыскания ф(і) само­ лета — независимые нормальные стационарные_ случайные функ­ ции времени, их математические ожидания у=& = ф = 0 , а средние квадратические отклонения 0^= oft= о = 1 °.

Р е ш е н и е . Карданова погрешность Дф ГН определяется соотношением Р5]

396 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е У РАВНЕНИ Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

откуда следует, что при х = 90° в первом приближении

Одф = 0.

Рассмотрим, насколько изменится полученный результат, если учесть отброшенные в (153) слагаемые. Вводя обозначения

вале (0,1) dtp (x)/dx )> 0. Это означает, что функция tp (х) не имеет

tp (X) будет при наименьшем зна­ чении аргумента, т. е. при х=0

или при х=90° [см. (155)]. Сле­ довательно, оптимальным значе­ нием установочного угла является х=90°.

Наиболее полное устранение кардановой погрешности ГН может быть достигнуто путем установки его на стабилизированной относи­ тельно плоскости горизонта пло­ щадке, которая может представ­

лять собой площадку силового гирогоризонта или площадку, стабилизируемую от центральной гировертикали с помощью сле­ дящей системы.

Пример 6.5. Определить вероятность того, что нормаль к ста­ билизированной площадке корабельного гирогоризонта силового типа в случайный момент времени t не отклонится от истинной вертикали места больше чем на угол у0, обеспечивающий условия нормальной работы установленного на площадке прибора (секстан, гравиметр).

Дано: срединные значения *) ошибок стабилизации площадки по осям подвеса (рис. 6.4) Ел= 3'; Е^=3'; математические ожида­ ния этих ошибок <х= р = 0 ; ось вращения наружного кольца кар-

*) Для нормального закона распределения срединное значение Е ошибки связано со средним квадратическим значением ее а соотношением Е —

= р Ѵ/2'а(р ==0,4769...).