книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

шения системы (62). Второе уравнение этой системы не зависит от первого и имеет решение

о

Подставляя (65) в первое уравнение системы (62) и интегрируя, получим

о о

Таким образом, решения исходной системы [(59) в нулевом приближении явно выражены через случайную функцию Ѳ(t), параметры которой предполагаются известными. Поэтому моменты ординат случайных функций a0 (t) и (30 (і) могут быть выражены через моменты случайной функции Ѳ(t), а учитывая сделанное предположение о нормальности этой функции, через корреляцион­ ную функцию K q ( х). Например, находя математические ожида­ ния обеих частей равенств (65) и (66), получим

Ро —

t

о

Возведя в квадрат и перемножая (65) и (66), после нахождения математического ожидания получим

00

*-a (^i) t2) — o,

MS Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П Р К Л А Д Н О Й Г И РО С К О П И И [ГЛ. (і

где F (т:1, т2) — квадратичная форма, состоящая из корреляцион­ ных функций К %(tj), К ц(т2) и их производных, а взаимная кор­ реляционная функция R aß0(Д, t2) обращается в нуль вследствие того, что подынтегральное выражение содержит математические ожидания трех центрированных нормальных случайных величин, тождественно равные нулю.

Для нахождения моментов ах (t) и ßx (t), необходимых для по­ лучения моментов a (t) и ß (t) в первом приближении, следует проделать аналогичные выкладки с системой уравнений (63). Вычисления при этом усложняются вследствие того, что в правые

и подставляя полученный результат в первое уравнение, получим явное выражение а! (t) через заданную случайную функцию Ѳ(t) и функции а0 (t), ß0 (t). Следовательно, любые моменты ал (t) и ßx (t) могут быть найдены. Например, находя математическое ожидание (69), получим

Для определения входящей под интеграл взаимной корреляцион­ ной функции а0(f3, I) достаточно умножить обе части (66) на 0 (t3) и найти математическое ожидание полученного таким образом выражения. Так как при этом под знаком интеграла появятся произведения трех центрированных нормальных случайных вели­ чин, то

окончательного результата возникнет необходимость в вычисле­ нии многократных интегралов.

Таким образом, применение метода малого параметра к данному примеру иллюстрирует правило, применимое ко всякому методу

§ 6.2] НЕПРИВОДИМЫЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЗАДАЧИ 379

последовательных приближений: применение этого метода явля­ ется достаточно простым, когда уже первые приближения (в на­

В качестве второго примера рассмотрим уравнения прецессион­ ного движения ГВ с нелинейной характеристикой коррекции (35). Рассмотрим первое из этих уравнений, причем примем нелиней­ ную характеристику коррекции в виде sign)a(t)— и поло­ жим М 2= 0. В этом случае первое уравнение системы примет вид (индекс 1 у Хі опускаем)

ошибки гировертикали а (t). Будем считать начальные условия нулевыми, а угол отклонения маятника х (t) нормальной стацио­ нарной случайной функцией с нулевым математическим ожида­ нием^! заданной корреляционной функцией К (т). В данном слу­

чае а (t) также можно считать малым по сравнению с х (t), однако применение метода малого параметра в его обычной форме здесь невозможно, так как правая часть уравнения не является непре­ рывной функцией разности х (t)— a (t), и следовательно, разложить эту функцию по степеням ѵа (t), подобно тому, как это мы делали в предыдущей задаче, невозможно. t 'm:-'-*

Метод последовательных приближений в том виде, в^каком он был рассмотрен выше, также не может быть применен.

Действительно, если для нахождения нулевого приближения

о

где кх (т) — нормированная корреляционная функция углов от­ клонения маятника х 00-

Таким образом, в качестве нулевого приближения мы получаем нестационарную функцию а0 (t). С другой стороны, из физических соображений ясно, что решением уравнения (72) после окончания

380 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

переходного процесса является стационарная случайная функция а (t). Таким образом, характер нулевого приближения резко от­ личается от точного решения задачи, и следовательно, метод по­ следовательных приближений или будет сходиться медленно, или вообще даст расходящийся результат.

Применение теории марковских процессов к этой задаче вполне возможно, поскольку угол отклонения маятника %(t) предпола­ гается нормальной стационарной случайной функцией, а допуще­ ние о дробно-рациональном виде ее спектральной плотности может быть принято.

Пусть для простоты корреляционная функция %(t) имеет вид

где £ (t) — белый шум, имеющий нулевое математическое ожида­ ние и корреляционную функцию

а д = а д .

Как было отмечено в § 1.3, в этом случае функции

u i(t) = *(t), 1

(6.78)

U %(f)s s x (O J

являются компонентами двумерного марковского процесса. Сле­ довательно, двумерная плотность вероятности ординат этого про­ цесса удовлетворяет уравнениям Колмогорова, коэффициенты ко­ торых в соответствии с формулами (1.149) и (1.150) имеют вид

Независимость коэффициентов а. и Ъ.г от времени показывает, что существует стационарное решение уравнений Колмогорова. Поэтому, отбрасывая во втором уравнении Колмогорова произ­ водную д//дт и обозначая, как обычно в теории марковских про­ цессов, через и У2 значения ординат функций U1 (t) и U%(t) в момент времени т, для определения плотности вероятности этих

382 Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. в

Отыскание решения в виде ряда (93) не накладывает ограни­ чений на искомое решение, поскольку этот ряд удовлетворяет уравнению (91) и граничным условиям на бесконечности. Подстав­ ляя ряд (93) в уравнение (90) с учетом (81), получаем:

получим бесконечную систему алгебраических уравнений для оп­ ределения ап:

Система полученных Гуравнений позволяет определить коэф­ фициенты ап с любой точностью, так как для этого достаточно сохранить в ряде (93) первые п членов

Для нахождения плотности вероятности случайной величины сс(т)=а плотность вероятности /(■»)], т)2) необходимо проинтегриро­ вать в бесконечных пределах по -ц2, заменить в окончательном выражении % на а/о^ и умножить результат на 1 /о Выполнив эти преобразования, получим

° ° f па ‘п _

Таким образом, применение теории марковских процессов поз­ волило не только определить моменты ошибок гировертикали с ре­ лейной характеристикой коррекции (72), но и найти закон распре­ деления этих ошибок, располагая которым, моменты любого по­

384 Н ЕЛ И Н Е Й Н Ы Е УРАВНЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. б

рядка могут быть найдены простым интегрированием по формулам

(1.15).

Сделанное при этом предположение, что углы отклонения маят­ ника %(t) имеют корреляционную функцию вида (75), не является принципиальным, так как сущность метода не меняется, если нор­ мальная случайная функция (і) имеет дробно-рациональную спектральную плотность более сложного вида, однако число ком­ понент у многомерного марковского процесса увеличивается и весь расчет соответственно усложняется.

5. Гироскопический интегратор с нелинейной характеристикой межрамочной коррекции. В качестве следующего примера рас­ смотрим систему уравнений (40) для гироскопического интегра­ тора с нелинейной характеристикой межрамочной коррекции, т. е. систему вида

где ф t), &(t) и f (t) — случайные функции, характеристики ко­ торых предполагаются известными, а все коэффициенты уравне­ ний — положительные постоянные, связанные с параметрами ГИ, входящими в систему уравнений (40) очевидными соотношениями.

Примем, что измеряемое ускорение wk постоянно, а 9 (і) и j (t) являются нормальными стационарными функциями,имеющими нулевые математические ожидания и корреляционные функции типа экспонент, т. е. положим

Примем, что рыскание отсутствует (ф=0).

Сделанные предположения эквивалентны предположению о том, что функции &(і) и 4 (і) являются стационарными решениями диф­ ференциальных уравнений первого порядка, содержащих в пра­

где (t) и £2 (t) — независимые случайные функции, корреляцион­ ные функции которых равны дельта-функциям.

Уравнения (100), (102) эквивалентны системе шести уравнений первого порядка, определяющей шесть функций â (t), ß (t),

(6.106)

Решение полученного уравнения в общем виде представляет существенные трудности, однако в данной задаче нас интересует стационарный режим работы интегратора, а для характеристики его точности достаточно определить только второй момент ординат случайной функции

Ux (<)=d (t).

В этом случае задача существенно упрощается. Вследствие ста­ ционарности процесса (переходный процесс считаем закончив­ шимся) плотность вероятности / не должна зависеть от т. По­

Умножив после этого обе части уравнения на

exp

и интегрируя по каждой из переменных у}. в бесконечных преде­ лах, получим

где через L/ обозначена левая часть уравнения (106). Интегралы типа