книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

в которой у (t) — случайная функция с заданными характери­ стиками.

Нелинейность уравнений многих ГУ связана с тем, что возму­ щающая функция входит в качестве аргумента нелинейного выра­ жения в виде суммы с углом, характеризующим ошибку гироскопа.

Примером уравнений такого типа может служить уравне­ ние (3.6) трехстепенного астатического гироскопа, в котором мо­ менты МХі и М взяты в соответствии с (2.102):

могут иметь один из указанных на рис. 2.15 видов, а М 1и М 2обозна­ чают остальные моменты, действующие по соответствующим осям подвеса ГВ.

К этому же типу принадлежит уравнение ГВша качке при не­ линейной характеристике коррекции cp (z), учитывающее перенос­

где X (t) — угол отклонения маятника-корректора, а — соста­ вляющая угловой скорости вращения Земли.

Наконец, к этому же типу относится и система уравнений (3.74) ГВ с нелинейной коррекцией и жидкостным трением

Имеется также большое число ГУ, нелинейность уравнений которых связана с тем, что входной величиной существенно не­ линейного звена является угол отклонения гироскопа, предста­ вляющий собой искомый параметр рассматриваемой системы.

Примерами уравнений подобного типа могут служить:

а) уравнение (3.137) ГТ, учитывающее момент сил сухого трения в оси подвеса:

б) уравнение (3. 182) поплавкового ИГ, написанное с учетом момента сил сухого трения в оси вращения гироузла:

в) уравнение (3.203) ГИ линейных ускорений с нелинейной характеристикой межрамочной коррекции, учитывающее моменты сил жидкостного трения в осях подвеса (cp^(ß)=sing ß):

7r aß — Hä n,ß = —mlwK— n2[& (t) cos а — ф (t) sin а],

(6.40)

V + н$ + nxä = —Bl/sign ß + щf (t).

и ряд других уравнении.

Строго говоря, все уравнения ГУ, рассмотренные ранее, яв­ ляются линейными только приближенно, если пренебречь силами сухого трения, люфтами в кинематических цепях и т. д. и пренебре­ гать угловыми скоростями вращения оси гироскопа по сравнению с угловыми скоростями объекта, на котором установлено ГУ. По­ этому рассмотрение нелинейных задач прикладной теории гиро­ скопов имеет интерес не только с точки зрения получения результатов в тех случаях, когда линейная теория является неприменимой, но и в тех случаях, когда интуитивно представляется допустимым пользо­ ваться линейным приближением. В последнем случае исследова­ ние задачи в нелинейной постановке должно подтвердить эти ин­ туитивные представления и дать оценку точности результата, полу­ чаемого при линейной постановке задачи. Кроме того, как известно из механики, уравнения движения гироскопа являются нелиней­ ными вследствие того, что они содержат произведения проекций угловой скорости гироскопа. Эти нелинейные уравнения в при­ кладной теории гироскопов обычно заменяются линейными путем отбрасывания нелинейных членов, которые во многих задачах можно считать малыми. Поэтому представляет интерес рассмо­ треть некоторые уравнения ГУ, сохранив в них произведения составляющих угловых скоростей. В качестве примера таких урав­ нений можно указать уравнения трехстепенного астатического гироскопа в кардановом подвесе при наличии жидкостного трения в осях, которые имеют вид

+2 (7B— 7B— 7B.э) âß sin ß cos ß +

+#ß cos ß -f- n^ä = —njtp (t),

где Ö(t) и cp (t) — угловые скорости вращения основания ГУ.

уравнением, не содержащим случайных величин и функций. Таким образом, если подобный процесс сходится, то мы получаем искомую функцию в виде ряда по степеням малого параметра, коэффициентами которого являются случайные функции, свой­ ства которых могут быть определены путем последовательного нахождения вероятностных характеристик решений линейных уравнений, что не связано с принципиальными трудностями.

Во втором случае решение по-прежнему ищется в виде разло­ жения по степеням малого параметра, однако коэффициенты этого разложения определяются методом, не использующим разложения нелинейных выражений, входящих в уравнения, по степеням этого параметра. Поэтому второй способ является предпочтительным

втом случае, когда в уравнения входят характеристики суще­ ственно нелинейных звеньев, которые не могут быть разложены

вряд Тейлора.

Независимо от того, какая из этих двух разновидностей метода малого параметра используется, при вероятностном анализе реше­ ний нелинейных уравнений, в качестве малых величин обычно рас­ сматриваются отклонения случайных величин (или случайных функций) от их математических ожиданий, а в качестве малого параметра выбираются искусственно введенные коэффициенты у этих отклонений, которые в окончательных формулах должны быть положены равными единице.

В данном параграфе мы будем использовать только первый спо­ соб применения метода малого параметра. Идея этого способа и вывод необходимых расчетных формул были достаточно подробно рассмотрены в § 5.2 и не требуют добавочных пояснений.

Второй способ применения метода малого параметра в том виде, какой ему придал Б. Г. Доступов [25], был кратко рассмотрен в § 5.1 применительно к исследованию решения уравнения, зави­ сящего нелинейным образом от случайной величины. Применение этого метода к исследованию решения уравнений, содержащих нелинейным образом случайные функции, будет показано в главе 7 при рассмотрении вопроса об использовании вычислительных машин для определения вероятностных характеристик решений дифференциальных уравнений, определяющих поведение сложных гироскопических систем.

Рассмотрим сущность одной из разновидностей применения метода последовательных приближений для определения вероят­ ностных характеристик решения нелинейного уравнения.

Пусть уравнение ГУ имеет вид (31)

где X (t) — заданная случайная функция, характеризующая слу­ чайные возмущения, действующие на гироскопическое устрой-

располагать законом распределения случайной функции С(t), которого мы не знаем, поскольку ее закон распределения зависит от закона распределения Y (t), являющейся искомой функцией данной задачи. Однако в методе статистической линеаризации обычно предполагается, что закон распределения С(і) мало отли­ чается от нормального. Следовательно, правые части равенств (53) могут быть вычислены и для каждого вида нелинейности <р(Д оказываются зависящими только от математического ожидания и дисперсии С(<). В этом случае равенства (53) позволяют опреде­ лить параметры к х и к2, а, учитывая приближенную замену (52), нелинейная задача оказывается замененной «эквивалентной» ли­ нейной задачей, решая которую обычными для линейных систем способами, можно определить величины М [" (£) ] и D (С(t)) и использовать их для уточнения к ± и к 2. Однако легко видеть, что применяемый при этом метод последовательных приближений не позволяет устранить ошибки, возникающие вследствие прибли­ женной замены (52). Поэтому данный метод, давая в ряде случаев приемлемую точность, не позволяет не только уменьшить возникаю­ щую при его применении ошибку, но и не дает возможности оце­ нить порядок величины этой ошибки. Поэтому могут быть случаи, когда применение метода статистической линеаризации может привести к искажению существенных особенностей рассматривае­ мой нелинейной системы.

Методы, основанные на применении теории марковских про­ цессов, также предполагают определенные допущения, однако эти допущения имеют совсем другую природу, чем в методе малого параметра или методе линеаризации, и не отличаются от допуще­ ний, обычно применяемых в корреляционной теории случайных функций.

В§ 5.2, п. 2 было показано применение марковских процессов

кисследованию свойств решения уравнения второго порядка спе­ циального вида. Рассмотрим решение более общей задачи. Пред­ положим, что функция X (t), являющаяся входом в нелинейную систему, обладает дробно-рациональной спектральной плотностью

Я » = |Р»(М I2 и является нормальной. Тогда в соответствии

с формулами (1.107) и (1.108) ее можно рассматривать как реше­ ние дифференциального уравнения

где р — оператор дифференцирования по времени, а %(t) — бе­ лый шум. В этом случае, как это было отмечено в § 1.3, X (t) можно рассматривать как компоненту и-мерного марковского про­ цесса.

Предположим, что оператор L, входящий в уравнение (44), описывающее исследуемую нелинейную динамическую систему, имеет вид

коэффициентами). Перейдем и в этом случае от одного дифферен­ циального уравнения к-то порядка к системе к уравнений первого

Первые n уравнений являются следствием наличия дробно­ рациональной спектральной плотности у стационарного случай­ ного процесса X (t), являющегося возмущением в данной задаче, а последние к уравнений эквивалентны уравнению (44), причем символ j в правых частях этих уравнений показывает, что нелинейная функция F входит только в одно уравнение (в приня­ тых обозначениях — в последнее).

Система (58) является системой уравнений первого порядка и, следовательно, ее решение однозначно определяется начальными значениями искомых функций Ur(t) (г=1, 2, . . ., п-\-к). С другой стороны, наличие в правых частях уравнений белого шума \ (t) не может привести к вероятностной зависимости ординат процес­ сов Ur (t) в будущие моменты времени от значений ординат про­ цессов в прошлые моменты времени. Поэтому случайные функции Ur (f) являются компонентами многомерного (п-\~к мерного) мар­ ковского процесса и для их исследования может быть применен аппарат теории марковских процессов. В частности, для плотности

получено многомерное уравнение Колмогорова, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты системы уравнений (58) по формулам, аналогичным формулам (1.132) и (1.133) для одно­ мерного марковского процесса.

Несмотря на то, что решение уравнений Колмогорова в ряде случаев может представлять существенные математические труд­ ности, применение теории процессов Маркова сводит задачу ис­ следования нелинейной динамической системы к определенной математической схеме расчета, реализация которой хотя и может быть связана с вычислительными трудностями, но не вызывает никаких принципиальных затруднений. Для применения этой схемы расчета является существенным, что исходные допущения (дробно-рациональная спектральная плотность и нормальный за­ кон распределения ординат случайной функции, являющейся возмущением для данной системы) обычно принимаются в технике, и следовательно, в этом методе исследования нелинейных систем не делается никаких добавочных допущений. В частности, харак­ теристика нелинейного звена F (С) учитывается в том виде, в ка­ ком она задана в условиях задачи.

Выбор различных методов исследования нелинейных систем зависит от характерных особенностей рассматриваемой задачи

итребует определенного опыта исследователя.

3.Гироскоп направления. Рассмотрим исследование несколь­ ких нелинейных ГУ, уравнения которых приведены в начале дан­ ного параграфа. В качестве первого примера рассмотрим ГН, ха­ рактеризуемый системой уравнений (32), в которой угол а0 не будем считать малым. Наоборот, углы а и ß, являющиеся ошиб­ ками ГН, можно считать малыми, и следовательно, возможно приме­ нение метода малого параметра. Искусственно вводя «малый»

параметр ѵ, перепишем систему (32) в виде (заменив, а0 на а0)

где случайную функцию Ѳ (t) будем считать для простоты стацио­ нарной, нормальной и обладающей нулевым математическим ожи­ данием. Положим

а (t) = а0(t) -f vgCj (t) + v2a2 (t) + . . ., |

и будем последовательно определять функции Uj (t) и ß . (t) таким образом, чтобы коэффициенты уѵ7 в левых и в правых частях

376 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е У РАВНЕНИ Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 6

равенств совпадали, т. е. применим обычную схему решения задачи методом малого параметра. Подставив (60) в (59), получим

<х0 (t) + V*! (0 + v2â2 (0 + • • • — ß0 (0 9 (t) cos а0 +

+Ѳ(t) V[—ßj (£) • cos a° + ao (t) ß0 (t) sin a°] -f-

+Ѳ(£) V2 |^а0 (t) ßx (t) sin a° — ß2 (t) cos a° -}-

+ßo (0 ai (0 sin z° + у а2 (г) ß0 (0 cos а0 + . . . = 0,

(6.61)

Приравнивая коэффициенты у v°, v 1 и v2 , получим три системы уравнений для определения искомых функций а (£) и ß (£) в нуле­ вом, первом и втором приближениях:

Как и должно быть в методе малого параметра, левые части полученных систем уравнений являются одинаковыми, а в правые части входят функции а . (t), ß. (t), определяемые системами урав­

нений для меньших значений индекса /. При этом полученные си­ стемы уравнений являются линейными, а их правые части содер­ жат а. и ß . нелинейным образом.

Рассмотрим последовательное решение полученных уравнений, считая для простоты начальные условия нулевыми. Начнем с ре­