книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов
.pdf§ 5.3] |
ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
347 |
Дифференцируя (256) по времени, для математического ожида |
||
ния (3 имеем (х = |
1 ) |
|
|
Р = Ро + Рі + Рг + • • • |
(5.259) |
Для определения ß0 воспользуемся первым уравнением си |
||
стемы (257) |
Гр0 + ро = /сХ(0- |
(5.260) |
|
||
С учетом слагаемых первого порядка малости выражения (253), имеем
Гро + & > = * Ф (* ) + г т |
(5-261) |
Применяя к (261) операцию нахождения математического ожида ния, по окончании переходного процесса получим
|
Р о = $ ( 0 + Tf(*)- |
(5.262) |
Так как для стационарных случайных функций ф = ^ — 0» то |
||
|
р0 = 0 . |
(5.263) |
Для нахождения |
воспользуемся вторым |
уравнением си |
стемы (257) |
Грі + Рі = -*Г (*)Ро(0 - |
(5-264) |
|
||
Так как постоянная времени ПИГ весьма мала (по условию при мера Т tv 0,0018 сек), то для приближенного определения ß0(£) отбросим в (260) первое слагаемое, т. е. будем рассматривать ПИГ как идеальное интегрирующее звено; тогда
|
ß0 = ÄX(f) |
(5.265) |
||
или, учитывая в (253) слагаемые первого порядка, получим |
||||
|
Ро=*[Ф (0 + |
т ? (* )] - |
(5'266) |
|
Интегрируя это |
уравнение |
при |
нулевых начальных |
условиях |
ß0 (0 ) = 0 , ф (0 ) = |
0 , у (0 ) = 0 , имеем |
|
||
|
Ро (*) = |
*[)(* )+ т * (* )]. |
(5-267) |
|
Подставим (253) и (267) в (264); тогда |
|
|||
Щ + Рі = - к Ч (t) [ф (*) + -£ Т (*)] • |
(5-268) |
|||
Применим к (268) операцию нахождения математического ожида ния; тогда
Гр! + h = - * 2М {& (І) [ф W + X t (*)]}, |
(5-269) |
откуда по окончании переходного процесса
р} = —Ш ц (0) - кТЯң (0), |
(5.270) |
350 УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5
Для принятых в примере числовых данных, по формуле (288) находим
D [ß (01 = 0,7594 • ІО'4 рад*.
Тогда среднее квадратическое значение угла ß (t) будет
Ор= \JD [ß (£)] = 0,8714 • ІО'2 рад = 30 угл. мин.
В заключение найдем вероятностные характеристики погреш ности е (t) поплавкового гироскопа. Так как по условию примера
рассматриваемый прибор предназначен для определения углов рыскания ф (t) самолета, то
е ( t ) = ß (t) — &ф (t) |
(5.289) |
и задача сводится к определению s (t) и D [е (<)].
По аналогии с предыдущим s (t) выражается рядом типа (256), слагаемые которого определяются из следующей системы урав
нений: |
|
|
|
|
|
7s0 -f- è0 = кХ ( t ) — &ф— кТ§, |
|
|
|||
Т ё 1 + |
= — k Y ( t) (e 0 + Ц ) — Ң — k T § , |
||||
Té2+ |
è2 = —kY (t) (e, + Ц) - |
Ц - |
кЦ, |
||
Подставив в первое уравнение системы (290) вместо X (t) ли |
|||||
нейные члены выражения (253), |
получим |
|
|
||
|
“I- |
= — |
Ту. |
(5.291) |
|
Применяя к (291) |
операцию |
нахождения |
математического ожида |
||
ния, имеем |
Гё0- и 0= 0 , |
|
(5.292) |
||
так как ф = у = 0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Следовательно, по окончании переходного процесса |
|||||
и поэтому |
|
*о = °> |
|
(5.293) |
|
|
s0 = |
0. |
|
(5.294) |
|
|
|
|
|||
Пренебрегая в уравнении (291) |
произведением Т'ё0сравнительно |
||||
с è0, получим |
е0да—/сГф 4- Ту. |
|
(5.295) |
||
|
|
||||
Подставляя (295) во второе уравнение (290) и учитывая (253), имеем
Тц + |
= kb (t) (йГф — Ту — *ф) — А:ф — кЦ . |
(5.296) |
Применение к (296) операции нахождения математического ожи |
||
дания дает |
m {»(t) ( х Ц — Ту — kf) — к<1>— Щ } , |
|
Щ + і, = |
(5.297) |
|
§ 5.3] |
П р и м е р ы н а |
и с с л е д о в а н и е |
г У |
351 |
откуда по окончании переходного процесса |
|
|
||
іа = |
Ш Ш ф (0) — |
к Т Я ң (0) — к |
Ш ц (0). |
(5.298) |
Пренебрегая слагаемыми, содержащими малую постоянную вре
мени Т, |
получим |
|
(5.299) |
|
è1 = —№Rty(0), |
||
следовательно, |
ц (0) t. |
(5.300) |
|
|
ёх = ■— к 2Я |
||
Ограничиваясь двумя первыми |
членами |
ряда, согласно (294) |
|
и (300), |
имеем |
|
(5.301) |
|
ел* —к2Я ц (0) t. |
||
Учитывая, что в общем случае движения летательного аппа
рата возможны условия, |
когда Яц (0) =^=0, |
вновь подтверждается |
|||||
вывод о целесбобразности установки |
ПИГ на стабилизированном |
||||||
основании. |
|
|
|
|
|
В согласии со ска |
|
Перейдем к вычислению дисперсии D [е (t)]. |
|||||||
занным ранее D [е (01 ^ |
D [®0 (£)]. |
|
|
начальных условиях, |
|||
Интегрируя (291) один раз при нулевых |
|||||||
получим |
П 0 + &0 = - к Ц + Т і . |
|
|
(5.302) |
|||
Обозначая |
|
|
|||||
|
г (о = — к Ц |
+ |
т і , |
|
|
(5.303) |
|
|
г |
|
|
||||
приходим к уравнению типа (277) |
|
|
|
|
|
||
|
|
^ éo + ео — |
(0- |
|
|
(5.304) |
|
Для установившегося процесса имеем |
|
|
|
|
|||
|
|
S, |
(ш) |
|
|
|
|
|
З Д = т а |
т г . |
|
|
|
||
Для спектральной плотности S gl (ш) имеем*) |
|
|
|
||||
|
Stl («о) = k2T2S^ (ш) + |
T2S^ (о») |
|
(5.305) |
|||
или, учитывая (282) и (283), |
|
|
|
|
|
||
S «(») = - * & — |
а* + 2а|ш2 + Ң |
тт |
(о* -J- 2 |
+ Ъ\ |
(5.306) |
||
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
(Ш)= 1 _|_ у2ш2 |
71 |
ш* + 2а§ш2 + 6« |
|
|
|
||
|
|
2а^ 2Г2 |
|
|
|
(5.307) |
|
|
|
я |
|
со1 + 2 а|ш2 + 6 2 . ’ |
|||
|
|
|
|
||||
*) Предполагается, что |
(т) = 0. |
|
|
|
|
|
|
352 УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5
Для дисперсии |
D [е (і)] имеем |
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D K * )]» D [e0(*)]= |
j |
|
|
(5.308) |
||||
|
|
|
|
—СО |
|
|
|
|
или, учитывая (307), получим интеграл |
|
|
|
|||||
СО |
2о| |
|
|
Ь‘іы2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T + W |
К |
+ 2 |
|
+ Ь* -Ь |
|
|
||
|
2о> |
/ 2 |
|
&?<И2 |
|
do), |
(5.309) |
|
|
+ • |
% |
|
|
+ 2а|со2 + Ь| |
|
|
|
вычисление которого дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 [• <‘>] = к' Р Ц Р - ^ Г + ^ Т ). |
4 |
+ |
Р |
ЦТ, + |
{Т + П Т), 4 |
<5 -31») |
||
Для принятых в примере числовых данных по формуле (310) вычисляем дисперсию
D [е (f)J = 1,38 • 10-8 рад2.
Среднее квадратическое значение угла е будет
а£ = \JD [е (£)] = 1,17 • ІО'4 рад = 0',41.
Погрешность 8. в определении угла рыскания самолета поплав-
ковым |
^ |
|
|
1 |
|
Следовательно, |
|
ИГ связана |
с е соотношением 8^= — е. |
||||||
к |
1 |
_■ |
(см. (301)) и 08ф = |
1 |
at |
= |
0,82 угл. мин. |
Оф= |
-£■£=—kR&ty(0)t |
|
|||||
Таким образом, погрешность ПИГ, вызванная колебательными дви жениями самолета при жестком креплении на нем прибора является существенной.
Пример 5.5. Определить математическое ожидание и диспер сию угла ß (t) отклонения оси корабельной ГВ в диаметральной плоскости корабля, если ГВ основана на использовании трехсте пенного астатического гироскопа с коррекцией, имеющей линей ную характеристику. В качестве чувствительного элемента си стемы коррекции применен сильно задемпфированный физический маятник, плоскость качания которого совпадает с диаметральной плоскостью корабля. Корабль совершает чисто килевую качку.
Дано: относительный коэффициент затухания маятника [см. формулу (3.48)] С= 10; 20; 30; период собственных колебаний ФМ 71фМ==0,5 сек, его постоянная времени Гм=0,08 сек, постоянная времени гировертикали Г =20 сек; координаты места установки прибора а;=20 м, Z——10 м; угол килевой качки корабля ф (£)— нормальная стационарная случайная функция времени, параметры корреляционной функции которой, имеющей вид (2. 13), даны:
354 |
УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[ГЛ. 5 |
|||
откуда по окончании переходного процесса получим |
|
||||
|
|
|
р0 = &ж(£) |
|
(5.322) |
или, |
учитывая (314), |
|
|
|
|
|
|
|
р0 = 0. |
|
(5.323) |
Для определения математического ожидания ßx из второго урав |
|||||
нения системы (319) имеем |
|
|
|||
Tu. Л і + |
Th + Pi = |
-AM \ Y (t) ß„ (*)J - kTM[Y(t) h (01, |
(5.324) |
||
откуда по |
окончании |
переходного процесса |
получаем |
|
|
|
|
рт = - A M [ Y (t) p0 ( 0 1 - k T M [ Y ( t ) |
ßo (t)l |
( 5 . 3 2 5 ) |
|
Будем считать переходный процесс окончившимся. В этом случае, подставив в первое уравнение системы (319) спектральное разложение (224) функции X (t), для решения этого уравнения
получим
ОЭ
Ро(0 = \ L(m)eia>tdФ » , |
(5.326) |
—СО
где передаточная функция L (wo), соответствующая рассматривае мому уравнению, будет
L («о) ~ і _ |
+ Тіш. |
(5.327) |
Подставляя (327) в (326), получим
Ро«)= \ |
+ |
(5.328) |
— со |
|
|
Спектральное разложение случайной функции ß0 (t) может быть получено из (326) путем дифференцирования по t под знаком инте грала, т. е.
& > « = І t - T . . , L + T t » |
м - |
<5 -3 2 ! >> |
— со |
|
|
Перемножая спектральное разложение |
(230) функции |
F (t) |
и (328), получим (учитывая, что вследствие вещественности У (t), Y*{t)=Y{t))
М [У (t) р0 (*)] = м{и е-ш йФ*у (ш) , _ Т к к^ +Пш1 ЙФДші)1. (5.330)
356 |
У РАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[ГЛ. 5 |
Метод определения ß2 из третьего уравнения системы (319) такой же, как и использованный выше при нахождении ßr Легко убедиться, что ß2 значительно меньше, чем ßx. Поэтому для практи
ческих расчетов ß в разложении (320) обычно достаточно ограни читься двумя первыми приближениями; тогда, учитывая (323),
для ß имеем
Р ä s ß L. |
( 5 . 3 3 9 ) |
Для принятых в примере исходных данных вычислим по фор
муле (337) и (338) |
математические ожидания ß |
|||
|
£ |
10 |
20 |
30 |
ß, |
угл. мин. |
—1,18 |
- 0 ,3 |
-0 ,1 4 |
Из примера следует, что у ГВ с задемпфированным маятникомкорректором при нерегулярной качке корабля систематические отклонения оси гироскопа от вертикали весьма малы. При исполь зовании в ГВ маятника со слабым затуханием (С <[ 1) величина ß, равная математическому ожиданию % угла отклонения ФМ, при принятых исходных данных может достигать 4' (пример 5.3).
Для определения дисперсии ß (t), полагая D |
[ ß (^l)^D I ß0 (t) 1, |
|
воспользуемся первым уравнением системы |
(319) (индекс «0» |
|
опускаем) |
|
|
T a, t l f - \ - T $ + ^ = |
k X ( t ) |
(5.340) |
или, учитывая (315), имеем уравнение |
|
|
r M.8r ß + r ß + ß = |
-Ä z<iiW , |
(5.341) |
аналогичное уравнению (240). Дисперсия решения последнего определяется выражением (241), в котором нужно заменить Т на Тг, Сна £х и принять Т{=ТЛ%3Т, 2С1Г1= 7 7.
Вычислив Тх и для принятых по условию примера трех зна чений относительного коэффициента затухания ФМ С= 10; 20; 30, имеем
С |
Т и сек |
с, |
10 |
5,66 |
1,77 |
20 |
8,0 |
1,25 |
30 |
9,8 |
1,02 |