Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
27.10.2023
Размер:
18.8 Mб
Скачать

§ 5.3]

ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

337

£=20 м,

z= —10 м , постоянная времени маятника

Т —Мп—

=0,08 сек, относительный коэффициент затухания маятника [см.

формулу (3.48)]

С= б/2\/Jmgl = 0,5, а параметры

корреляцион­

ных функций угла дифферента ф (t), угла крена

0 (t) и рыскания

tp (£) соответственно равны

 

 

 

 

 

 

о| =

(1,5° ) 2 =

6,7 • ІО- 4

рад2,

ц1 =

0,075 1 /сек,

Хх =

0,95

1 /сек,

ojj =

(4,8°)а =

7,0 • ІО- 3

рад2,

ц, =

0,04

1 /сек,

Х, =

0,42

1/сек,

а2 =

(1,5° ) 2 — 6,7 • ІО- 4

рад2,

[а3 =

0,2

1/сек.

 

 

 

Р е ш е н и е .

Согласно (3.57), учитывая, что

в данном

случае

\с — ric = 'tc =

0,

рассматриваемое

уравнение колебаний ФМ имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X +

+ »2(* + -y ) x =

 

 

 

 

 

 

 

= —К [—X (Ф2 +

Ф2 +

ФФ) +

z (Ф+ фѲ+ 2срѲ)],

(5.192)

где,

согласно

(3.46), k1 = n2jg.

 

 

 

 

 

В соответствии с обозначениями (128) имеем

 

 

 

 

X(t) = x 2 + Ф2 + ФФ) — 2

(ф + фѲ+

2фѲ),

(5.193)

 

Y { t ) = x ф.

 

 

 

 

 

 

(5.194)

Учитывая эти обозначения,

уравнение (192)

может быть перепи­

сано в виде

 

 

 

X+ 2^Х + п2

1 + — Y (0~| X —

(0>

(5.195)

где случайные функции X (t) и Y (t) — горизонтальное и верти­ кальное ускорения точки подвеса ФМ соответственно.

Случайная функция X (t) выражается нелинейно через углы качки корабля, однако в большинстве прикладных задач ее можно представить в виде

X (t) яа X + Ху (і),

(5.196)

где £ = М[У (£)] — математическое ожидание функции X (t), учи­ тывающее линейные и нелинейные члены функции X (t)\ Х х (t) — случайная часть функции X (t), учитывающая лишь ее линейные слагаемые, причем М 1 (і)]=0.

Для определения х применим к (193) операцию нахождения математического ожидания

X — М 2 -f ф2 + фф) — z (ф + 0ф + 2фѲ)],

(5.197)

Легко показать, что (см. § 2.2)

М [,ф| = М [фѲ]= М [фѲ] = 0.

(5.198)

22 А. А. Свешников, С. С. Ривкин

338 УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5

По аналогии с формулами (2. 21) и (2. 30) имеем

 

М[Фа] =

D [ф (i)J = ftfD [ф («)],

J

Г)199)

М [ф ф ] =

(0 ) = — 6 fD IФ (0 1 - I

 

Подставляя (198) и (199) в (197), получим

 

 

* = м[*<Р2] = XD [ф (*)] =

*({!* + Ц) D [ 9 (0] =

хЩО [<Р (0],

(5-200)

т. е. отклонение математического ожидания случайной функции X (t) от нуля обусловлено рысканием корабля.

Для случайной функции Х г (t), согласно (196) и (193), имеем

X 1(t) = — .гф.

(5.201)

Тогда, подставляя (200) и (201) в (196), получим

X (t) г« хЩО [<р (£)] —

(5.202)

Спектральная плотность Sx (ш) случайной функции X (() при учете (2 0 2 ) имеет вид

Sx((o) = z2S$ (w) = г2и)*5ф (и>).

(5.203)

Для математического ожидания и спектральной плотности слу­ чайной функции Y (t) на основании (194) имеем

'£ =

М[У(*)] =

0,

(5.204)

Sy (ш) =

x2S§ (о>) =

ж245ф (со).

(5.205)

Для решения уравнения (195) воспользуемся методом малого параметра (§ 5.2), введя в уравнение (195) параметр х:

X + 2 <*Х + «2[ і + * у Y (t)]X = k1X (t)

(5.206)

Будем искать решение последнего уравнения в виде ряда по степе­ ням параметра х, который формально будем считать малым (хотя в окончательных формулах и положим х = 1 ):

X = Хо + хХі + **Ха + ■• •

(5.207)

Подставив (207) в уравнение (206), учитывая, что n2/g=k1 [g m . (3.46) и (3.53)], и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного равенства, будем иметь систему уравнений для определения Хо> Хи Хг> • •

Хо +

2Е^Хо +

п2Хо = кіХ (0.

 

Ь +

2^Хі +

«2Хі = —КУ (t) Хо (0 .

(5.208)

 

 

 

Ь + 2&*Xs + п\ ч = —K Y (t) Xi (t),

І 5.3]

ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

339

Разделим уравнения (208) на пъ и принимая во внимание обо­

значение (3.51),

перепишем их

в

виде

 

Т2Хо + XТ%о + Хо — кХ (t),

(5.209)

т% + 2^1'Ь + Xi =

—kY (t) Хо (0.

Т% + 2іТѣ + Хі = - к ¥ (t)Xl(t). .

 

Применяя к (207) операцию нахождения математического ожи­

дания и полагая

х = 1 , получим

 

 

 

 

Х = У.о + Хі +

%2 + • • •

(5.210)

Для нахождения Хо применим к

первому уравнению

системы

(209) операцию нахождения математического ожидания

 

 

 

 

(5.211)

откуда по окончании переходного процесса получим

 

 

X0 =

fcr.

(5.212)

Подставляя сюда (2 0 0 ), имеем

 

 

 

 

Хо - кхЪ\ D [<р (0J =

jb lD [? (*)]•

(5.213)

Для числовых значений примера получаем

 

Ь\ = |a|-J- Х| =

0,045 1/сек2,

Хо = 0,0615 • ІО- 3 рад =

О1,2,

т. е. величина Хо мала.

С физической точки зрения Хо обусловлено действием на маят­ ник центробежной силы инерции, возникающей при рыскании корабля.

Для определения Хі на основании второго уравнения системы

(209) имеем

Т% + X T Xi + Xi = —Ш I Y (t) Xo (*)]•

(5.214)

Чтобы воспользоваться этим уравнением, необходимо знать выражение для случайной функции Хо (У). Вначале определим Хі приближенно, а затем укажем точное решение. В рассматриваемом случае короткопериодного физического маятника, когда его по­ стоянная времени Т мала, согласно первому уравнению системы (209) приближенно можем принять

Xo( t ) ^ k X ( t ) = ± . X ( t ) ,

(5.215)

т. е. считать, как это обычно принято в прикладной гироскопии, что короткопериодный маятник мгновенно устанавливается по направлению кажущейся вертикали.

22*

340

УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

Подставляя в (215) выражение (202), получим

 

 

 

Хо (0

к {хЩО [<р (t)] — гф (0).

(5.216)

Для

математического

ожидания Хі

Н£> основании уравнения

(214) по окончании переходного процесса имеем

 

 

 

Х1 =

_Ш [Г(г)хо(*)]-

(5-217)

Учитывая (194)

и (216),

 

 

 

 

М [У (t) Хо(01 =

М (Ажф (t) [хЪ\ D [<р (*)] — 2

$ (*)]} =

(5.218)

 

 

=

—fcrzD [ф (t)]

kxzb\D [ф (£)]

Подставляя (218) в (217), находим

 

 

 

 

Xi =

-g-bJD [<!>(*)]•

(5.219)

Для условий примера

 

 

 

 

 

 

Щ= pf +

Xf = 0,9081

1/сек2.

 

Согласно (219) находим

Хі = —1,147 - ІО“ 3 р а д = — 4'.

Таким образом, Хі значительно больше ХоОстановимся кратко на физическом смысле математического

ожидания Хі угла отклонения маятника от вертикали в условиях нерегулярной качки, именуемого иногда систематическим откло­ нением. Пользуясь (215), приближенное выражение (217) для Хі

можно представить в виде

 

Хі = —*2М [Y (t)X («)] = —кШух (0),

(5.220)

где R yx ( і) — взаимная корреляционная функция вертикальных и горизонтальных ускорений точки подвеса маятника при качке корабля.

Следовательно, математическое ожидание ул случайной функ­ ции Хі (t), характеризующее среднее значение угла отклонения маятника от вертикали, вызывается корреляционной связью вер­ тикальных Y (t) и горизонтальных X (t) ускорений точки подвеса маятника для одного и того же момента времени.

Числовые расчеты показывают, что при вычислении математи­ ческого ожидания угла отклонения ФМ в условиях качки необ­ ходимо в правой части уравнения (192) удерживать слагаемые второго порядка малости и учитывать случайное слагаемое Y (t), характеризующее вертикальную составляющую ускорения точки подвеса.

Составляющая Хг математического ожидания X определяется аналогичным образом из третьего уравнения системы (209).

§ 5.3] ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 341

При принятых ранее допущениях по окончании переходного

процесса имеем

(5.221)

 

& = 0.

Расчеты

показывают, что / 3=^0,

но пренебрежимо мало по

сравнению с

и ул . Таким образом,

математическое ожидание %

случайной функции %(t) с достаточной для практики точностью

определяется двумя

первыми членами

ряда (2 1 0 ), т.

е.

 

Х«*Хо +

Хі

 

(5.222)

или, учитывая (213)

и (219),

 

 

 

1 =

І 6 § D [<р (0 1 -

~

Ъ\ D [<!» ( 0 1 .

( 5 . 2 2 3 )

 

Ь

ь

 

 

Для числовых данных примера имеем

Х = —3',8.

Как было указано, величина %і была определена приближенно. Найдем для нее точное выражение. Для этого представим возму­ щающее воздействие X (t) в виде спектрального разложения, ана­

логичного (1.92):

СО

 

X { t ) — x-\-

J

еш йФх (ш).

 

 

 

(5.224)

 

 

 

 

—СО

 

 

 

 

 

Спектральная функция

ФДсо)

обладает в

силу

(1.94)

следу­

ющими свойствами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М \йФх («,)] =

М [dOl (со)] =

М [йФх (а.) сІФхК ) ]

= 0,

(5.225)

М ['йФ *

(ш )

(іФх

(o )j)]

== Sx(со) 8 (ш —

w j) dwdw^

 

где Sx(<d) — спектральная

плотность

случайного

процесса

X (t);

8 (ю) — дельта-функция,

для

которой

 

 

 

 

 

СО

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

^ 8 (ш ) (ІШ=

1 ,

^

X (со) 8

(со ---- (Oj) dco =

X (cox) .

( 5 . 2 2 6 )

00

 

 

— 00

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (224) в первое уравнение системы (209), получим по окончании переходного процесса стационарное решение этого

уравнения в виде

СО

Хо(0 = Хо+ S Ь(ш)еішЫ Ф » ,

(5.227)

 

00

 

где передаточная функция ФМ определяется выражением

 

L (гш)

(5.228)

1 Тч-ш2 -I- 2£Гіео '

 

 

 

342 УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5

Подставляя (228) в (227), получим

00

Ь « = 7.+ S TtTTé + ж т ы (5.229)

— СО

Если постоянная времени Т маятника мала, то (229), учитывая (224), переходит в приближенное выражение (215).

Представив случайную функцию Y (t) также в виде спектраль­ ного разложения

 

 

СО

 

 

 

Y ( t ) =

j

е*'“^ Ф у(ш)

(5.230)

 

 

— СО

 

 

и подставив (229) и (230) в (217), получим

 

Xl = -ÄM [y(OzoW ] =

 

 

 

CO

СО

 

£

\

S

j e- ' - w

; H

1 _ r , y ^ -2 g - O T . K ) .

(5.231)

I— СО — с о

 

)

 

Меняя порядок нахождения математического ожидания и интегри­

рования и учитывая формулу (1.104), согласно которой

 

М

(<о) dOx ((Oj)] = S yx (<ü) S (ш — toj) da> du>lt

(5.232)

где Syx ( w) — взаимная спектральная плотность случайных функ­

ций У (t) и X

(t),

получим

 

 

 

 

 

 

 

Хх =

— f

1 _

Г2Ш2 + 2 CfШ S PX

du>-

(5.233)

 

 

 

— СО

 

 

 

 

 

 

Для 5уя:(ш),

согласно (194)

и (202),

имеем

 

 

 

 

 

SfX (аз) = —xzS§ (ш),

 

 

(5.234)

т. е. вместо (233)

будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

* . = ? ■ !

і - т Д + е т і.

w

*»•

(5-235)

При

малой постоянной

времени

Т

маятника

множитель

5

.

по модулю мало отличается от единицы

в области

1 12ц>2 +

ІШ

 

 

 

 

 

 

 

значений

<о, при которых ординаты спектральной плотности 5$ ( ч>)

имеют существенное значение. Заменив этот множитель едини­ цей, легко убедиться, что формула (235) переходит в (219).

§ 5.3] ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 343

Для

нахождения

точного выражения

Хі вычислим интеграл

(235). Входящая в него спектральная плотность (о>), согласно

(2.15) и (2.24), имеет вид

 

 

 

 

9- I \ — 2а^ 1

 

6 іы4

(a?= ^ -X * ,

6 ? = iif +

Xf).

(5.236)

^ ' '

it

ш* -f- 2afio2 +

 

 

 

 

Подставляя (236)

в (235),

получим

 

 

 

 

X Z

п

Г

 

0)1

 

d(0.

(5.237)

Xi

~gi

J

(1 —Г?0)2 + 2ifia))(о)1 + 2a|ü)2 +

00

Пользуясь для вычисления (237) таблицей 1.1, имеем

„ _

X Z

Ь ! [ Ь і ( 1 - 4 С Г 1і 1 - Г « Ь і ) - 4 Іі ! і Р [ ф ( 0 ]

^

2 3 8 ]

X l ~

g ( І - Т Ѣ І У + А І Т Ѣ І Ѵ + Т ^ ^ + Т ^ + Т К ^ ] ’ 1 '

>

Для числовых данных примера получим Хі = _3',79,

что мало отличается от приближенного значения Хі= —4', вычис­ ленного по формуле (219).

Можно показать, что с увеличением относительного коэффи­ циента затухания £ систематическое отклонение маятника Хі уменьшается. Вычислив по формуле (238) значения Хі для приня­ тых в примере исходных данных и для различных величин коэф­

фициента затухания С,

получим

результаты, которые сведены

в таблицу:

 

 

 

 

 

 

С

0,5

0,707

3

5

10

20

—Хъ Угл• мин•

3,79

3,73

2,82

2,01

0,82

0,14

Отсюда следует, что применение сильно демпфированного маят­ ника является эффективным средством уменьшения система­ тических отклонений маятников-корректоров гироскопических устройств на качке [56].

Перейдем к определению дисперсии D [<[>(t) ] погрешности маятника, пользуясь системой уравнений (209). Для нахождения D ІХо (0 1 воспользуемся первым уравнением этой системы

 

Т21о + Х Т ѣ + Хо = кХ(і).

(5.239)

Принимая во

внимание

лишь линейные слагаемые

функции

X (t) [см. (201)],

перепишем (239) в виде

 

 

■т%, +

+ Хо = —Щ (О-

(5.240)

344

У РАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

Мы пришли к уравнению типа (4.494) колебаний маятникового кренометра на качке, движение которого было рассмотрено в при­ мере 4.7. Поэтому для определения дисперсии D [хо (01 решения уравнения (240) можно воспользоваться непосредственно выраже­ нием (4.504), если в нем заменить b на Ьѵ ц на и D [Ѳ (t)] на D (t) ]; имеем

Ь22 2

(ь? + |г ) о И(0 ]

D [Хо (0] = £г! (1 _

ТѢ\)Ъ + 4 [Т‘К Ѣ \ + Г щ (С + 7> j) + Г зС р іб ? ] ' ( 5 ' 2 4 1 )

Подстановка в (241) числовых данных

примера дает

 

D [ X o (01 = 17,48-10-*

рад\

среднее квадратическое значение ошибки

0 ^ = 4,181 • ІО' 2 рад = 2°, 4.

Определим дисперсию D ІХі(01 следующего приближения. Для этого воспользуемся вторым уравнением системы (209)

Т% + 2СГХі + Хі = - kY (t) Хо (t).

(5.242)

Вопрос об определении дисперсии D ІХі (01 рассмотрен в § 5.2, где получены общие соотношения (105) и (106). При этом было указано, что для расчета D [х (01 достаточно ограничиться первым приближением. Применительно к маятнику это означает, что можно принять

D (х (01 D [хо (0Ь

т. е. при определении D [х (01 можно исходить из дифференци­ ального уравнения маятника, в котором отброшены слагаемые второго порядка малости, входящие в горизонтальное ускоре­ ние X (0 [см. (194)], а также отброшены в уравнении маятника члены второго порядка, обусловленные вертикальным ускоре­ нием У (t).

Поэтому, пользуясь уравнением (242), ограничимся общими соображениями об определении дисперсии D [хг (01 ■ Обозначим

Z ( t ) = - Y ( t ) lo {t),

(5.243)

тогда спектральная плотность SXl (ю) случайной функции Хг (0> согласно (242), будет выражаться формулой

Ѵ « > = I£ <-> I2 М = Ті

(5.244)

 

§ 5.3] ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 345

Для S2(со),

считая

Y (t) и %0(t)

нормальными и пользуясь общим

выражением (1 1 0

),

при у = 0, ум= 0

*)

получим

 

 

со

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

St (m)=z J

1Sy(o)_ioJ)ÄXo(a)l)do)14-

J

Ä№ (co—cojj^^co,)^.

(5.245)

—CO

 

 

 

 

—CO

 

 

 

 

Подставляя (245) в (244),

имеем

 

 

 

 

 

s XlИ

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

 

5 S ! / ( (° —

 

 

 

fZw2)2

|_ 4C27’2(02

(0l ) S Xo ( m l ) d w l +

 

( 1

 

 

 

 

—CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.246)

 

 

 

+

$

Sn 0(W—

 

 

 

 

 

—CO

 

 

 

 

 

Тогда дисперсия D (Xi (£)]

будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

D[Xi(f)]=

S

 

(CO) do».

 

(5.247)

 

 

 

 

 

 

—СО

 

 

 

Предоставляем читателю самостоятельно произвести расчет дис­

персии D [X i ( t)]

и убедиться в том, что D [Х і ( 0 1

D [Х о (*)]>

а также

найти корреляционный момент кШі= И Ші (0 ).

 

 

Пример 5.4. Определить математическое ожидание и диспер­

сию угла

ß (t)

поворота

поплавкового интегрирующего гиро­

скопа (ПИГ), установленного на самолете и предназначенного для определения его угла рыскания ф (t). Углы рыскания ф (t), тангажа $ (t) и крена у (t) самолета являются нормальными ста­ ционарными случайными функциями с равными нулю математи­ ческими ожиданиями и корреляционными функциями типа (2.13).

Дано: ПИГ типа 104 № 79 Массачузетского технологиче­

ского института

[68], для

которого

/ п г=0,036 Г см сек2,

Ь=20,39 Г см сек,

77=10,19

Г см сек,

к = 0,5, Т = 0 ,001766 секя*

ягЮ,0018 сек\ параметры корреляционных функций: для угла тан­

гажа

самолета

D [$] = а |= 3,04 -ІО“4

рад2,

цх=0,3

Мсек,

\=2,Ъ

Мсек-, для угла крена

D [ у] = <^=3,04-10-4

рад2,

р2=

=0,2 1/сек,

Х2 =3,5 1/сек;

для

угла рыскания

D Іф] = <£=3,04 X

Х І0- 4

рад2, уз=0,4 Мсек,

Х3= 3

Мсек.

поплавкового

гироузла,

Р е ш е н и е .

Уравнение движения

согласно (82), имеет вид

 

 

 

 

 

 

/ п. rp +

6 ß +

/7co5 (f)ß =

 

 

 

 

 

 

 

=

Яи)с (0 + 7n.Aj (0 — (JnX — 7 в) (t) o>t (*)•

(5.248)

*) Хотя в действительности Хо¥=0 [см. (213)], приближенно можно при­ нять Хо=0.

346

УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

В данной задаче, согласно (2. 38), сохраняя

слагаемые

первого

порядка, можно принять

 

 

 

 

 

 

 

 

°>s (*)«*& (0.

шч (0

Т (0>

‘ос(0» Ф (0 -

(5.249)

Подставляя (249) в (248),

получим

 

 

 

 

 

J

+ W + Hb (t) ß =

Яф (t) +

л (t) -

 

 

 

Вводя обозначения

 

- ( / И -Л)<К*)Ф(*).

(5-250)

 

 

 

 

 

 

 

 

Т = ^ ~ ,

* =

-?-,

7" * - 7, =

Гі,

(5-251)

перепишем (250) в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

Гр + ß + ё

( 0 ß = *ф (<) +

Гт (t) -

( 0 Ф(О-

(5.252)

В соответствии с обозначениями (133) имеем

 

 

 

х (0 =

Ф(0 + т т ( 0 - ^ ( 0 Ф ( 0 , 1

I

(5 253)

 

Y(t) =

b(t).

 

 

 

 

 

Тогда уравнение (252) примет вид

 

 

 

 

 

 

 

rß +

ß +

Ä T(0ß=/cX (0.

 

 

(5.254)

Для решения этого уравнения воспользуемся методом малого

параметра (§ 5.2). Введем в уравнение

(254) параметр х:

 

 

rß +

ß + xÄ:F(i)ß =

/cX(i)

 

 

(5.255)

и будем искать его решение в виде ряда по степеням параметра х,

который будем считать «малым» (хотя в

окончательных формулах

положим х = 1 ):

 

 

ß = ßo + *ßi + *2ß2 +

• • •

(5.256)

Подставляя (256) в уравнение (255) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного равенства, имеем систему уравнений для определения ß0, ßj, ß2, . .. :

0 +

ß0 =

ÄX(f),

(5.257)

r k +

^ Ä F W ß o W ,

T,p2 +

ß2 =

- ^ ( 0 ß1 (0 .

 

Определим математическое ожидание ß случайной функции ß(i). Для установившегося режима ß= const, следовательно,

ß = p r

(5.258)

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ