Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

18.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5535 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

§ 5.3]	ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ	337
£=20 м,	z= —10 м , постоянная времени маятника	Т —Мп—

=0,08 сек, относительный коэффициент затухания маятника [см.

формулу (3.48)]			С= б/2\/Jmgl = 0,5, а параметры						корреляцион
ных функций угла дифферента ф (t), угла крена								0 (t) и рыскания
tp (£) соответственно равны
о\| =	(1,5° ) 2 =	6,7 • ІО- 4		рад2,	ц1 =	0,075 1 /сек,		Хх =	0,95	1 /сек,
ojj =	(4,8°)а =	7,0 • ІО- 3		рад2,	ц, =	0,04	1 /сек,	Х, =	0,42	1/сек,
а2 =	(1,5° ) 2 — 6,7 • ІО- 4			рад2,	[а3 =	0,2	1/сек.
Р е ш е н и е .			Согласно (3.57), учитывая, что					в данном		случае
\с — ric = 'tc =		0,	рассматриваемое			уравнение колебаний ФМ имеет
вид
X +	+ »2(* + -y ) x =
	= —К [—X (Ф2 +				Ф2 +	ФФ) +	z (Ф+ фѲ+ 2срѲ)],			(5.192)
где,	согласно	(3.46), k1 = n2jg.
В соответствии с обозначениями (128) имеем
	X(t) = x (ф2 + Ф2 + ФФ) — 2						(ф + фѲ+	2фѲ),		(5.193)
	Y { t ) = x ф.									(5.194)

Учитывая эти обозначения,	уравнение (192)	может быть перепи
сано в виде
X+ 2^Х + п2	1 + — Y (0~\| X —	(0>	(5.195)

где случайные функции X (t) и Y (t) — горизонтальное и верти кальное ускорения точки подвеса ФМ соответственно.

Случайная функция X (t) выражается нелинейно через углы качки корабля, однако в большинстве прикладных задач ее можно представить в виде

X (t) яа X + Ху (і),

(5.196)

где £ = М[У (£)] — математическое ожидание функции X (t), учи тывающее линейные и нелинейные члены функции X (t)\ Х х (t) — случайная часть функции X (t), учитывающая лишь ее линейные слагаемые, причем М [Х1 (і)]=0.

Для определения х применим к (193) операцию нахождения математического ожидания

X — М [х (ф2 -f ф2 + фф) — z (ф + 0ф + 2фѲ)],

(5.197)

Легко показать, что (см. § 2.2)

М [,ф| = М [фѲ]= М [фѲ] = 0.

(5.198)

22 А. А. Свешников, С. С. Ривкин

338 УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5

По аналогии с формулами (2. 21) и (2. 30) имеем
М[Фа] =	D [ф (i)J = ftfD [ф («)],	J	Г)199)
М [ф ф ] =	(0 ) = — 6 fD IФ (0 1 - I
Подставляя (198) и (199) в (197), получим
* = м[<Р2] = XD [ф ()] =	({! + Ц) D [ 9 (0] =	хЩО [<Р (0],	(5-200)

т. е. отклонение математического ожидания случайной функции X (t) от нуля обусловлено рысканием корабля.

Для случайной функции Х г (t), согласно (196) и (193), имеем

X 1(t) = — .гф.

(5.201)

Тогда, подставляя (200) и (201) в (196), получим

X (t) г« хЩО [<р (£)] —

(5.202)

Спектральная плотность Sx (ш) случайной функции X (() при учете (2 0 2 ) имеет вид

Sx((o) = z2S$ (w) = г2и)*5ф (и>).

(5.203)

Для математического ожидания и спектральной плотности слу чайной функции Y (t) на основании (194) имеем

'£ =	М[У(*)] =	0,	(5.204)
Sy (ш) =	x2S§ (о>) =	ж2(о45ф (со).	(5.205)

Для решения уравнения (195) воспользуемся методом малого параметра (§ 5.2), введя в уравнение (195) параметр х:

X + 2 <*Х + «2[ і + * у Y (t)]X = k1X (t)

(5.206)

Будем искать решение последнего уравнения в виде ряда по степе ням параметра х, который формально будем считать малым (хотя в окончательных формулах и положим х = 1 ):

X = Хо + хХі + **Ха + ■• •

(5.207)

Подставив (207) в уравнение (206), учитывая, что n2/g=k1 [g m . (3.46) и (3.53)], и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного равенства, будем иметь систему уравнений для определения Хо> Хи Хг> • •

Хо +	2Е^Хо +	п2Хо = кіХ (0.
Ь +	2^Хі +	«2Хі = —КУ (t) Хо (0 .	(5.208)
			(5.208)

Ь + 2&*Xs + п\ ч = —K Y (t) Xi (t),

І 5.3]	ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ			339
Разделим уравнения (208) на пъ и принимая во внимание обо
значение (3.51),	перепишем их	в	виде
Т2Хо + XТ%о + Хо — кХ (t),				(5.209)
т% + 2^1'Ь + Xi =			—kY (t) Хо (0.	(5.209)
Т% + 2іТѣ + Хі = - к ¥ (t)Xl(t). .
Применяя к (207) операцию нахождения математического ожи
дания и полагая	х = 1 , получим
	Х = У.о + Хі +		%2 + • • •	(5.210)
Для нахождения Хо применим к			первому уравнению	системы
(209) операцию нахождения математического ожидания
			—	(5.211)
откуда по окончании переходного процесса получим
	X0 =	fcr.		(5.212)
Подставляя сюда (2 0 0 ), имеем
	Хо - кхЪ\ D [<р (0J =		jb lD [? (*)]•	(5.213)
Для числовых значений примера получаем
Ь\ = \|a\|-J- Х\| =	0,045 1/сек2,	Хо = 0,0615 • ІО- 3 рад =		О1,2,

т. е. величина Хо мала.

С физической точки зрения Хо обусловлено действием на маят ник центробежной силы инерции, возникающей при рыскании корабля.

Для определения Хі на основании второго уравнения системы

(209) имеем

Т% + X T Xi + Xi = —Ш I Y (t) Xo (*)]•

(5.214)

Чтобы воспользоваться этим уравнением, необходимо знать выражение для случайной функции Хо (У). Вначале определим Хі приближенно, а затем укажем точное решение. В рассматриваемом случае короткопериодного физического маятника, когда его по стоянная времени Т мала, согласно первому уравнению системы (209) приближенно можем принять

Xo( t ) ^ k X ( t ) = ± . X ( t ) ,

(5.215)

т. е. считать, как это обычно принято в прикладной гироскопии, что короткопериодный маятник мгновенно устанавливается по направлению кажущейся вертикали.

22*

340	УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ					[ГЛ. 5
Подставляя в (215) выражение (202), получим
		Хо (0	к {хЩО [<р (t)] — гф (0).			(5.216)
Для	математического		ожидания Хі		Н£> основании уравнения
(214) по окончании переходного процесса имеем
		Х1 =	_Ш [Г(г)хо(*)]-			(5-217)
Учитывая (194)		и (216),
М [У (t) Хо(01 =		М (Ажф (t) [хЪ\ D [<р (*)] — 2			$ (*)]} =	(5.218)
		=	—fcrzD [ф (t)]		— kxzb\D [ф (£)]
Подставляя (218) в (217), находим
		Xi =		-g-bJD [<!>(*)]•		(5.219)
Для условий примера
		Щ= pf +		Xf = 0,9081	1/сек2.

Согласно (219) находим

Хі = —1,147 - ІО“ 3 р а д = — 4'.

Таким образом, Хі значительно больше ХоОстановимся кратко на физическом смысле математического

ожидания Хі угла отклонения маятника от вертикали в условиях нерегулярной качки, именуемого иногда систематическим откло нением. Пользуясь (215), приближенное выражение (217) для Хі

можно представить в виде
Хі = —*2М [Y (t)X («)] = —кШух (0),	(5.220)

где R yx ( і) — взаимная корреляционная функция вертикальных и горизонтальных ускорений точки подвеса маятника при качке корабля.

Следовательно, математическое ожидание ул случайной функ ции Хі (t), характеризующее среднее значение угла отклонения маятника от вертикали, вызывается корреляционной связью вер тикальных Y (t) и горизонтальных X (t) ускорений точки подвеса маятника для одного и того же момента времени.

Числовые расчеты показывают, что при вычислении математи ческого ожидания угла отклонения ФМ в условиях качки необ ходимо в правой части уравнения (192) удерживать слагаемые второго порядка малости и учитывать случайное слагаемое Y (t), характеризующее вертикальную составляющую ускорения точки подвеса.

Составляющая Хг математического ожидания X определяется аналогичным образом из третьего уравнения системы (209).

§ 5.3] ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 341

При принятых ранее допущениях по окончании переходного

процесса имеем		(5.221)
	& = 0.	(5.221)
Расчеты	показывают, что / 3=^0,	но пренебрежимо мало по
сравнению с	и ул . Таким образом,	математическое ожидание %

случайной функции %(t) с достаточной для практики точностью

определяется двумя	первыми членами		ряда (2 1 0 ), т.	е.
	Х«*Хо +	Хі		(5.222)
или, учитывая (213)	и (219),
1 =	І 6 § D [<р (0 1 -	~	Ъ\ D [<!» ( 0 1 .	( 5 . 2 2 3 )
	Ь	ь

Для числовых данных примера имеем

Х = —3',8.

Как было указано, величина %і была определена приближенно. Найдем для нее точное выражение. Для этого представим возму щающее воздействие X (t) в виде спектрального разложения, ана

логичного (1.92):

СО

	X { t ) — x-\-			J	еш йФх (ш).					(5.224)
				—СО
Спектральная функция			ФДсо)		обладает в		силу		(1.94)	следу
ющими свойствами:
М \йФх («,)] =	М [dOl (со)] =				М [йФх (а.) сІФхК ) ]				= 0,	(5.225)
М ['йФ *	(ш )	(іФх	(o )j)]	== Sx(со) 8 (ш —			w j) dwdw^			(5.225)
М ['йФ *	(ш )	(іФх	(o )j)]	== Sx(со) 8 (ш —			w j) dwdw^
где Sx(<d) — спектральная			плотность			случайного		процесса		X (t);
8 (ю) — дельта-функция,		для	которой
СО			СО
^ 8 (ш ) (ІШ=		1 ,	^	X (со) 8		(со ---- (Oj) dco =		X (cox) .		( 5 . 2 2 6 )
— 00			— 00

Подставляя (224) в первое уравнение системы (209), получим по окончании переходного процесса стационарное решение этого

уравнения в виде

СО

Хо(0 = Хо+ S Ь(ш)еішЫ Ф » ,		(5.227)
	—00
где передаточная функция ФМ определяется выражением
L (гш)	,ѵ	(5.228)
L (гш)	1 — Тч-ш2 -I- 2£Гіео '
	1 — Тч-ш2 -I- 2£Гіео '

342 УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5

Подставляя (228) в (227), получим

Ь « = 7.+ S TtTTé + ж т ы (5.229)

— СО

Если постоянная времени Т маятника мала, то (229), учитывая (224), переходит в приближенное выражение (215).

Представив случайную функцию Y (t) также в виде спектраль ного разложения

		СО
	Y ( t ) =	j	е*'“^ Ф у(ш)	(5.230)
		— СО
и подставив (229) и (230) в (217), получим
Xl = -ÄM [y(OzoW ] =
CO	СО		£	\
S	j e- ' - w	; H	1 _ r , y ^ -2 g - O T . K ) .	(5.231)
I— СО — с о			)

Меняя порядок нахождения математического ожидания и интегри

рования и учитывая формулу (1.104), согласно которой
М	(<о) dOx ((Oj)] = S yx (<ü) S (ш — toj) da> du>lt	(5.232)

где Syx ( w) — взаимная спектральная плотность случайных функ

ций У (t) и X		(t),	получим
		Хх =	— f	1 _	Г2Ш2 + 2 CfШ S PX			du>-	(5.233)
			— СО
Для 5уя:(ш),		согласно (194)			и (202),	имеем
			SfX (аз) = —xzS§ (ш),						(5.234)
т. е. вместо (233)			будем иметь
			СО
		* . = ? ■ !		і - т Д + е т і.			w	*»•	(5-235)
При	малой постоянной				времени	Т	маятника		множитель
5	.	по модулю мало отличается от единицы							в области
1 — 12ц>2 +	ІШ
значений	<о, при которых ординаты спектральной плотности 5$ ( ч>)

имеют существенное значение. Заменив этот множитель едини цей, легко убедиться, что формула (235) переходит в (219).

§ 5.3] ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 343

Для	нахождения			точного выражения		Хі вычислим интеграл
(235). Входящая в него спектральная плотность S§ (о>), согласно
(2.15) и (2.24), имеет вид
9- I \ — 2а^ 1			6 іы4		(a?= ^ -X * ,	6 ? = iif +	Xf).	(5.236)
^ ' '	it	ш* -f- 2afio2 +
Подставляя (236)			в (235),		получим
	X Z	п	Г		0)1		d(0.	(5.237)
Xi	~gi		J	(1 —Г?0)2 + 2ifia))(о)1 + 2a\|ü)2 +

—00

Пользуясь для вычисления (237) таблицей 1.1, имеем

„ _	X Z	Ь ! [ Ь і ( 1 - 4 С Г 1і 1 - Г « Ь і ) - 4 Іі ! і Р [ ф ( 0 ]	^	2 3 8 ]
X l ~	g ( І - Т Ѣ І У + А І Т Ѣ І Ѵ + Т ^ ^ + Т ^ + Т К ^ ] ’ 1 '			>

Для числовых данных примера получим Хі = _3',79,

что мало отличается от приближенного значения Хі= —4', вычис ленного по формуле (219).

Можно показать, что с увеличением относительного коэффи циента затухания £ систематическое отклонение маятника Хі уменьшается. Вычислив по формуле (238) значения Хі для приня тых в примере исходных данных и для различных величин коэф

фициента затухания С,	получим		результаты, которые сведены
в таблицу:
С	0,5	0,707	3	5	10	20
—Хъ Угл• мин•	3,79	3,73	2,82	2,01	0,82	0,14

Отсюда следует, что применение сильно демпфированного маят ника является эффективным средством уменьшения система тических отклонений маятников-корректоров гироскопических устройств на качке [56].

Перейдем к определению дисперсии D [<[>(t) ] погрешности маятника, пользуясь системой уравнений (209). Для нахождения D ІХо (0 1 воспользуемся первым уравнением этой системы

	Т21о + Х Т ѣ + Хо = кХ(і).		(5.239)
Принимая во	внимание	лишь линейные слагаемые	функции
X (t) [см. (201)],	перепишем (239) в виде
	■т%, +	+ Хо = —Щ (О-	(5.240)

344

У РАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

Мы пришли к уравнению типа (4.494) колебаний маятникового кренометра на качке, движение которого было рассмотрено в при мере 4.7. Поэтому для определения дисперсии D [хо (01 решения уравнения (240) можно воспользоваться непосредственно выраже нием (4.504), если в нем заменить b на Ьѵ ц на и D [Ѳ (t)] на D [ф (t) ]; имеем

Ь22 2	(ь? + \|г ) о И(0 ]
D [Хо (0] = £г! (1 _	ТѢ\)Ъ + 4 [Т‘К Ѣ \ + Г щ (С + 7> j) + Г зС р іб ? ] ' ( 5 ' 2 4 1 )
Подстановка в (241) числовых данных		примера дает
	D [ X o (01 = 17,48-10-*	рад\

среднее квадратическое значение ошибки

0 ^ = 4,181 • ІО' 2 рад = 2°, 4.

Определим дисперсию D ІХі(01 следующего приближения. Для этого воспользуемся вторым уравнением системы (209)

Т% + 2СГХі + Хі = - kY (t) Хо (t).

(5.242)

Вопрос об определении дисперсии D ІХі (01 рассмотрен в § 5.2, где получены общие соотношения (105) и (106). При этом было указано, что для расчета D [х (01 достаточно ограничиться первым приближением. Применительно к маятнику это означает, что можно принять

D (х (01 D [хо (0Ь

т. е. при определении D [х (01 можно исходить из дифференци ального уравнения маятника, в котором отброшены слагаемые второго порядка малости, входящие в горизонтальное ускоре ние X (0 [см. (194)], а также отброшены в уравнении маятника члены второго порядка, обусловленные вертикальным ускоре нием У (t).

Поэтому, пользуясь уравнением (242), ограничимся общими соображениями об определении дисперсии D [хг (01 ■ Обозначим

Z ( t ) = - Y ( t ) lo {t),

(5.243)

тогда спектральная плотность SXl (ю) случайной функции Хг (0> согласно (242), будет выражаться формулой

Ѵ « > = I£ <-> I2 М = Ті	(5.244)

§ 5.3] ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 345

Для S2(со),	считая		Y (t) и %0(t)			нормальными и пользуясь общим
выражением (1 1 0		),	при у = 0, ум= 0				*)	получим
со						со
St (m)=z J	1Sy(o)_ioJ)ÄXo(a)l)do)14-					J	Ä№ (co—cojj^^co,)^.			(5.245)
—CO					—CO
Подставляя (245) в (244),				имеем
s XlИ		№			CO
		№			5 S ! / ( (° —
	fZw2)2		\|_ 4C27’2(02		5 S ! / ( (° —			(0l ) S Xo ( m l ) d w l +
( 1					—CO
				CO	—CO
				CO						(5.246)
			+	$	Sn 0(W—					(5.246)
			—CO
Тогда дисперсия D (Xi (£)]					будет
						СО
			D[Xi(f)]=			S		(CO) do».		(5.247)
						—СО
Предоставляем читателю самостоятельно произвести расчет дис
персии D [X i ( t)]		и убедиться в том, что D [Х і ( 0 1							D [Х о (*)]>	а также
найти корреляционный момент кШі= И Ші (0 ).
Пример 5.4. Определить математическое ожидание и диспер
сию угла	ß (t)	поворота		поплавкового интегрирующего гиро

скопа (ПИГ), установленного на самолете и предназначенного для определения его угла рыскания ф (t). Углы рыскания ф (t), тангажа $ (t) и крена у (t) самолета являются нормальными ста ционарными случайными функциями с равными нулю математи ческими ожиданиями и корреляционными функциями типа (2.13).

Дано: ПИГ типа 104 № 79 Массачузетского технологиче

ского института	[68], для	которого	/ п г=0,036 Г см сек2,
Ь=20,39 Г см сек,	77=10,19	Г см сек,	к = 0,5, Т = 0 ,001766 секя*

ягЮ,0018 сек\ параметры корреляционных функций: для угла тан


гажа	самолета		D [$] = а \|= 3,04 -ІО“4			рад2,	цх=0,3		Мсек,
\=2,Ъ	Мсек-, для угла крена				D [ у] = <^=3,04-10-4			рад2,	р2=
=0,2 1/сек,		Х2 =3,5 1/сек;		для	угла рыскания		D Іф] = <£=3,04 X
Х І0- 4	рад2, уз=0,4 Мсек,			Х3= 3	Мсек.	поплавкового		гироузла,
Р е ш е н и е .			Уравнение движения
согласно (82), имеет вид
/ п. rp +	6 ß +	/7co5 (f)ß =
	=	Яи)с (0 + 7n.Aj (0 — (JnX — 7 в) (t) o>t (*)•						(5.248)

*) Хотя в действительности Хо¥=0 [см. (213)], приближенно можно при нять Хо=0.

346	УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ								[ГЛ. 5
В данной задаче, согласно (2. 38), сохраняя							слагаемые		первого
порядка, можно принять
	°>s ()«& (0.		шч (0	Т (0>		‘ос(0» Ф (0 -			(5.249)
Подставляя (249) в (248),			получим
J	+ W + Hb (t) ß =	Яф (t) +		л (t) -
Вводя обозначения				- ( / И -Л)<К)Ф().					(5-250)
Вводя обозначения
	Т = ^ ~ ,		* =	-?-,	7" * - 7, =		Гі,		(5-251)
перепишем (250) в виде
	Гр + ß + ё	( 0 ß = *ф (<) +			Гт (t) -		( 0 Ф(О-		(5.252)
В соответствии с обозначениями (133) имеем
	х (0 =	Ф(0 + т т ( 0 - ^ ( 0 Ф ( 0 , 1						I	(5 253)
	Y(t) =	b(t).						I
Тогда уравнение (252) примет вид
		rß +	ß +	Ä T(0ß=/cX (0.					(5.254)
Для решения этого уравнения воспользуемся методом малого
параметра (§ 5.2). Введем в уравнение						(254) параметр х:
	rß +		ß + xÄ:F(i)ß =			/cX(i)			(5.255)
и будем искать его решение в виде ряда по степеням параметра х,

который будем считать «малым» (хотя в	окончательных формулах
положим х = 1 ):
ß = ßo + ßi + 2ß2 +	• • •	(5.256)

Подставляя (256) в уравнение (255) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного равенства, имеем систему уравнений для определения ß0, ßj, ß2, . .. :

rß0 +	ß0 =	ÄX(f),	(5.257)
r k +	^ Ä F W ß o W ,		(5.257)
T,p2 +	ß2 =	- ^ ( 0 ß1 (0 .

Определим математическое ожидание ß случайной функции ß(i). Для установившегося режима ß= const, следовательно,

ß = p r

(5.258)

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5535 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ