Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

18.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 5534 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

§ 5.2]	У Р А В Н Е Н И Я , С О Д Е РЖ А Щ И Е С Л У Ч А Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И И				327
С учетом (126) интегрирование в			(130) может быть выполнено,
и мы получим
Х(0 = ^	[і -	е & (cos п VI“ , t +	sin и \/Г	•С27	(5.132)
Второе приближение в соответствии с (131) и				(128)	дает по

правку, пропорциональную произведению xz. Эта поправка яв ляется существенной. Поправка к (131) за счет перехода к третьему приближению оказывается незначительной. Также несуществен ной в этой задаче является и поправка к дисперсии %(t), связанная с переходом от формулы (123), учитывающей только линейные члены в выражении для X (7), к формуле (128).

4. Поплавковый интегрирующий гироскоп. В качестве второго примера рассмотрим уравнение поплавкового интегрирующего гироскопа (82). Спецификой этого уравнения является то, что, в отличие от уравнения ((8 6 ), в котором в соответствии с (92) слу чайная функция является малой сравнительно с постоянной, вхо дящей в коэффициент А г (t), в уравнении (82) случайным является весь ^коэффициент у искомой переменной ß (t). Однако и в этом случае метод малого параметра оказывается применимым, по

скольку все произведение			(t) • ß (t) в данной задаче можно рас
сматривать	как малую величину. Итак, обозначив
x ( t ) = - r -		[#CDc (t) -j- / п>rCi)^ (t) - ( Л « - Л Н ( ‘К (* )]’		(5.133)
JИ.
7 (0 = /	тт.	“eW. « 1 = 7 ^ - .
J		J	и . г
уравнение	(82) можно переписать в виде
		ß + «iß + *Y (t) ß — X (t),		(5.134)

где вспомогательный параметр х будем считать «малой величиной первого порядка», хотя в окончательных формулах положим х = 1 .

Приняв, как обычно,
ß (0 — ßo (0 +		xßi (0 + х2Рг (0 + • • •	(5.135)
и решая уравнения,	определяющие ß0 (t), ß ^ ) , . . .,		будем иметь
(считаем начальные	условия	нулевыми)
ß0 (t) = e-“‘l j		(т) dr = j e-^t-^X (т) d t,	(5-136)

ио

ßiW = ~ S ^ ' ^ ß o ( T ) F ( x ) dr,

(5.137)

328 УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5

что	после интегрирования	по t даст для функций ß . (t)				выраже
ния,	не отличающиеся по фбрме от решения			(1 0 0 ),	т. е.
		t
	ß(*) =	J l(t,	z)X(x)dx,			(5.138)
		О
где
	l(t,	t) = 2	lj(t, t),			(5.139)
		3—0
lj (t, x) определяются рекуррентными соотношениями (99), а
	l0(t, z) = l0( t - x ) = ±			.	[	(5.140)

В рассматриваемом ГУ измеряемой величиной является инте грал от правой части равенства (133). Следовательно, интерес представляют не моменты случайной функции ß (t), а моменты ошибки ГУ е (t), определяемой равенством

e ( 0 = ß W - i r S X (t ) d x -	( 5 Л 4 1 )
о
Подставляя сюда ß(£) из (138), получим
t
e (f)= J [z (i, T )-i-]x (T )d x .	(5.142)

Последняя формула позволяет определить е (і ) и D [е (£)] так же, как это было показано выше для физического маятника, при замене

l(t, т)	на (t, і)----i - j .	Отличие заключается	только	в том,	что
в данной задаче, если учитывать в (133) нелинейные члены, X ^					0,
что несколько усложняет расчеты (см. пример 5.4).
5.	Гировертикаль. Наконец, в качестве последнего примера
рассмотрим уравнение (84) для ГВ, корректируемой от сильно за-
демпфированного маятника. Обозначив
		а, = -		(5.143)
		М. 3		(5.143)
		1
это уравнение можно переписать в виде
Р +	«і[1+Г()]Р +	аЛ І+* У (0]Р =	■ X ( t ) ,	(5.144)

§ 5.2] У РАВНЕНИ Я , СОДЕРЖАЩ ИЕ СЛУЧАЙНЫ Е ФУНКЦИИ 329

где Y (t) и X (t) выражаются через угол дифферента корабля ф (t) формулами (85).

Особенность уравнения (144) заключается в том, что случайная функция Y (t) входит в оба коэффициента уравнения. Поэтому вы веденные выше общие формулы для уравнения типа (8 6 ) в данном случае неприемлемы, хотя функцию Y (t), исходя из физических соображений, можно считать «малой», и следовательно, примене ние метода малого параметра возможно и в этом случае. Для вы вода необходимых формул будем считать условно коэффициент к

в уравнении (144) малым	(что эквивалентно	предположению
о малости произведения k Y	(t)) и будем искать	решение в виде
ряда
ß (0 — ßo (0 +	^ßi 00 + &2ß2 (0 + • • •	(5. 145)

Подставляя (145) в (144) и последовательно приравнивая слагае мые в левой и правой части равенства, имеющие множителями коэффициент к в одинаковых степенях, получим

Po +	ß iß o +	®2ß o --	j % (t),
ßl +	ßlßl +	a2ßl =	-- Y {t) («ißo +	a2ßo)>	(5.146)
ß2 +	ЯіР2 +	a$2 =	— Y {t) (^lßl +	ß2ßl)>	(5.146)
ßy +	«ißy+	«2ßy =	— Y (t) {aßj^ + a2ßy_i),

Полученная система рекуррентных уравнений отличается от си стемы (94) только правыми частями равенств. Поэтому ее решение в принципе не отличается от решения системы (94). Решая первое уравнение системы, получим (считаем начальные условия нуле выми)

(5.147)

где 10 (z) определяется (95). Подставляя (147) во второе уравнение системы (146), получим после простых преобразований

	t
ßi (t) = j r ^ Y	\ l[ (t , z) X (t) dz,	(5.148)
* M . 3 *	J
	0

где импульсная переходная функция l[ (t, т) будет отличаться от импульсной переходной функции (t, z), определяемой равен ством (97).

330	УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ		[ГЛ. 5
Простые преобразования дают,		что в данном случае
l[(t,	і	а2/0 (т1— x)l Y(ij)dxv
l[(t,	х )= — [ Z0(f — ХХ) [ві/0(Xj — т) +	а2/0 (т1— x)l Y(ij)dxv	(5.149)
	T

Аналогичным образом может быть получена и общая рекуррент ная формула, связывающая импульсные переходные функции l'j (t, х) и z;_! (t, т), которая будет несколько сложнее формулы (99).

Подставляя решение /-го	уравнения системы (146),	записанного
в виде	t
	t
=	T) Z (x) dx’	(5-150)
	о

в формулу (145), получим возможность записать решение уравне ния (144) в виде

	t
Р (t) =	\ V (t, х) X (X) dx,	(5.151)
м. з	0
где
со
'(,)= 2 Ä'M. X).		(5.152)
У=о	^

Разумеется, решение (151)-имеет смысл только в том случае, когда ряд (145) сходится. Общее доказательство сходимости ряда и в этом случае представляет существенные трудности, од нако обычно довольствуются только установлением факта доста точно быстрого убывания поправок к моментам ординат случайной функции ß (t), получаемым при переходе к следующим приближе ниям, т. е. используют рекомендации, относящиеся к применению метода малого параметра в задачах, не имеющих вероятностной природы [81]. Дальнейший порядок вычислений моментов ординат ß (t) не отличается от порядка вычисления моментов ординат а (t) решения уравнения (8 6 ), рассмотренного выше.

§ 5.3. Примеры на исследование ГУ, описываемых линейными дифференциальными уравнениями

со случайными коэффициентами1

1. Гироскопические устройства, характеризующиеся линей ными уравнениями, коэффициенты которых являются случай ными величинами. Рассмотрим несколько примеров применения общих формул § 5.1 к исследованию динамики ГУ, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, у которых коэф фициенты являются случайными величинами.

§ 5.31	ГІРИМЕРЫ НА	ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ		331
Пример	5.1. Определить	математическое	ожидание ä(t)	и
дисперсию	D [а (<) ] азимутального ухода оси		авиационного	ГН

вследствие статической неуравновешенности гироскопа, если вер

тикальное ускорение W	(t) центра тяжести самолета является ста
ционарной случайной функцией времени,
©,(<) =	(),			(5.153)
К„у (t) —	1т I (cos Xi -f у- sin X) т \|),			(5.154)
где		jj. = 0,7 1 /сек,	Х= 6 1 /сек.
= 12 • ІО3 см2/сек*,
Кинетический момент Н и смещение Іг центра тяжести гиро
скопа являются независимыми случайными величинами;				h = H 0=
=4000 Г см сек (расчетное		значение); lz= 0;	аА=13 Г	см сек;

оіж= 3 *ІО- 4 см. Вес ротора гироскопа Р=450 Г; время работы при бора 1=60 мин.

Р е ш е н и е . Уравнение прецессионного движения оси гиро скопа в азимуте при наличии статической неуравновешенности

ротора определяется формулой (2) (cos ß0«H,						W = W
			&= Et t {1 + 7		w »)-	(5Л55)
Положив в соответствии с (61) и (62)
			в = ^ - , X(t) = l + ±		w 9(t),	(5.156)
уравнение		(155)	можно переписать в виде (12), т. е.
			&= BX(t).			(5.157)
Так	как	7г = 0,	то из (156)	следует,	что 6 =	0 и согласно (157)
а =	0 ; поэтому при а (0 ) = 0			имеем
				S(f) = 0.		(5.158)

Следовательно, при усреднении показаний ряда ГН не возни

кает	систематическое	отклонение		в азимуте (см. пример 4. 3).
Согласно формуле (67)			имеем
	D Г* (*)] =	£	(і +	°l) {D [У № + l2},	(5.159)
где	на основании (14)

(5.160)

F ( i) = J X ( i1) * 1.

332	УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	[ГЛ. 5
	Согласно (1.89) для дисперсии 0[У(£)] имеем
	t	(5.161)
	D [yW ] = 2 j( « - t)^ ( T )d x ,	(5.161)
	О
где	в соответствии с (156) и (154)
	^*(т) = '^ - еН1\|1\|(сачХт + Т sin XIтl).	(5.162)
	^*(т) = '^ - еН1\|1\|(сачХт + Т sin XIтl).

Так как 1/ц = 1/0,7=1,43 сек мало по сравнению с временем работы прибора ^=3600 сек, то верхний предел в интеграле (161) можно положить равным бесконечности, т. е. написать

D [Г (t)] = 2t 5 Кх (т) dx = 2izSx (0) t,	(5.163)
о

где переход. от корреляционной функции к спектральной плот ности совершен на основании общей формулы (1. 96).

Учитывая формулы (162), (1. 125) и (1. 126), вместо (163) по лучим

=		(5ЛМ)
Подставляя (164) в (159), для дисперсии D[a(t)] имеем
4	а\ Р	(5.165)
D K *)] = - f ( ! + ) Й Н a‘l	р 2 _)_ 1 2 ~Ь t) t.	(5.165)
Принимая во внимание числовые значения примера, находим
D [a (t)] — 14,77 • ІО' 3	рад2.

Среднее квадратическое значение ошибки ГН будет

aa = \/D[a(£)] =0,1215 p a d ' l l 0.

В связи с большим значением оа установленный на самолете ГН следует периодически корректировать, например, от магнит ного или иного компаса. Дискретность коррекции по времени может быть установлена по формуле (165), исходя из допустимой дисперсии ухода оси ГН.

Пример 5.2. Определить математическое ожидание и диспер сию ошибки авиационной гировертикали, основанной на исполь зовании трехстепенного астатического гироскопа с маятниковой

коррекцией, имеющей линейную характеристику.	Отклонение
X (t) маятника-корректора относительно вертикали,	вызываемое

§ 5.3 3

ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

333

колебаниями самолета, является стационарной случайной функ цией со следующими характеристиками:

X —	М Гх (/)! = о,	(5.160)
А'х(т) — a\|e-HT\|(cos Хт + f- sin X\| х \|^,		(б.167)

где

а2у; = (1° ) 2 = (0,0174)2 рад2, ц — 0,2 1/сек, А= 3,51(сек.

Моменты сил трения в осях подвеса ГВ можно не учитывать и в качестве уравнения движения ГВ по координате а взять урав

нение (3) (хі=Х» л^*=(?«:= 0 ). т- е-
Tâ.-\-a. = x (t),	(5.106)
где постоянная времени Т системы коррекции	определяется со
отношением (4)
Т = 4 - ;	(5.169)

S — крутизна характеристики коррекции.

Вследствие производственных погрешностей и изменения усло вий эксплуатации прибора Н и S являются независимыми нор мальными случайными величинами с заданными математическими

ожиданиями и средними квадратическими отклонениями:						h= H 0=
=2100 Г см сек,	°h= l	Г см сек, 3=105 Г см/рад, ав=0,35 Г смірад.
Р е ш е н и е .	Приведем уравнение				(168) к общему виду (20)
где		а -)- А га — ВХ (t),				(5.170)
где					S
		А	П	1	S	(5.171)
		1	-- D -- т ---		Ң 1	(5.171)
			Х ()=/()■			(5.172)
	формулами (69)			имеем
		т	s			(5.173)
						(5.173)
	ЗІ = 0 1 =		— ( 1 +	ДІ- \ а 2 + —		(5.174)
			hl \ ^ Я2 ) 8 т Я* k
	&ахЬ	a(V				(5.175)
Для определения математического ожидания азимутального
ухода а (£) оси ГН воспользуемся выражением (70) [а (0) =						0]
	â (t) =	Бу (t) — з\ух (t) +			у af>y2 (t),	(5.176)

334

УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

где согласно (31) и (30)

у (t) =

^ е~а^ х (t — х) dx,

(5.177)

Уі (/) =

I е~“‘тхх (t — х) dx,

у2(t) =

I e~ü^x%x{t—x)dx.

Так как по условию примера X (t) — %(t) = 0,

то

9(*) = Уі {*) = уЛі) = °

(5.178)

и,

следовательно, на основании (176)

(5.179)

Для

определения дисперсии

D [ a ( i ) L

согласно формуле (71),

имеем

[ « ( * ) ]

K y {t, t) + a \ [ K 9 (t,

t) +

y 2 (t) +

b2K

yi{t,

t ) + b 2y 2 (t)-~

— A 5 R „ t(t, t ) ~ 2 b y ( t ) g 1(t)-\-b2R yy,(t,

*)].

(5.180)

Принимая во внимание (178) и учитывая,

что К

у (t,

t)— D

[ У (t)],

yi(t, f) = D L3^i(if)3 перепишем выражение

(180)

в виде

D [ « it) ] =

В Ю [ Y (* )] + öS ( D [Y ( 0 ] +

+ b2D \ Y , { t ) ] - b b R yyi{t,

t) +

b \ R yy,(t,

t)),

(5.181)

причем,

согласно (30),

Y (t) =

е ~ * * Х (t —

x) dx,

(5.182)

Y x (t) ~

e_a'TtX (t —

x )

dx,

Y 2 ( t) = J e ^ x 2X (t - x) dx.

5 5.3]

ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

335

Входящая в (181) дисперсия D[F(f)] определяется выражением

(32), т. е.

t t

D[F;(i)l = S 5 e-3‘ (T‘+Tj)^ (t2 — xt) dxjdtj.

(5.183)

0 0

Аналогично для дисперсии D fFj^)],		учитывая (182),	получим
t	t
D [Fj (*)] = j	J e~5<(’i+'*) x jx ^	(x2 — xx) dx^x,.	(5.184)

о 0

Наконец, для определения взаимных корреляционных функций Лт (t, t) и ЯуУі (t, t), перемножая правые части (182) и находя ма тематическое ожидание результата, учитывая при этом (178), имеем

					t	t
	Е УУі (*.	0	=	5	5	e ~ä ' (Tl+T,)X2 ^			(X2 —	Xl)
				о	о						(5.185)
					t	t					(5.185)
					t	t
	R y y , (0	0	=	5	5	е”“‘ (Т‘+Ті)І ^			(Т2 —	Xl)
				о		о
Вводя	новые	переменные					интегрирования т2 — х: =				т и xt -f-
-j-x2 = S,	интеграл (183)					можно представить в виде
						t	>lt-г
	D [F(i)] = S ^ 5							e-ätd$jKx (z)fc.			(5.186)
Так как t^>i/äv		то приближенно имеем
								00
			D[F(*)] =				i $ e - ^ ( x ) d x .				(5.187)
Учитывая (172), (167)				и выполняя интегрирование, получим
		D[F(<)] =					аХ	Ч +	2р		(5.188)
							Ч	(Ч + fO2 + -2

Вычисляя аналогичным образом интегралы (184) и (185), по лучим

DIM *)]:	°Х	Ч + 2р.		.	°х	®і + 5аг(х + Зр.2 — X2 ,	(5.189)
: Щ (Ч +			Р)2 +	^ Щ		[(«I + Р)2 + ^ J2
Я It	А _	_!l	Ді +	4дfix +		4aiP2 +	(5.1 ПО)
'Ѵ*'1'	’	2 в?		( ( « 1	+ р)2 + X2 ] 2
		П

336	УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ		[ГЛ. 5
Сопоставление формул (185) показывает,		что
	і) = -	>) ■	(5ЛГ\|1>

Подставляя числовые значения примера в формулы (173) и (174), находим

äj = Б = = 0,05 1 /сек, ^ = ^ = 5,55 ■10~8 1/сек2.

По формулам (188), (189), (190) и (191) определяем величины

D |T(f)] = 0,221 • ІО"3 сек2,

D [7 (f)] = 3,95	• ІО"2	сек*,
Ryy, = 9,88	• ІО- 4	сек3,
RyPi = 3,95 • ІО-2		сек2.
Подставляя вычисленные значения Ъ, а\,			D[7(f)], D [7 1 (f)J,
R yy,, Ryy, в формулу (181), находим величину			дисперсии D[a(i)\|
отклонения оси гироскопа от вертикали
D [а (f)] = 0,553	• ІО" 6	рад2,

откуда для среднего квадратического значения имеем

aa = \/D[a(f)] = 0,744 • І0~3рад = 2,7 угл. мин.

Из приведенного расчета следует, что оя = const, т. е. вслед ствие наличия маятниковой коррекции ошибки ГВ из-за отклоне ния его параметров от расчетного значения не растут со временем. Величина самой ошибки для авиационной ГВ незначительна. Этот вывод принципиально отличается от полученного в примере

5.1для ГН, у которого отсутствует коррекция в азимуте.

2.Гироскопические устройства, характеризующиеся линей ными дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых являются случайными функциями. Приведем несколько примеров применения общих формул § 5.2 к исследованию точности ГУ, дви жение которых характеризуется линейными дифференциальными уравнениями с коэффициентами, являющимися случайными функ циями времени.

Пример 5.3. Определить математическое ожидание ошибки ФМ, плоскость качания которого совпадает с диаметральной пло скостью корабля, если орбитальное движение корабля можно не учитывать. Углы качки и рыскания корабля являются нормаль ными стационарными случайными функциями времени с равными нулю математическими ожиданиями, а корреляционные функции имеют вид (2. 13).

Дано,	что маятник	установлен в	диаметральной	плоскости
в точке с	координатами	(относительно	центра тяжести	корабля)

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 5534 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ