Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

18.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 5532 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

I 5.13	УРАВНЕНИЙ,	СОДЕРЖАЩИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ	307
	*г) и	*г). получим

* /

sin ѵит1 sin v0t,Ä 't (£ — тр £ — t0)

о о

e 2 X (t — z) (v0t cos VqT— sin ѵ()т) dz -f-

t t

X ( t	---- Xl) X ( t ---- X2) s i n	V0X1 ( V0X2 C0S V0X2 ----
	— sin ѵ()т2) dz^dz^,		(5.47)
В этом случае первое	слагаемое в (47)	даст дисперсию	а. (t),

вызванную случайным характером правой части уравнения, а ос тальные члены суммы дают дисперсию, вызываемую случайным характером коэффициентов уравнения. Следовательно, в линейном приближении влияние на а (t) разброса коэффициентов уравнения и случайного характера правой части уравнения можно рассматри вать отдельно, а затем получающиеся при таком рассмотрении дисперсии нужно сложить для нахождения окончательного выра жения для дисперсии a.{t).

Таким образом, для уравнений первого и второго порядка возможно получить разложение моментов решений этих уравнений по моментам случайных величин, входящих в коэффициенты левых частей уравнений, если написать явное выражение решения через коэффициенты уравнений, а затем произвести разложение этого выражения по степеням отклонений случайных величин от их математических ожиданий.

4. Уравнения, порядок которых выше второго. В том случае, когда порядок уравнения выше второго, общее выражение для его решения не удается записать в явном виде, так как для нахождения импульсной переходной функции I ( т) в соответствии с форму лой (1. 78) необходимо знать корни s . характеристического уравне ния, которые для уравнений более высокой степени, чем вторая, не могут быть выражены явно через коэффициенты уравнения *). Однако приведенное выше разложение решения по степеням откло нений от математических ожиданий случайных величин, входя щих в левую часть уравнения, может быть положено в основу

*) Для уравнения третьей степени, хотя такое выражение и может быть написано, но формулы принимают слишком громоздкий вид.

20*

308

У Р А В Н Е Н И Я ГУ СО С Л У Ч А Й Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А М И

[ГЛ. 5

получения приближенных формул и в этом случае. Один] из »мето дов, основанный на использовании подобных разложений, был разработан Б. Г. Доступовым [25] и заключается в следующем.

Пусть решение а некоторого уравнения зависит от независимых случайных величин Ѵу, F2, . . ., Ѵт, входящих в левую часть уравнения (или системы уравнений), где т может отличаться от порядка рассматриваемого уравнения. В этом случае решение уравнения, кроме аргумента t, будет зависеть от значений слу чайных величин, как от параметров, т. е. можно написать

a = a (t; 1Д, Ѵ'2, . . . . V J .

(5 .4 8 )

Если отклонения (V.—ѵ.) являются физически малыми вели

чинами, как это обычно и имеет место в конкретных задачах, то, разложив функцию а по степеням этих малых величин и ограничи ваясь только линейной частью разложения, получим

а (t; V v Ѵ 2, . . ., F J = а (t; v v v , , . . ., v j +
da (t )
+2 dvj	-i'	(5.49)
y=i

где через d a ( t ) / d V j обозначена производная от а по параметру Vj,

в которой после выполнения дифференцирования все случайные величины V ■заменены их математическими ожиданиями гь.

Из (49) следует, что (считаем случайные величины V ■взаимно независимыми)

		vv V. »		• • •’	Vm}i
Ки(^3’	да (tj)		да (t2)		_2
Ки(^3’	—	dVj		дь-j	° V
	j= 1
	)	«ч.	■	R .
		4SI	■	R .
	I	4SI	J	1
	I	<•».	J	1
	J= 1

(5 .5 0 )

(5 .5 1 )

(5 .5 2 )

Таким образом, для определения первых двух моментов ординат случайной функции а (t) достаточно располагать значениями част ных производных да (t)jdvj, а еще лучше — значением произведе

ний этих производных на а,.,		т. е. значениями	ОѴj	а... Для по-
лучения	У			J
	этих произведений	удобен следующий прием. Заменим
в исходном дифференциальном уравнении одну из				случайных ве
личин Vj	суммой (Vj + kjOCj),	где kj — пока произвольное число,

а все остальные случайные величины заменим их математическими ожиданиями. Полученное решение этого уравнения <Ху в соответ

ствии с (48) можно представить в виде a .(t)=a(t; vlt ѵ2, . . . , V j _ lt

§ 5.i 1 УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 309

V j + k j a t j , VJ + 1 ,	. . . , v j . Разложив				это решение по степеням к ^ Ѵ}.
и ограничиваясь при этом только					первыми степенями этого		пара
метра, получим						да (/)
						да (/)	(5.53)
						дѵ 4 kJaT	(5.53)
						дѵ 4 kJaT
Следовательно, искомая производная определяется равенством
	da(t)	_	_	aj { t ) — â{t)			(5.54)
	дѵj	a>>j			k j		(5.54)
	дѵj	a>>j			k j
где в соответствии с (50) a(t;				vlt . . .,		vm) заменено на a (t).
Подстановка	(54), например,			в (52)		дает
	Dfa ( 0 1	=			а -( t) — а (г)		(5.55)
	Dfa ( 0 1	=	2			к,	(5.55)

Таким образом, мы получаем следующую схему определения дисперсии решения уравнения: исходное уравнение должно быть решено (пг+1 ) раз — первый раз при замене всех случайных ве личин их математическими ожиданиями, остальные гп раз — при замене /-й случайной величины на v .-\-kj^Vj, а остальных случай

ных величин — их математическими ожиданиями. Результат пер вого решения дает <х(t), остальные решения позволяют вычислить D [ а (t) ] по формуле (55) (и по аналогичной формуле для Ка (tv t2)).

В формулу (54) входит неопределенная постоянная^., от значения

которой, по смыслу решаемой задачи, не должна зависеть левая часть этой формулы. Поэтому при выборе &. нужно руководство

ваться следующим правилом: эти постоянные должны быть вы браны настолько малыми, чтобы отношение (54) действительно не зависело от их значений. Очевидно, что чем меньше будут к . ,

тем меньше будет зависеть (54) от значений этих постоянных, так как полученные выше формулы имеют в своей основе при ближенную формулу (53), которая тем более точна, чем меньше к . ш

С другой стороны, очень малые значения &. являются нежелатель

ными, поскольку в окончательную формулу (55) входят разности (£)—ä (t), которые при малых к . будут также малы, и следо

вательно, для получения достаточной точности необходимо реше ния уравнения находить с большой точностью. Поэтому значения /с.

обычно выбираются путем проб таким образом, чтобы согласовать эти два противоречивых требования. Сам расчет особенно удобно проводить на цифровой вычислительной машине, так как, набрав на машине исследуемое уравнение, нужно получить ряд его ре шений при изменении только некоторых его коэффициентов, что легко реализуется.

310

У Р А В Н Е Н И Я ГУ СО С Л У Ч А Й Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И ЕН ТА М И

[ГЛ . 5

Рассмотренная выше схема расчета позволяет учесть в разло жении (49) только линейные члены. Путем усложнения схемы можно учесть и следующие слагаемые ряда Тейлора [25].

Кроме рассмотренного выше способа учета случайного харак тера коэффициентов уравнения возможно получение разложения решения а (£; Ѵг, Ѵ2, . . ., Ѵт) по степеням ( V ѵ}) путем приме

нения метода малого параметра, сущность которого заключается в том, что решение ищется в виде ряда по степеням «малых» откло нений (Vj —ѵ), коэффициентами которого являются функции

времени, не зависящие от случайных величин V ■и определяемые таким образом, чтобы при подстановке этого ряда в исходное урав нение последовательно обращались бы в нуль члены одного по рядка малости. В этом случае определение коэффициентов иско мого ряда сводится к решению рекуррентных дифференциальных уравнений, в правую часть каждого из которых входят только функции, определенные путем решения предыдущих уравнений.

Рассмотрим применение метода малого параметра в простей шем случае, когда исходное дифференциальное уравнение со держит одну случайную величину V, входящую в левую часть уравнения линейным образом, т. е. случай, когда уравнение может быть представлено в виде

	[L (р) +	{V — V) Q (/?)] а (t)=X (t),		(5.56)
где L (р) и Q (р) — полиномы с постоянными коэффициентами
оператора дифференцирования p = dldt, не содержащие				случай
ных величин;	X (t) — случайная функция с известными			харак
теристиками,	не зависящая от случайной величины V, а начальные
условия для	простоты будем считать нулевыми. В		соответствии
с общей идеей будем искать решение в виде
а (t) = а0 (t) +		(t) (F — ѵ) + а2 (f) (F — ^ ) 2 +	• ■•	(5.57)

Подставляя (57) в (56), приравнивая правой части уравнения сла гаемые, не содержащие разности (V—г?), и приравнивая нулю сла гаемые, содержащие эту разность в первой степени, во второй степени и т. п., получим систему линейных дифференциальных урав нений с постоянными коэффициентами

L (Р) а о (t) = х (0.

L {р) et] (t) = —Q (р) а0 (t),

(5 .5 8 )

L (р) а.. (t) = — Q (р) ay_t (t),

§ 5.1]

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ЗИ

Решение первого из этих уравнений может быть явно выражено через X (t) по формуле

t
a0( t ) = \ l ( T ) X ( t - z ) d r .	(5.59)
О
Подставляя (59) во второе уравнение системы (58), получим
возможность выразить через X (t) функцию	(t) и т. д.

Таким образом, все функции а (t) линейно выражаются через

правую часть исходного уравнения X (t), и следовательно, мо менты ординат этих функций могут быть выражены через моменты ординат функции X (t) того же порядка.

Возвращаясь к (57), замечаем, что любые моменты а (t) просто выражаются через моменты случайной величины V и моменты орди нат случайных функций а . (t). Например, для математического

ожидания и дисперсии имеем (считаем V не зависящей от X (t))

ÄW = äo( 0 + «2 (*)a2 + - ••>		I
D [a (i)l = D К (t)] + {D [aj («)] + к	(t)f +	(5.60)
+	{t, t)} D [H] +	• • • j

Итак, задача определения моментов решения исходного урав нения формально решена. Для того чтобы полученные таким об разом окончательные формулы можно было бы действительно счи тать решением рассматриваемой задачи, необходимо не только убедиться, что все используемые при этом разложения в ряды являются сходящимися, но и оценить величину остаточного члена при сохранении в ряде нескольких первых его членов. Доказа тельство сходимости этих рядов обычно бывает связано с суще ственными теоретическими трудностями, однако при применении метода малого параметра обычно довольствуются тем, что убеж даются в достаточно быстром убывании величины слагаемых в окон чательных формулах, например, в формулах типа (60).

5. Гироскоп направления. Рассмотрим применение выведен ных выше общих формул к исследованию отдельных ГУ.

Начнем с рассмотрения азимутального ухода ГН, описы ваемого уравнением (2). Это уравнение типа (12), где положим

(3(0) = 0 ,

в = ^ ,	(5.61)
X ( 0 = l + y W 5 (i).	(5.62)

Будем считать кинетический момент Н и смещение центра тяжести Іг гироскопа независимыми случайными величинами. Допуская

312	У Р А В Н Е Н И Я ГУ СО С Л У Ч А Й Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А М И		[ГЛ. 5
линеаризацию (61) относительно отклонения (Н —К) и учитывая,
что	М [Іг1=0, получим
	4 = 0 ,	=	(5-Г.З)

Принимая для вертикального ускорения точки установки ГН выражение (2. 34), получим

X(t) = 1 + j [Сс (t) +				Z. (t) + уЬ (t) - хф (t)].		(5.64)
Следовательно, учитывая обозначение (14), имеем
Y ( t ) = t - b y fCс ( 0 + zB(t) + ф (t) — хф (г)] —
	[Сс (0 ) +		і в(0 ) + ф (0 ) -		хф (0 )\|, '	(5-65)
y{t) = t,
D [Y (г)] = - j r	{[^сс (0) +	К,я(0 ) + у % (0 ) +			(0 )] -
	— \к,с (t) +		(t) + y2Kf) (t) +		(01}-	(5.66)
Применение к	данному	случаю		формулы	(17) для	дисперсии
ухода ГН а (t)	дает
D K *)] = \| f		(l			+	(5.67)

T. e. дисперсия ухода ГН, вызванная случайной статической не уравновешенностью гироскопа, растет со временем по квадратич ному закону, будучи пропорциональной дисперсии небаланса гироскопа Iг. Наличие случайных ускорений места установки ГН приводит только к постоянному слагаемому в величине дисперсии а (t), т. е. не вызывает нарастания ошибки со временем.

Аналогичным образом исследуются и уравнения (1) и другие уравнения ГУ, характеризуемые одночленными линейными урав нениями первого порядка.

6 . Гировертикаль. Уравнения (3) для ГВ с маятниковой кор рекцией являются двучленными линейными уравнениями пер вого порядка, т. е. принадлежат к уравнениям типа (2 0 ), где в дан ном случае (рассмотрим первое из уравнений (3))


A i = W	’	^ = 1 -- ^(<)= Хі (0 + 4 - № + <?»^пф(0]. (5.68)
Для	нахождения â (t) и D		[a (t) ] применим разложение (27)
и следующие из него формулы			(28) и (29), однако при этом будем
учитывать,		что в данном случае В = А Ѵ и поэтому величины А х

и В нельзя считать независимыми.

§ 5.1]	У Р А В Н Е Н И Й , С О Д Е РЖ А Щ И Е С Л У Ч А Й Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы	313
Линеаризуя выражение для А х относительно отклонения
(Н —h),	получим

Находя математическое ожидание и дисперсию выражения (27), с учетом только членов второго порядка относительно ойі получим (считаем а ( 0 ) = 0 )

	* (0 = ЬУ (!) — aWi (t) + Y				(t),		(5.70)
D [а (t)] =	62Ä ff (t,	t) + ol[Ky (t, f) + i/ 2 (£) +			(C	*) +
+ b2yl(t) — t ö R yWi(t,			t) — 25y (t) уг (t) +		b \ R y y t (t,	* )],	(5.71)
где Y (t),	Fj (t) и	F2 (t)	определяются	(30)	и, следовательно, у (t),
9i(t), УА*)’		К уЬ, t), R „„,(*>		) и КѵАі г) могут			быть

выражены через математическое ожидание и корреляционную функцию X (t), определяемую формулой (6 8 ).

Уравнение инерциальной вертикали (7) является линейным уравнением второго порядка, не содержащим первой производной. Следовательно, при его исследовании можно использовать фор

мулы, полученные выше для уравнения (35), если положить
ja=	= 0, v =	j / ^ - g 0,	X ( t ) = v N(t){^ — ± ) .		(5.72)
Подставляя (72) в (36),		для данного^ случая		получим
“ W =	( і г - т ) S * *		- х) * ™	Ѵ Ч г х d x '	<5-73)

где производную vN (t) будем считать неслучайной функцией. Разлагая последнее выражение по степеням отклонений (;лх—p.j) и (Н—К), сохраняя при этом члены не выше второго порядка мало сти и учитывая, что при выполнении условия невозмущаемости

			йо		(5.74)
			Я		(5.74)
			Я
получим
1	йо	До_В Я___1		((J.Q йо)
■(*) = ^Rgo	Йо	Я	2	Йо
	. 1	(Н—К)2 ”	*		xj d-z +
		Я2	j Vn (t — т) Sin (^J/		xj d-z +
		Я2	)
			)
				■t)t cos	(5.75)

+ т ( Ѵ

- £ т £ ) , - т ! » » ( ‘

314

Ур а в н е н и я г у со с л у ч а й н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и

[г л . 5

Определяя математическое ожидание и дисперсию последнего выражения, находим (с точностью до центральных моментов вто рого порядка)

(5.76)

где обозначено

t		п___
=Рі (0 = \ VN (t — т) sin (У		Т ) dx,
О		___
t		___
<Р2 (t) = \	(t — т) COS	■— xj dx.
0

Аналогичным образом исследуются и другие гироскопические устройства, описываемые линейными дифференциальными урав нениями не выше второго порядка. Для уравнений более высокого порядка необходимо применение приближенных методов, сущ ность которых была изложена выше.

§ 5.2. Линейные уравнения, коэффициенты которых являются случайными функциями

1.	ГУ, уравнения	которых содержат случайные	функции
в коэффициентах. Ряд ГУ описывается линейными "дифферен
циальными уравнениями,		коэффициенты которых являются	слу

чайными функциями времени. В соответствии с методами, которые могут быть использованы при анализе вероятностных свойств решений таких уравнений, целесообразно рассмотреть уравнения трех типов: уравнение первого порядка или система двух уравне ний первого порядка, сводимая к одному уравнению первого по рядка с комплексными коэффициентами; линейное уравнение более высокого порядка, чем первый, все коэффициенты которого яв ляются постоянными величинами, кроме коэффициента у искомой функции, который является случайной функцией времени, и наконец, общий случай, когда все коэффициенты линейного урав нения являются случайными функциями времени. Таким обра

§ 5.2]	УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ				315
зом,	представляет интерес	рассмотрение следующих уравнений:«
	8 (f) +	4(f)8(*) =	Z(f).		(5.78)
а<"> (t) + а1 а(я_1) ( * ) + . . . +		ая> (t) +	А„ (t) a(t) =	X (t),	(5.79)
*t">(t) + А, (t) а(!г~ѵ (t) + . . . + An_, (t) â (t) +
		+ An(t)a(t) =		X(t),	(5.80)

где большими буквами обозначены случайные функции времени,

а8 (<), А (г) и Z (t), входящие в уравнение (78), могут быть ком

плексными.

Уравнение (78) подробно было рассмотрено в § 4.4, где были приведены примеры ГУ, описываемых подобными уравнениями. Как было там показано, нахождение моментов ординат решения этого уравнения 8 (t) может быть доведено до расчетных формул, если закон распределения ординат функций А (t) и Z (t) известен.

Поэтому остается рассмотреть уравнения типа (79) и (80). Уравнение первого типа встречается весьма часто при решении задач прикладной теории гироскопов. Например, к уравнению этого типа относится уравнение (3. 114) гиротахометра при слу чайных колебаниях объекта (Мт= 0 , М = 0 )|

Jт.»P + + [с +	Яш$ (£)] ß =
=	# “>5 ( 0 +	+■(/«— Л )“ е W mc (0.		(5.81)
где компоненты	угловой скорости	(t),	(t) и о> (t)	являются

случайными функциями времени, а остальные коэффициенты урав нения — постоянные. К этому же типу относится уравнение (3. 163) поплавкового интегрирующего гироскопа (МАм—0, Ü/T= 0, М=0)

Щ	( 0 ß = Яо)с (t) + / ( t) — ( / ах— / Е)(о? (0 шс(0 -
	(5.82)

Наконец, уравнением такого же типа описываются колебания физического маятника, установленного и качающегося в диамет ральной плоскости корабля; оно имеет вид (3. 57), т. е.

Со( 0	— 4 ( 0 1 ...		=
1 ( 0 + 2г^Х (<) + п2 --------	g	-------J z ( 0	=
		= —	( 0 + 2	$ ( 0 ] ,	(5 .8 3 )

где в правой части равенства сохранены только члены первого порядка малости, а индекс «2» отброшен. Ускорения орбитального движения Іо (t) и Со (t), так же как и угол дифферента корабля ф (t), здесь являются стационарными случайными функциями времени.

В качестве примера уравнения (80) можно привести уравнение ГВ, корректируемой от сильно задемпфированного маятника

316

УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

(см.

[ б6 ]),

установленного на качающемся

корабле:

Тж.J р +

Т [ 1 +

kY (f)J ß +

[1 + kY (0] ß = X (t),

(5.84)

где

Гм 3

— постоянная

времени

задемпфированного

маятника;

Т — постоянная

времени

гировертикали;

k = xlg.

Здесь Y

(t) и

X (t) являются случайными функциями, выражаемыми,

например,

для чисто килевой качки

формулами

Y (0 = « $ (* ),

Х(*) =

Л{ж[ф2(0 +

'|'(0'1і (0І — z$(f)},

(5.85)

где

ф (£) — угол дифферента корабля.

Линейные уравнения второго порядка, содержащие случай

ную функцию в коэффициенте при зависимой переменной.

Наиболее

часто

при

исследовании

гироскопических

устройств

встречаются уравнения типа (79) второго порядка, т. е. уравне

ния вида

ос -f- ßjâ -j- A2 (t) а (t) = X (t),

(5.86)

где

— постоянная, а A 2 (t) и X

(t)

— случайные функции вре

мени.

подробней.

Поскольку

уравнение

Рассмотрим это уравнение

(8 6 )

является линейным, то справедлива общая формула

(1.76)

для решения этого уравнения (считаем начальные условия нуле

выми)

(t, h) Х[(^) dtlt

(5.87)

где

I (t ,

tj) — импульсная переходная функция

уравнения (8 6 ),

связанная с независимыми интегралами уг (t) и у%(t) соответствую

щего однородного уравнения

формулой

l(t,

іг) ~

У1 (<і)

Уг (h)

У1(h)

Уг (h)

’

(5.88)

У\ (*)

У*{{)

2/і («г) 2/2 (fi)

которая следует из общей формулы (1.78).

следо

Функция I (t,

П) зависит от случайной функции А 2 it) и,

вательно, при фиксированном значении t, I (t, ty) является случай

ной функцией второго своего аргумента, причем если А 2 (t) и X (t)

независимы, то эта функция

независима от случайной функции

X (t), стоящей в правой части неоднородного

уравнения (8 6 ).

Рассмотрим пока только этот случай. Тогда, применяя к (87)

операции нахождения

математического ожидания и

дисперсии,

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 5532 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ