Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

18.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5529 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

§ 4.6]

ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

277

Определим математическое ожидание а. Так как случайный процесс ф(£) не только стационарный, но и нормальный, то полу чим М [sign ф (t) ]= 0 [см. (31)]. Поэтому, в согласии с (540), имеем

s = 0.

(4.541)

Сопоставляя (540) и (229) (при нулевых начальных условиях), замечаем, что под знаком интеграла стоит не sin vt, a cos ѵі, причем роль функции X(t) в данном случае играет

		х і W =		v7 f sign^(i).		(4.542)
Поэтому для дисперсии D[«(i)l интеграла					(540) в соответст
вии с (232) получим		(при а (0 ) == а (0 ) = 0 )
	t	t
	D [а (/)] = ■! j	J KXl (t — тх, t — т2) cos vcj cos v x ^ x ^ .
	о	о
Так	как случайная	функция Хх(t) стационарна, то выражение
для	D [<х (£)] можно переписать в виде
		t	t
	D [a (t)]= ^ j		jj KXi (x2 — хх) cos vtj cos vxgdtjdxj.			(4.543)
		о	0
Вводя новые переменные интегрирования £ = (хх					х2) и т\|= (т2— хх),
выполняя в (543) интегрирование по £, получим
	і *
D [а ( і) ] = і- 1j (t — х) KXl (х) cos vx dx +
	ln	t			ч
		t			ч
	Iv	i ^ x1^		v № — x) ~ fiin vx] ^X1.		(4.544)
		0			)

Учитывая формулы (542) и (38), корреляционную функцию KXi (х) можно записать в виде

КХі (х)

^ arcsin

(х)>

(4.545)

где Аф (х) — нормированная корреляционная функция случайной функции ф (t), которая в соответствии с (535) выражается формулой

		(4.546)
Аф (х) =	^cos Хх-	sin XIXО-

278

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

[ГЛ. 4

Подставляя (545) Bf(544), получим

D [а (£)]=	<2 ^ (t — т) соя ѵт arcsin Щ, (т) с/т -f-
	I о
	t [sin V(2t — т) — sin ѵт] arcsin А-ф(т) dт і		(4.547)
	Ѵо	)

Для принятых исходных данных численное интегрирование (547) дает

D[a(«)] = 1,5 • ІО' 8 рад2,

а для средней квадратической ошибки ~гі получим

оа= \/D [а (£)] — 1,22 • ІО' 4 рад — 0,4 угл. мин.

Из примера следует, что ошибка ИВ, обусловленная моментом сил сухого трения в оси подвеса гироскопа, может быть сущест венной. Поэтому в ИВ следует применять гироскопы прецизион ного типа: поплавковые, с аэродинамическим или электростати ческим подвесами и т. п., в которых моменты сил сухого трения составляют весьма незначительную величину.

Пример 4.12. Определить интеркардинальную погрешность однороторного гирокомпаса при бортовой качке корабля, иду щего четвертным курсом К = 45°, если корреляционная функция угла Ѳ(t) бортовой качки

К ь(т) = а^е-и-И ^cos Хт -(- Д sin XI т |^.

(4.548)

Дано: о2 = 3,79 -ІО' 2 рад2; Х=0,42 1/сек; д=0,04 1/сек; z = —3 м; 9=60°; i?=6371 -ІО3 л*; U = 7,29-ІО'5 1/сек; 77=45°.

Р е ш е н и е . Отклонение а (t) оси гироскопа в азимуте опре деляется системой уравнений (3.293). Полагая колебания гиро скопа по углу у короткопериодными, получаем для координаты а. приближенное уравнение (136)

а + 2Ш + /с2а== — 17r^

2^ 9 2sin277.

(4.549)

Под интеркардинальной погрешностью ГК на качке понимают математическое ожидание случайной функции a(t). Определяя а=М[а(£)1 из уравнения (549), по окончании переходного про цесса имеем

а	№	(4.550)
а	і/ 2 cos2 у 2 g2	D [6 (/)] sin 2К.

§ 4.6]			ПРИМЕРЫ	НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ			279
Полагая,		что	в ГК	осуществлен	период	Шулера,	имеем
k2= v l=g/R;		принимая также во внимание приближенное соот
ношение	(2 .2 2 ), получим
		4 =		I	D 1° « J si" 2К-		І « 5')
Для	заданных в примере исходных данных					находим
			ä = -0,06506 р а д = - 3°,44.
Отсюда	следует,		что интеркардинальная погрешность у				одно

роторного ГК может достигать весьма больших величин. Значи тельно меньшей она будет у двухроторного ГК [б4].

Для нахождения D [ а(t) ] можно воспользоваться выражением (192). Не приводя решения этой задачи, заметим, что величина D [ а (t) ] получается очень малой, так как в правойочасти уравне ния (549) возмущающим воздействием является [§(£)Р — малая величина второго порядка.

Выше была получена приближенная формула для <х. Приве дем точную формулу для <хи произведем по ней расчет интеркарди нальной погрешности ГК. Как было указано, эта погрешность определяется из системы уравнений (3.293)

а	2 CM -f- к2а :				кі		z sin К Ѳу,
				U2 cos2 ?					(4.552)
у -}- 2 Сггеу +		п2у =		■	2 cos К				(4.552)
					2 cos К
					І
					І
Разделим первое из		этих	уравнений на к2,						а второе на п2 и
введем обозначения
		Т = —	’		Т — —		1		(4.553)
		к	’		М -- у,		1
где Т и 7\ — постоянные времени ГК.						Тогда
Т2И	2£71d -)-				к2		2	sin К я
Т2И	2£71d -)-			U2 cos2 <р				g	Ѳу,
				U2 cos2 <р				g	(4.554)
^ 1f +	2;1 7,1T + y =				2 cos К X				(4.554)
					2 cos К X
					8
					8
Представим возмущающее			воздействие Ѳ(t)						в виде спектраль-
ного разложения		со
		со
	8 (f)=		j	еш йФ (<о),					(4.555)
		—со
где йФ (ш) обладает	свойствами			(1.93) и (1.94),

280 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

Подставляя (555) во второе уравнение системы (554), получим по окончании переходного процесса стационарное решение этого уравнения в виде

00
у(£) = — ^ L^(m)eimtdФ (ш),	(4.556)

где передаточная функция (s) колебаний гиросферы по коорди нате *(■, согласно (554), будет

£ т (*)

Тогда

2 COS К	1	(4.557)
g	1 + Тjs2 + SCjTjs '

T«) = ~ S	z cos К	1	еш йФ(ш).	(4.558)
	g	1 — 7 > 2 + 2^xTxi0)

Применяя оператор нахождения математического ожидания к пер

вому уравнению	системы (554)			и учитывая,				что после окончания
переходного процесса а =		0 , а =			0 , получим
			k2		Z Sill К X				(4.559)
		U2cos2<p				g	Ѳт		(4.559)
		U2cos2<p				g
или, учитывая (555), (558) и (1.94),
№	sin 2І{	I	-----	I	1‘			Sé (со) dw.	(4.560)
U2 cos2 <р2g2		J	1 —	I	+ zCl? 1 IÜ)			4 '
Обозначим		- С О
Обозначим	со
	со
	5 11		?«„2, 2		_•LУГ. .І.Л ^				(4.561)
		_ rf		+ 2^ХТХЫ
следовательно,
					ягт 7 • sin 2K.				(4.562)
		U2 cos2 cp2 g2
При малой постоянной времени Тх, что имеет место у одно
роторного ГК,	вместо (561) получим
		СО
	/ ä c	^	S%(со) dio =				D [Ѳ (if)].		(4.563)
		—00

Подставляя / D [Ѳ(i) ] в (562), находим для ä приближенную формулу (550). Чтобы получить точную формулу для а, необхо димо вычислить интеграл (561).

6 4.6]	ПРИМЕРЫ	НА ИССЛЕДОВАНИЕ		ГУ	281
Вначале найдем 5 g (ш). Согласно (2.15) и (1.111) имеем *)
	с..( ч	2 °ѳ^	\|_ 2 <z2ü>2 + М’		(4.564)
	*^ё (ш/	я

где	а2 = р.2— X2,		й2= ; і2+ Х2.		(4.565)

Подставляя (564) в (561), получим
СО
1	[Ѳ^ ( 1 — T’fw2 + 2Ci7’1ioü)(coi-f 2a2co2-j.64)d(0-				(4.566)

Приводя	(566) к интегралу типа (445) и			используя	для его

вычисления таблицу 1 .1 , тем же методом, который мы неоднократно

применяли ранее,	получим
г»2 [ 1 - ^ т ѵ		— г\|&2)_4р.2	D [Ѳ(гг)]. (4.567)
/ = Ь2 (1 _ 2 ^ ) 2 +	4 \т\ък\ +	(Сі + 7 » + Т^ьц

Подставив (567) в (562), получим точную формулу для интер кардинальной погрешности я однороторного ГК при нерегулярной качке корабля

й =		к2			22 Ь 2	х
		U2 cos2 у 2g-2				л
X ( 1	-	г?&	Ь2 ( 1		— 4£х7> — rj62) _ 4 ^ 2
	-	г?&	+	4	[Г	+ г	1(1	(£і + r lfl) + rjCifib2] D[9(£)]sm27f. (4.568)
		2)2		4	2 ^ 2		1(1

Примем следующие числовые данные: период собственных коле баний чувствительного элемента ГК вокруг оси Oz 7^=1 сек, ча стота п и постоянная времени Т1 этих колебаний

п = 2 тс/	= 6,28	1 /сек,	Г, = —=0,16 сек,
			1 п	’
k — V=	1,24 • 10~ 3	1/сек,	Сх= 0 ,5 .

Подставляя эти данные в (568), учитывая при этом другие ис ходные данные примера, получим <х=—0,0610 рад=—3°,30.

Сопоставляя результаты расчетов, видим, что значения я, вычисленные по приближенной и точной формулам, мало разли чаются. Поэтому при практических расчетах интеркардинальной погрешности однороторного ГК для условий нерегулярной качки

корабля можно		пользоваться	приближенной	формулой	(551).
4.	Гироскопические устройства, характеризуемые системой ли
нейных уравнений второго порядка, сводимой к уравнению пер
вого	порядка с	комплексными	коэффициентами. Пример		4.13.
Гироскопический маятник без демпфирования, имеющий пара
метры 77=1,25-ІО5 Г см сек, mgl= 1250 Гем,				установлен в диа

*) Хотя заданная аппроксимация (548) К в ( т) соответствует случайной функции, дифференцируемой только один раз, формулой (1.111) в данном слу чае можно пользоваться, так как интеграл I сходится.

28Й ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ ІГЛ. 4

метральной плоскости корабля на расстоянии х —28 м от плоскости миделыппангоута и имеет превышение над центром тяжести ко рабля 14 м (z = —14 м).

Пользуясь прецессионной теорией, определить для момента £ = 1800 сек математическое ожидание а (t) и дисперсию D [а (<)], если ось подвеса наружного кольца лежит в диаметральной пло скости корабля, начальные условия нулевые, рыскание корабля

отсутствует, а угловые	скорости крена Ü(t),	дифферента ф (t)
и первые производные	от координат центра	тяжести корабля

£с(4), Чс(() и Сг (і) являются независимыми стационарными, нор мальными случайными функциями времени, корреляционные функции которых имеют вид


	КJ (т) =			^cos Хл +			^	sin	IТIj ,		(4.569)
где / =	1, 2, 3, 4, 5 соответственно,						а	числовые значения пара
метров корреляционных функций следующие:
а1== VD [Ѳ(£)] =0,075				1/сек,	^ =	0,05		1/сек,	Хг== 0,75 1/сек,
а2 =	VdTRÖT= 0,075			1/сек,	р,2 = 0,10			1 /сек,	Х2= 1,50 1/сек,
=	D [£о (£)] =	0,5	м2/сек2,		ц3 =	0,10 1/сек,			Х3= 0,85 1/сек,
°1 =	D [t)c(*)J =	0,5	м2/сек2,		=	0,10		1/сек,	Х4 =	0,85	1/сек,
=	D [Сс(4)] — 0,5		м2/сек2,		fj,5 =	0,10		1/сек,	Х5 =	0,85	1/сек.

Р е ш е н и е . Уравнение ГМ имеет вид (252), в котором коэф фициент а (t) и правая часть уравнения X (t) определяются форму лами (315). Математическое ожидание ä (t) определяется в данном случае формулой (318). Входящие в эту формулу корреляционные функции и взаимные корреляционные функции составляющих ускорений W^, W^, W'. точки подвеса маятника в соответствии с (3,85), определяются формулами


КЮІ.(т) =	М (\|Сс (0 —	(01 & (t +		х) —	{t	+ х)] =	1
	= — Кіс,(т) — х2К.ь (т) =			—Кь(т) — х2К, (т),
КЮч(т) =	М {[Іо (<) +	(і)J [Іо (t +		т) +	(t +	т)]} ==
	= —■% (х) —		(т) =	—■	(х) — z2&2 (т).		(4.570)
Kw%(х)=	м {[тіо() —zÖ()] [Чо (* + х) —20(* + т)]} =
	= —Riß (т) — Z®^* (х) =			—^4 (т) —		(т),

—°, ÄCT1(х) =

(х) =

(т).

§ 4.6]

ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

283

Подставляя эти выражения в формулу (318), получим

ä W = ^ z e x p { —^(of + ofz2)} X

X $ ехр{^[ЛГ4 К ) + zlK x(xx)]J £ 2 (xx) sin Ax^xj.

При числовых условиях примера

*2	+	■кГ-	(4.571)
ё [К, Ы		(X,)] < =5 (а2 + z*°\) ~ 1°'4-

Следовательно, экспоненту, стоящую под знаком интеграла, можно положить равной единице, и следовательно, для искомого матема тического ожидания я (*) получим

	2X2A2a:za\|	t
;(г) =	2X2A2a:za\|	^ е~		sin X2Xj sin Ax1 dx1		=
	g-
	-		2u.oXoatxzk2		X? + u\| +	№	+
	-			ІІ	№ + Ц + к*)2-іЦ&		+
, X\|a\|a:zA:2				fp2 cos (X2 — k)t — (X2 — k) sin (X2 — k)t				,
+	g* *		X	L	f*I + (X2 - Ä ) 2			+
		.	fij cos (X2 -(- k) t — (X2 + k) sin (X2 + k) 11					(	rnm
		+			p\| + (X2 + Ä) 2		J*	(	}

Второе слагаемое полученного выражения осциллирует с часто тами (Х2 + к). Однако это слагаемое имеет множитель е~^\ кото рый при заданном значении t можно считать равным нулю.

Таким образом, окончательно получим

£ ^	_2 (j.2 X2a\|a:zA:2			Х\| -f-		-f- №		-0,3028 • ІО" 8	рад.
		g2	((x2 + Xi+ft2)2_4X\|fe2'


Для нахождения 8 (*),				необходимого				для вычисления	D [«(*)],
производя Ганалогичные				вычисления,			из	формулы (319)	находим
2X2<j\|a:zA:2		Х2	+ к		+ '			— —9,105 • ІО" 6 рад_
Р(*) =						(*1 + (^ 2
		Pl + ß 2 + W			'		— *)а
Таким образом,
8	(*) = ä (t) +		iß (t) =		—(0,3028 + *9,105) • 1 0 - 8 pad-				(4 .5 7 3 )

Для вычисления дисперсии D [а (£)] воспользуемся общей фор мулой (287), которая при tl = t2 = t принимает вид

D [a(*)] = T R e [ t f 8 (C t)-\-Rs*i(t, *)],

(4.574)

284	ГУ,	ОПИСЫВАЕМЫЕ		ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ					[ГЛ. 4
где Ks (t,	t)	и Rt*s(t, t) определяются формулами (321)						и	(322),
которые при учете			формул (570)		и	неравенства (571)		в	данном
случае дают
К* (, )	=	\ (t -	х)[-^ з(т) -	Ü	X) -	2 2В Д -	Z2Ä2 (т)] X
		о				X cos kz dz — 18 (t) I2,
		t				X cos kz dz — 18 (t) I2,			(4.575)
									(4.575)

R M t, t) =	f 2 S [eik<*‘- " - e tk'}[В Д - K3(T)- Z2t f 3 (t) +
		0
					+	Z2Ä 1(x )]d x _ [ 8 ( i) f .
Сравнивая последние два выражения,						видим,	что только в первом

из них имеется слагаемое, пропорциональное времени, которое при

достаточно большом времени работы прибора будет		иметь	основ
ное значение.	Считая, что это условие выполнено,	для	D [а (£)]
получим приближенное значение
	СО
D [а (*)] =	$ [— К 3 (т) — Ä 4 (т) — Z2X j (т) — z 2K 2 (x)J cos Art dz,
	0

что после подстановки выражений для корреляционных функций дает

	со
D [а («)] =	у 2 S {з\| (р\| +		Ц) e-w (cos Х3т — ^		sin	\|_
	о
	+ °1 (РІ +		Xf)	(cos Х4т — ^	sin Х4т) +
	-f- г2а2 (р,2		-f- X2) e_,liT (cos X]T —		sin Х4т^4-
	4- г2а2 (р.2	4- Х1)е_1І2Т(cos Х2т —р sin X2x^J cos					^x.	(4.576)
Так как интеграл		вида
00
\ 0у (р-у +	Ху) ег^Р ^cos Х^.х — ^			sin X^.xj cos kx dx =
о			3
		со
	—у		^ а2 (р2	4- X}) e~v-Jx(cos K.z — ^			sin Хут) e~ikxdz

отличается от спектральной плотности S (к) производной от слу чайного процесса, имеющего корреляционную функцию вида (569),

§ 4 . 6 ]	ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ	2 8 5

только отсутствием множителя к в знаменателе,							то на основании
(1.126)	и (1 .1 1	1 ) имеем
00					\
J о1,(р* + X}) е-*Л (cos 'kj-z —				sin Хут) cos kr dr =
°				'			И + })»
					-	(к* + p} - X})2 +			*
Подставляя последнее выражение в (576), получим
п гITЖ] — — f		z2gl W	+ Xl)	I	z2a2^2 (Pa + XI)			,
u L“ WJ	** l(*2 + rf -		Xf)* +	4rfXf	{kt + (jLf -	XI)* +	4ДО T
			I	° з Ы ^ з + Хр		■		+ Ц )	]
			- r (Ä2 +	X§)2 + 4fi§X§		' (Ä* +	fij -	XJ)* +	V\|X\|J *
что после подстановки числовых данных примера дает
D [а (г)] ^5,292 • ІО- 8 рад2,					аа = 2,3 . ІО- 4		рад =	0',8 .
Пример 4.14. Определить математическое ожидание и среднюю
квадратическую ошибку а (t) ГМ,					установленного в диаметральной

плоскости корабля так, что плоскость качаний маятника совпадает с плоскостью шпангоута, а ГМ имеет демпфирование, обеспечивае мое маятниковой коррекцией. Точка установки ГМ имеет превы шение над центром тяжести корабля 1 0 м (z= — 1 0 м) и удалена от плоскости миделынпангоута на расстояние 28 м (я=28 м). Дано:

начальные	условия	нулевые; угловая скорость прецессии ГМ
А:=7,319 *10_3 1 /сек;		удельная скорость радиальной маятниковой
коррекции	х = 0 , 0 1 1	/сек; угловые скорости крена Ö(г) и диффе
рента ф (t)	— нормальные		стационарные случайные функции,
ф =§= 0 ;
	К&(т) =	а\|е—	^cos Х0т -j- ^	sin X, \| т \|^ ;
	М =		(cos ХфТ + ^	sin ^ I т l);

а-= 26,3 • ІО- 4 1 Ісек2; ре = 0,04 1/cere; Х0 = О,42 1/сек;

о |= 10,4 • 10~ 4 1/сек2; = 0,1 1 /сек; Хф = 0,80 1/сек.

В качестве углов отклонения физических маятников можно принять

Х і ( 0 = — J Ö(0. Хг(*)= — уф(*)-

286		ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ				ЛИНЕЙНЫМ И			УРАВНЕНИЯМИ		[ГЛ. 4
	Р е ш е н и е .		Рассматриваемое				ГУ описывается системой урав
нений (254), которая				также сводится к уравнению
					8	ab ~		X (t),
где	в данном случае
			a(t) =	* +	i k ( i + ± W :),
X (t) = Ух (t) + гХ2 (0 = ( -					+		xXl) + г ( I			+ х*2) =	(4.577)
				= ~ [ ( * + ЩЪ(і) + (Ь+ **)$№

Wi ( t ) = —zb(t),				Wri(t) = z$(t),				W',(t) =		—x$(t).
	Сравнивая последние				формулы			с формулами (315),			использо
ванными при решении предыдущего примера										(ГМ без демпфиро
вания),		видим,	что в коэффициенте а (t) появляется новое постоян
ное	слагаемое,		а ускорения			W	и	нужно заменить			соответ
ственно		на (W^ — ^		Zl) = z$ + -Jz 6 и ^					+	y Z 2) = —zÖ—

Поэтому, произведя при выводе формул (318), (319), (321) и (322) замену ік — ік -)-

Кач (т) =	(т) + g	z‘K 9(т); /Ц (т) =	Z>K9(т) +	g z*K$ (т),
				/Ц (т) =	(т),
	Ra^ (х) =	— j z4C* (т) - £	2 * * 8 (t) =	(т),

получим окончательные формулы для данного случая.

Выполнив указанные преобразования, аналогичные преобразова ниям при выводе (321), имеем

2 (2 + 2)22	t
	■t J	е-Х(<-т,][Ф W + 8	(t)]X
K b(t, і)	о
		X cos хт dx — 18	12.	(4.578)

Аналогичным образом вместо (322) (после пренебрежения чле

нами второго порядка малости)		получим
	t
Л«** (С t) = р-2^	j [e~(x+‘fc)T -	е-сч-«)(2^)][(х + t k ) * K 9(x) +
	О
	.4 - (к + Іх)* (х)J dx — [8 (t)f.		(4.579)

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5529 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ