книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

содержащего в правой части равенства случайную функцию (или случайную величину), т. е. полного уравнения данного типа — уравнения (124) или уравнения, не содержащего первой производ­ ной от зависимой переменной — уравнения типа (137).

2. Вывод общих формул. Вернемся к рассмотрению уравне­ ния (124). Используя общую формулу (1.76) для решения линей­ ного дифференциального уравнения с учетом (1.77) и (1.82), вы­ разим явно решение уравнения (124) через правую часть этого уравнения X (t) в виде

где а . (t) — независимые интегралы однородного уравнения, со­ ответствующего уравнению (124), а С . — постоянные, определяе­

мые начальными условиями. В рассматриваемом случае уравнения с постоянными коэффициентами интегралы а.. (t) имеют вид eh'*,

где X. — корни характеристического уравнения

Уравнение (124) в соответствии с физической сущностью раз­ бираемой задачи соответствует устойчивой динамической системе и,

следовательно, аг > О, аг > 0. Кроме того, в уравнениях ГУ

1

обычно а2 ^ > - ^ а 1 и> следовательно, радикал в (146) имеет мнимое значение. Поэтому, введя обозначения

корни характеристического уравнения можно представить в виде

где р и ѵ0 — положительные вещественные величины. Подставляя (148) в выражения для независимых интегралов

Подставляя (t) и I (х) в (144) и вводя вместо Сг и С2 новые постоянные интегрирования А и В, получим следующую формулу

198 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙН Ы М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

для общего интеграла уравнения (124): t

а (t) = е~^ (А sin vQt -f- В cos v0t) -f- — ? е~*хХ (t — x) sin v0x dt. (4.150)

J

0

Постоянные А и В могут быть выражены через начальные зна­

Формула (150) отличается от формулы (80), дающей общее ре­ шение для линейного уравнения первого порядка, только нали­ чием в подынтегральном выражении осциллирующего множителя sin ѵ0 т. Внеинтегральный член и в этом случае содержит множи­ тель е~>’•*, обеспечивающий его затухание при достаточно больших значениях времени работы ГУ. Поэтому дальнейшее исследование вероятностных свойств случайной функции а (t) может быть вы­ полнено теми же методами, что и исследование решения уравнения первого порядка, приведенное в предыдущем параграфе.

Исследование поведения ГУ представляет интерес обычно для достаточно больших промежутков времени после начала их ра­ боты. Поэтому первое слагаемое в (150) можно положить равным нулю, а верхний предел интегрирования принять равным со, т. е. в качестве решения уравнения (124) принять

Определив математическое ожидание обеих частей последнего равенства, будем иметь

Если X (i)=const, то интегрирование может быть выполнено и, учитывая сделанное предположение о возможности пренебреже­ ния членами, содержащими е~^, для математического ожидания а (t) имеем

Полученное выражение для ä (t) может быть найдено и непо­ средственно из уравнения (124), если определить математическое ожидание обеих частей этого равенства и учесть, что после зату­ хания переходного процесса ä=ä.=0. Выполнив эти преобразо­ вания, получим ä=x/az, что с учетом (147) совпадает с (154),

Находя математическое ожидание произведения [а (^)—ä (fx) J X X [а (t2)—а (<2)] и учитывая при этом (152) и (153), получим

СО 0 0

будет стационарной. В этом случае формулы (155) и (156) упро­ щаются и после преобразований, аналогичных преобразованиям, выполненным при выводе (8 6 ), примут вид

В том случае, когда условия стационарности случайной функ­ ции а (t) выполняются, применимы общие формулы спектральной теории. Применяя формулу (1.97) к уравнению (124) и учитывая, что в данном случае передаточная функция L ( к о ) определяется формулой

Применим полученные выше общие формулы к исследованию точности нескольких ГУ, описываемых уравнением типа (124).

3. Гиромаятник. Начнем с рассмотрения гиромаятника. В со­ ответствии с уравнением (125) и обозначениями (147)

Скорость бокового перемещения центра тяжести корабля і\с(t) и угол крена Ѳ(t) являются стационарными случайными функ­ циями времени, которые обычно считают некоррелированными. Поэтому, используя формулы (1.91) и (1.74), получим

мулы (157), (158) или (161), (162), можно определить корреляцион­ ную функцию и дисперсию углового отклонения а (t).

Вычислим для примера дисперсию се (t), пользуясь формулой (162) и учитывая только влияние бортовой качки корабля Ѳ(t). Приняв корреляционную функцию бортовой качки корабля в виде (2.13) и учитывая (2.14), получим

D [а (t)] = ~ ( V + v*YX

Знаменатель подынтегрального выражения имеет 8 простых кор­ ней в точках

Заменяя в (173) интегрирование по вещественной оси интегриро­ ванием по замкнутому контуру, окружающему все полюсы подын­ тегрального [выражения, лежащие в верхней полуплоскости (рис. 4.3), получим, что искомый интеграл равен сумме четырех

202 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

вычетов, умноженной на 2пі. Выполнив необходимые преобразо­ вания, получим

которых легко вычисляются по формулам (175) и (176).

Как было указано в § 1.2, при вычислении дисперсии по фор­ муле (173) можно избежать вычисления корней подынтегрального выражения, воспользовавшись для получения окончательного результата формулами, сведенными в таблицу 1.1. В’данном слу­

Подставляя эти значения коэффициентов а. и bj в формулу (1.119) и используя строку 4 таблицы 1.1, получим окончательный результат:

ЯоДд) Н- яоаяа4^і1 тс

DM*)]

и Ѳ(£), которые часто аппроксимируются различными приближен­ ными выражениями, соответствующими недифференцируемым слу­ чайным функциям. Например, формула (2.13), широко используе­ мая в качестве аппроксимирующего выражения для корреляционной функции углов качки корабля, соответствует процессу, имею­ щему только первую производную, а в формулу (170) входят произ­ водные от Ѳ(t) до третьего порядка включительно. Несмотря на это, применение формулы (173) является допустимым и в данном слу­ чае, поскольку окончательный результат мало зависит от неточ­ ности, допущенной при аппроксимации S b ( tu) выражением, не допускающим дифференцирование необходимое число раз. (Функ­ ция Ѳ(t), как всякий реальный процесс, должна допускать диф­ ференцирование любое число раз.)

4. Особенности исследования некоторых других ГУ. Анало­ гичным образом исследуются и другие уравнения второго порядка, определяющие ошибку ГУ, т. е. приведенные выше уравнения (126), (127), (130), (136), и другие подобные уравнения. Отличие при исследовании этих уравнений может заключаться только в осо­

возмущений.

Например, в уравнении (130) в правой части равенства стоит

I

слагаемое ~ң М (t), содержащее производную от возмущающего

момента. Предположим, что возмущающим моментом является момент сил сухого трения в оси подвеса, связанный с углом наклона основания ГУ Ѳ(t) (например, с углом бортовой качки корабля) соотношением

^T^C^signCÖ^)]. (4.177)

Сохранив в правой части (130) только последнее слагаемое, для функции X (t) получим

в этом случае недифференцируемость функции, определяющей из­ менение момента трения со временем, связана не с существом за­ дачи, а с приближенностью замены реального момента трения разрывной функцией (177), и возникающие в связи с этой заме­ ной чисто формальные трудности могут быть устранены путем простых преобразований. Подставим для этой цели (178) в обіщее решение уравнения (150) (будем считать переходный процесс

'V2 +

Вычисление интеграла (184) без принципиальных трудностей может быть выполнено численно.

Особенностью правой части уравнения (136) является то. что

Для вычисления корреляционной функции Кх( х) в общем слу­ чае уже недостаточно знания корреляционной функции процесса 6 (t), а необходимо располагать двумернъш законом распределения ординат этой функции. Однако в большинстве практически ин­ тересных случаев функцию Ѳ(t) можно считать нормальной (на­ пример, угол крена корабля, самолета), а в этом сдучае х (t) и Кх (х) однозначно определяются К$ (х). Действительно, на осно­ вании формулы (1.74) имеем

Следовательно, применяя к выражению (186) операцию нахождения математического ожидания и учитывая (187), получим следующее выражение для математического ожидания х (t):

f + x и находя математическое ожидание результата, с учетом (188) получим

Уравнение (131), не отличаясь по типу от уравнения (124), имеет ту особенность, что в правую часть равенства входят слу­ чайные функции 8S (і) и Ьѵ (t), которые могут не быть стационар­ ными. Предположим, например, что положение объекта опреде­ ляется путем интегрирования величины скорости, измеряемой, например, допплеровской системой с ошибкой е (/), которую можно считать стационарной случайной функцией времени с нулевым математическим ожиданием и заданной корреляционной функцией Кг (х). Сохраним в правой части равенства (131) только слагаемое,

Кх (П> h) можно выразить через корреляционную функцию Кг ( т) но формуле

оо

Впоследней формуле, после введения новых переменных ин­