книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

жим, что угол отклонения физического маятника і (t) имеет кор­ реляционную функцию вида

Подстановка выражения (98) в (97) позволяет проследить влия­ ние Xна погрешности ГВ, вызванные погрешностями физического маятника. Сделав указанную подстановку и выполнив интегриро­ вание, найдем для первого слагаемого в формуле (97)

СО

(4.99)

О

Полученная формула показывает, что коэффициент пропорцио-

Для вычисления второго слагаемого в этой формуле его целесо­

Последний интеграл удобнее вычисляется численным интегри­ рованием, чем интеграл (97). Его значение зависит от вида кор­ реляционной функции Ы (т). Если корреляционная функция угла Ѳ(t) имеет вид (2.13), то

(4.101)

кд(х) = е ’‘'в**1(c o s Xöt — р sin Хѳ | х .

Следовательно, если в осях подвеса имеется сухое трение, то при

Кш(т). (Случайный характер угловой скорости может быть выз­ ван, например, случайными перемещениями объекта, по которому производится визирование.)

Задачей гиротахометра является определение текущего зна­ чения угловой скорости. Следовательно, ошибкой прибора в дан­

с учетом (81) и (104) получим формулу для ошибки гиротахометра

где возмущающий момент М (t) будем считать стационарной слу­ чайной функцией; также стационарной функцией будем считать разность [ м (t)—<со (£)].

190 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

Определение математического ожидания последнего равенства дает

Если t T (переходный процесс закончился), то последняя формула упрощается и принимает вид

Формулы (109) и (110) показывают, что при переменной угловой скорости ГТ дает систематическую ошибку, зависящую от угло­ вого ускорения dw/dt и производных от угловой скорости ш более высоких порядков, а также от постоянной времени Т гиротахо­ метра, уменьшаясь с уменьшением Т.

Предположим, что момент М (t) обусловлен наличием сухого трения в осях подвеса. Тогда, находя дисперсию обеих частей равенства (106), учитывая (38) и рассуждая так же, как при выводе формулы (97), для установившегося процесса получим

Первое слагаемое полученной формулы характеризует диспер­ сию ошибки определения угловой скорости (ошибки воспроизведе­ ния полезного сигнала), вызванную изменчивостью самой угловой

скорости и связанную с тем, что вследствие инерционности, при­ сущей ГТ, это изменение отрабатывается с искажением. Второе слагаемое дает ошибку, вызываемую моментом сил сухого трения. Формула (111) показывает, что дисперсия ошибки измерения ско­ рости зависит от постоянной времени ГТ сложным образом, по­ скольку Т входит кроме множителей перед интегралами в подын­ тегральные выражения. Поэтому вывод о целесообразности умень­ шения Т для снижения систематической ошибки, полученный на основании анализа формулы (109), должен быть уточнен путем исследования зависимости D [е (£)] от Т.

4. Поплавковый интегрирующий гироскоп. В качестве по­ следнего примера дифференциального уравнения первого порядка, содержащего зависимую переменную, рассмотрим уравнение (78) для поплавкового интегрирующего гироскопа. В этом случае

t

о

т. е. в правой части равенства стоит линейная комбинация стацио нарной случайной функции if (t) — угла рыскания основания гиро-

t

скопа и интеграла ^ М (fj) dt1 от возмущающего'момента, который

о

даже в том случае, когда сам момент является стационарной функ­ цией времени, уже не является стационарным.

Находя математическое ожидание обеих частей (112) и учиты­ вая (82), получим

Если if (t) и M (t) стационарны, то интегрирование в последней формуле может быть выполнено и мы получим

или, для установившегося процесса,

Таким образом, наличие интеграла в правой части выражения (1 1 2 ) приводит к возникновению накапливающейся систематиче­ ской ошибки, если математическое ожидание возмущающего мо­ мента отлично от нуля.

§4.3. Линейное уравнение второго порядка

спостоянными коэффициентами

1.Примеры ГУ, описываемых уравнениями данного типа.

Перейдем к рассмотрению линейного дифференциального урая нения второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. урав нения вида

где ax и a2 — постоянные, а X (t) — случайная функция времени. Уравнения такого типа характеризуют различные ГУ, для кото­

где случайные функции, стоящие в правых частях равенства, являются линейными комбинациями производных от случайных функций, характеризующих орбитальное движение и качку корабля.

Аналогичный вид имеет и уравнение для физического маят­ ника, показания которого используются для коррекции ГУ. В соответствии с (3.49) для углового отклонения х физического маятника имеем

где компонента ускорения w (t) в том случае, когда плоскость, качания маятника параллельна плоскости симметрии объекта, на котором установлен маятник (например, диаметральной пло­ скости корабля), определяется формулой [см. (3.56) ]

а в том случае, когда плоскость качания перпендикулярна пло­ скости симметрии (например, лежит в плоскости шпангоута ко­ рабля), определяется формулой [см. (3.55)]

Уравнение (3.109), определяющее отклонение (3инерциальной вертикали при наличии демпфирования, принадлежит к тому же типу, так как имеет вид

(4.130)

Р + - ^ + *8Р = ! ^ + й-лЗг(<).

Аналогичным уравнением является и уравнение (3.112) для инерциальной вертикали при наличии внешней информации, поступающей с ошибками:

Обе эти ошибки являются случайными функциями времени, однако зависимости характеристик этих функций от времени, как правило, имеют существенные отличия. Например, если скорость

в этом случае путь объекта вычисляется путем интегрирования компонент скорости, то bS (t) уже не будет стационарной функ­ цией.

которые отличаются друг от друга только обозначениями и пра­

гирокомпаса, которое для случая бортовой качки имеет вид [см.

Частным случаем линейного уравнения второго порядка яв­ ляется уравнение, не содержащее первой производной от зависимой переменной, т. е. уравнение вида

196 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

решение которого обладает рядом свойств, отличных от свойств

где Му и М 2 — возмущающие моменты по наружной и соответ­ ственно внутренней осям карданова подвеса.

Аналогичными являются уравнения (3.95) для отклонений инерциальной вертикали с периодом М. Шулера (без демпфиро­ вания)

Отличительной особенностью уравнения (130) и последних трех уравнений является наличие в правых частях равенств производ­ ных от возмущающих моментов, которые для принимаемых обычно выражений моментов сил сухого трения являются недифференци­ руемыми (разрывными) функциями и, следовательно, появление в правых частях уравнений производных от этих функций требует специального исследования.

Наконец, к рассматриваемому типу относятся уравнения, определяющие ошибку инерциальной вертикали вследствие раз­ личных инструментальных ошибок системы. Для ошибок, вызы­ ваемых отклонениями кинетического момента Н гироскопа и коэф­ фициента у от расчетных их значений Н0 и у0 (условие невозмущаемости [i0/H0=l/R), уравнение (3.105) дает

к анализу вероятностных свойств решения неоднородного линей­ ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,