книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

собе изложения неизбежно были бы повторения, поскольку раз­ личные гироскопические устройства часто описываются одинако­ выми уравнениями движения и для их исследования применяются тождественные математические приемы.

' ЧІІам представилось более рациональным сперва дать общий обзор основных типов ГУ и их уравнений движения, выделив та­ ким образом типичные математические задачи, которые возникают

вгироскопии, а затем изложить методы решения этих задач, ил­ люстрируя их применение анализом конкретных ГУ.

Вцелях сокращения объема книги и представления материала

вболее обозримой форме вывод уравнений движения различных гироскопических устройств не приводится, поскольку его можно найти в многочисленных книгах но гироскопии, изданных в по­ следнее время (в тексте даны необходимые ссылки на соответствую­ щие источники).

Авторы сочли невозможным приводить в книге изложение об­ щих вопросов теории вероятностей и теории случайных функций, предполагая, что эти сведения известны читателям. Однако было признано целесообразным дать общую сводку формул теории веро­ ятностей и теории случайных функций для того, чтобы облегчить чтение дальнейшего текста и избавиться от необходимости услав­ ливаться в обозначениях при изложении основного материала книги.

Некоторые специальные математические приемы, используе­ мые в книге, поясняются по мере их применения.

Предлагаемая книга является совместной работой обоих авто­ ров, и после ее написания оказалось невозможным указать, какие разделы книги написаны каким автором, хотя и можно отметить, что при изложении основных особенностей гироскопических устройств и их уравнений движения основную роль играл G. С. Ривкин, а изложение вероятностных методов исследования в основном было выполнено А. А. Свешниковым. Решение приме­ ров производилось авторами совместно.

Авторы стремились снабдить книгу полным перечнем известных им источников по применению вероятностных методов в гироскопии и указать общие труды по гироскопии, теории вероятностей и тео­ рии случайных функций, в которых читатель может найти разъяс­ нение формул, приводимых в книге без выводов.

В книге принята следующая нумерация глав, параграфов и пунктов: параграфы имеют свою нумерацию в каждой главе, так же как и пункты внутри параграфа. В номере параграфа первая цифра означает номер главы (например, § 3.4 означает 4-й параграф 3-й главы), пункты внутри каждого параграфа отмечаются после­ довательными номерами (например, пункт 1 § 3.4 означает 1-й пункт 4-го параграфа 3-й главы). При нумерации формул указы­ вается номер главы и порядковый номер в данной главе (например,

8 П Р Е Д И С Л О В И Е

формула (3.15) означает 15-ю формулу 3-й главы). При ссылках на формулы данной главы первая цифра для простоты опускается.

При написании книги авторы встретились с существенной труд­ ностью, связанной с выбором единой системы обозначений, так как в книгах по гироскопии и теории вероятностей используются различные обозначения. Более того, даже в различных работах по гироскопии не выдерживается единая система обозначений. По­ этому, для того чтобы упростить читателю обращение к различным источникам, на которые имеются многочисленные ссылки в тексте, в предлагаемой книге учитывались обозначения, принятые в ра­ боте, откуда была взята та или другая формула, отступая, однако, от этого принципа в тех случаях, когда по тем или иным причинам это представлялось целесообразным. Это привело к необходимости каждый раз пояснять принятые обозначения. Также не удалось полностью выдержать принятый во многих работах по теории вероятностей принцип, согласно которому большие латинские буквы обозначают случайные величины и функции, а малые ис­ пользуются для обозначения их реализаций.

Авторы выражают благодарность всем лицам, участвовавшим в обсуждении отдельных вопросов, изложенных в книге, и особенно благодарны Д. М. Климову, прочитавшему всю рукопись и сде­ лавшему ряд замечаний.

Авторы считают также приятным долгом поблагодарить А. Ю. Ишлинского, интерес которого к применению вероятност­ ных методов в гироскопии способствовал написанию этой книги.

Г Л А В А 1

СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1.1. Основные формулы теории вероятностей

Общий курс теории вероятностей предполагается известным читателю в объеме [20], [14], [1в], поэтому в данном параграфе при­ ведены только основные формулы теории вероятностей, которые используются в дальнейшем, и установлены основные обозначения.

Будем, по возможности, обозначать случайные величины боль­ шими буквами конца латинского алфавита X, Y, Z и т. д., отме­ чая их в случае необходимости индексами, например Xl7 Х 2, Х 2. Исключение из этого правила будет сделано только для тех детер­ минированных величин, для которых традиционно в гироскопии приняты большие буквы, а также для случайных величин, обозна­ чаемых греческими буквами.

Для обозначения возможных значений случайных величин или значений, получаемых в результате опыта, мы будем (по воз­ можности) использовать малые буквы того же наименования, т. е., например, х, у, z и т. д.

Полной характеристикой случайной величины X является ее функция распределения F(x), равная вероятности того, что слу­ чайная величина X будет меньше выбранного значения х. Функ­

Плотностью вероятности /(ж) случайной величины X называется производная от функции распределения F(x) по ее аргументу, т. е.

( 1. 2)

Если случайная величина X непрерывна, то плотность ве­ роятности / (х) является или непрерывной функцией своего ар­ гумента или имеет только такие разрывы, что для любого беско­ нечно малого интервала (х, ж+Дж) интеграл от плотности / (х) имеет порядок величины Дж, т. е.

х-^Ах

Функция распределения F (х) и плотность вероятности / (х) удовлетворяют следующим очевидным соотношениям:

Вероятность попадания случайной величины X в интервал (а, Ь) может быть выражена как через функцию распределения, так и через плотность вероятности формулами

причем для дискретных случайных величин существенно, что правая граница не включена в интервал, а для непрерывных слу­ чайных величин это не имеет значения, так как в соответствии с (3) в этом случае

В теории вероятностей принято условно считать, что вид функ­ ций распределения и плотности вероятности определяются аргу­

функции, взятые при различных аргументах, а функции распре­ деления и соответственно плотности вероятности случайных вели­ чин X, У, Z и т. д., которые могут иметь совершенно различные математические выражения. Мы также будем пользоваться этими обозначениями, отступая от них только тогда, когда это может привести к недоразумениям. В этих случаях функции F (х), / (х) и т. д. мы будем снабжать индексами, указывающими на наиме­ нование случайной величины.

Вместо полной характеристики случайной величины ее функ­ цией распределения или плотностью вероятности иногда доста­ точное представление о свойствах случайной величины можно получить, указав необходимое число первых моментов этой вели­ чины, т. е. указав математические ожидания целых степеней этой величины (начальные моменты) или математические ожидания целых степеней разности случайной величины и ее первого момента (центральные моменты). Начальный момент порядка у мы будем

обозначать m-, центральный момент того же порядка будем обозна­ чать f i т. е.

нах, моменты mj и р . мы будем снабжать сверху индексом, указы­ вающим на наименование случайной величины, т. е. будем писать, например, т)х), р]ж) и т. д. В приложениях наиболее часто нахо­ дят применение первый начальный и второй центральный моменты. Первый начальный момент называют просто математическим ожи­ данием и обозначают большой буквой М перед случайной величи­ ной или малой буквой, соответствующей наименованию случайной величины с чертой сверху, т. е., например, М [X] или х для слу­ чайной величины X, М [F] или у для случайной величины Y и т. д. Второй центральный момент называется дисперсией и

Между дисперсией случайной величины и вторым начальным моментом существует соотношение

Интегралы (15) для отдельных законов распределения могут рас­ ходиться, начиная с некоторого значения /. В этом случае говорят, что случайная величина не имеет моментов, начиная с /-го.

Наиболее часто в приложениях встречается нормальный закон распределения, плотность вероятности для которого определяется формулой

( 1 . 2 0 )

г М = 4 [ і + ф ( і 7 г ) ;

— СО

Кроме математических ожиданий и дисперсий для систем слу­ чайных величин весьма важными характеристиками являются кор­ реляционные моменты кх .Х[, определяемые формулой

kXjXl=.kJl = М [(Xj — Xj) (Xl — xt)} =

СО

= Jj (Xj — Xj) ( xt — x {) f (Xj, Xl) d X j d x t =

—■•Со

CO

= J • • • $ (Xj — Xj) (X , — Xi)f(xlt x2, . .., xn) dxxdx2 . . . dxn. (1.27)

— CO

При l = j формула (27) совпадает с (26) и, следовательно, kXjXj — = kjj = D [X .|. Совокупность корреляционных моментов называется корреляционной матрицей.

Закон распределения нормальной системы случайных величин полностью определяется их математическими ожиданиями и корре­ ляционной матрицей. Плотность вероятности нормальной системы

j, i=i

где Д — определитель, элементами которого являются элементы корреляционной матрицы kjlt т. е.

а A j t •— алгебраическое дополнение элемента kjt этого опре­ делителя.

Кроме функции распределения или плотности вероятности закон распределения случайных величин полностью определяется их характеристической функцией.

Характеристической функцией Е (и) одной случайной вели­ чины X называется математическое ожидание е'иХ, т. е.

Между плотностью вероятности и характеристической функцией существует однозначное соответствие. Так, для одной случайной величины имеем

— СО

Для системы п случайных величин

Для нормальных случайных величин характеристические функции имеют вид

Моменты случайной величины (если они существуют) могут быть получены путем дифференцирования характеристической функции Е (и) по формулам

Аналогичные формулы существуют и для системы случайных величин. Например, корреляционный момент к}^ может быть вы­ числен по формуле

Математическое ожидание и дисперсия линейной функции Z случайных величин X и Y,

Последние формулы имеют очевидное обобщение на линейные функции любого числа случайных величин.

Моменты случайной величины Z, являющейся полиномом более высокой степени, чем первой от заданной системы случайных вели­ чин, просто вычисляются только для нормальных величин. На­ пример, если Z = X 1 X 2, то, используя (34) для системы Х г, Х 2, получим

Для случайной величины X, закон распределения которой отличается от нормального, часто с успехом может быть исполь­ зовано разложение плотности вероятности / (х) по производным от плотности вероятности нормального закона распределения