книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

178 ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И [ГЛ 4

будет сходиться к нулю при увеличении числа приборов. Исходя из определения корреляционной функции (1.60), имеем

сеть только от разности моментов времени и, следовательно, функция Y (t) будет стационарной.

Корреляционная функция (60), а также вычисленная по этой формуле дисперсия ухода а(t) характеризуют разброс показаний различных гироскопов.

В некоторых задачах представляет интерес исследование ошибки конкретного, взятого для испытания гироскопа. В этом случае величина Іг не меняется в течение всего опыта и, следовательно, задача сводится к определению условного математического ожи­ дания ошибки гироскопа и ее условной дисперсии при конкрет­

Во втором из упомянутых случаев, т. е. при рассмотрении ухода астатического гироскопа вследствие упругих деформаций ротора, в соответствии с формулой (3. 30), имеем (при ßo=0)

где сг и сУі — коэффициенты жесткости ротора вдоль соответст­ вующих осей, а wSl (t) и wz (t) — проекции вектора ускорения точки

подвеса на экваториальную ось и ось собственного вращения ротора. Следовательно, обозначив

мы снова можем использовать все формулы настоящего параграфа, заменив т (t) на z(t) и Km(tv t2) на t2). Будем считать коэф­ фициенты жесткости неслучайными величинами, а случайные функции wVl (t) и wz (t) стационарными с нулевыми математиче­ скими ожиданиями. Предположим, что эти функции, кроме того,

и функции, имеющие другую физическую природу. Исследование этих уравнений может быть выполнено так же, как и уравнения (1 ), и не требует специальных пояснений.

7. Определение закона распределения а(Д). В заключение« данного параграфа рассмотрим вопрос об определении закона распределения случайной функции a . ( t ) . Будем исходить для простоты из уравнения (1 ), считая кинетический момент И не­ случайным.

Если имеется жидкостное трение, момент которого определя­ ется формулой (1 1 ), то уравнение (1 ) интегрируется и мы получим

Следовательно, если законы распределения ординат случай­ ной функции 0 (<) известны до второго порядка включительно, то задача сводится к определению закона распределения суммы зависимых слагаемых по формуле (1.42). Если t достаточно ве­ лико, чтобы Ѳ(0) и 0 (t) можно было считать независимыми вели­ чинами, то мы будем иметь обычную задачу о композиции законов распределения, для решения которой в данном случае достаточно знать только одномерный закон распределения ординаты Ѳ(і). Таким образом, в случае жидкостного трения задача определения закона распределения ординат случайной функции a ( t ) решается без каких-либо принципиальных затруднений для любого закона распределения ординат случайной функции Ѳ(£).

Эта задача еще более упрощается, если функция Ѳ(£) нормаль­

В этом случае соотношение между а (() и Ѳ(t) уже перестает быть

Для сухого трения можно воспользоваться приближенным разложением плотности вероятности /(а ) в ряд Шарлье (1. 44), для чего требуется определение моментов а (t) более высоких порядков, чем второй. Оно может быть выполнено тем же методом, каким были определены первые два момента, однако с повышением порядка момента вычислительная сложность расчетов увеличи­ вается.

В качестве второго пути можно указать применение марков­ ских процессов. Этот способ пригоден, когда случайная функция

плотность.

Для иллюстрации этого метода предположим сначала, что

является марковским процессом и может рассматриваться как решение дифференциального уравнения

Рассматривая уравнение (1), с учетом (19) и (70), как совмест­ ную систему уравнений, замечаем, что функции U1{t)= a(t) и tfs(f)=Ö( 0 являются компонентами двумерного марковского процесса. Определяя для этого случая коэффициенты уравнений Колмогорова по формулам, аналогичным (1. 132) и (1. 133), получим

Следовательно, второе уравнение Колмогорова для плот­ ности вероятности / системы случайных величин Y 1= U l ( т), Y2—U2( т) будет иметь вид

/(Уі,У2)- Искомая плотность вероятности/ ( а) может быть полу­ чена путем интегрирования / (уъ у2) по у2:

Таким образом, если Ѳ(і!) — нормальная случайная функция, имеющая спектральную плотность (69), то задача сводится к инте­ грированию уравнения (71). Хотя при решении этого уравнения применим метод расщепления Фурье, решение получается доста­ точно сложным. Еще более сложным будет решение, если в знаме­ нателе £б(й>) стоит полином ш более высокой степени, чем второй.

Формула (6 8 ) обычно слишком плохо аппроксимирует кор­ реляционную функцию угловой скорости основания. Более хоро­ ший результат можно получить, если положить

Последняя формула, например, часто применяется для харак­ теристики угловой скорости качки корабля, колебаний самолета и в ряде других случаев. Корреляционной функции (73) соответ­ ствует спектральная плотность [см. (1.111) и (1.124)]

2алр.ш-

процесса. Для этого процесса уравнение Колмогорова также может быть легко составлено [см. (1.147)], однако его решение еще более усложняется, поскольку появляется новая независимая переменная.

В большинстве практических задач необходимости в точном определении / ( а) обычно не возникает, так как ошибки ГУ вхо­ дят составной частью в ошибки более сложных систем, закон рас­ пределения на выходе которых уже с высокой точностью можно считать нормальным, так как они складываются из большого числа независимых слагаемых и имеются условия практической при­ менимости центральной предельной теоремы. В этом случае достаточно знать первые два момента ошибок ГУ, определение которых было рассмотрено выше.

§ 4.2. Линейное уравнение первого порядка, содержащее зависимую переменную

1. Вывод общих формул. Уравнение первого порядка, со­ держащее зависимую переменную, описывает поведение различ­ ных ГУ. Примером может служить уравнение движения гиро­ вертикали с маятниковой коррекцией, имеющей линейную ха­ рактеристику [см. (3.58)]

где XiW —угол отклонения от вертикали физического маятника, х2 — удельная скорость коррекции, а М 2 — суммарный возмуща­ ющий момент, возникающий вследствие наличия момента трения, момента из-за неуравновешенности гироскопа и т. п.

§ 4.2] У Р А В Н Е Н И Е 1-ГО П О Р Я Д К А С ЗАВИСИМ ОЙ П Е Р Е М Е Н Н О Й 183

Аналогичный вид имеет и упрощенное уравнение гиротахо­

и ряда других гироскопических устройств.

Все приведенные выше уравнения принадлежат к одному

где постоянная аг и случайная функция X(t) в различных слу­ чаях могут иметь различные значения и различный физический

щего гироскопа, согласно (78), содержит интеграл от стационар­ ной функции и, следовательно, не является стационарной. Для гиротахометра, как ясно из уравнения (76), случайная функция X (t) является суммой полезного сигнала <a(f) и помехи; в других случаях полезная составляющая отсутствует.

Рассмотрим получение моментов ординат случайной функции а (t). Для этой цели запишем решение уравнения (79) в явном виде

t

где импульсная переходная функция l ( z ) в данном случае имеет вид экспоненты

учитывать, рассматривая в качестве ошибки ГУ отклонение,

184 ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И [ГЛ . 4

Следовательно, применяя формулы (1.69) и (1.70) к данному случаю, получим

оо

Втом случае, когда X (t) стационарна, последние формулы упрощаются, так как часть интегрирований может быть выполнена. Произведя необходимые преобразования, получим

1О

Втом случае, когда переходный процесс можно считать за­ кончившимся и, следовательно, экспоненциальные множители вида е~а‘*, е~а'1' и е-я>^ можно положить равными нулю, последние

§ 4.2] У Р А В Н Е Н И Е 1-ГО П О Р Я Д К А С ЗАВИСИМ ОЙ П Е Р Е М Е Н Н О Й 185

три формулы еще более упрощаются и принимают вид (x=f2 —іг)

(1.83) следует, что функция а (t), определяемая (80), также будет стационарной, и, следовательно, для нахождения спектральной

— 00

Последние две формулы эквивалентны формулам (89) и (90), однако их применение является предпочтительней в том случае, когда задана не корреляционная функция случайного процесса X (t), а его спектральная плотность.

Итак, общее рассмотрение линейного дифференциального урав­ нения первого порядка, содержащего независимую переменную, показывает, что, в отличие от линейного уравнения (1 ), не содер­ жащего независимой переменной, в данном случае решение урав­ нения имеет ряд существенных особенностей.

Во-первых, при постоянном математическом ожидании х мате­ матическое ожидание ä (t) не растет пропорционально времени, как это имеет место для уравнения (1 ), а стремится к постоянной величине (при переменном х (t) изменение а (t) имеет более слож­ ный характер).

Во-вторых, дисперсия а (t) при стационарности правой части уравнения стремится с ростом t к постоянной величине, а не растет пропорционально t, как это имело место для уравнения (1 ).

Эти свойства решения уравнения (79) являются следствием устойчивости динамической системы, описываемой дифференци­ альным уравнением такого типа. Рассмотрим более подробно несколько ГУ, описываемых уравнением данного типа.

2. Гировертикаль с линейной коррекцией. Для гироверти­ кали, имеющей маятниковую коррекцию с линейной характеристи­ кой, в соответствии с (75) (индексы «2» и «1» опускаем)

а ах= х — удельная скорость коррекции.

Слагаемые в правой части (94) являются независимыми случай­ ными функциями, причем математическое ожидание угла откло­ нения физического маятника от вертикали %(t) будем считать равным нулю, а в качестве возмущающего момента учтем только момент сил сухого трения — учет других возмущающих моментов (из-за неуравновешенности гироскопа, упругих деформаций и т. д.) производится аналогичным образом.

Принимая во внимание формулы (31) и (38) для математиче­ ского ожидания и корреляционной функции момента сил сухого трения, на основании формул (8 8 ) и (89), после окончания переход­

Формула (97) показывает, что при увеличении удельной скорости коррекции следует ожидать уменьшение влияния моментов сил сухого трения в оси подвеса, поскольку величина х входит в зна­ менатель второго слагаемого правой части формулы, а увеличе­ ние X , кроме того, при любом хх > 0 уменьшает величину множи­ теля е-*ті в подынтегральном выражении этого слагаемого.

Влияние величины х на первое слагаемое формулы менее оче­ видно, поскольку X входит и множителем перед интегралом и в по­ казатель степени у е_хтч Для выяснения этого вопроса предполо-