книги из ГПНТБ / Регулирование качества продукции средствами активного контроля

С увеличением п обе оценки (смещенная D * и несмещенная D) будут различаться на все меньшую величину, и при tt-ѵоо сходиться к одному и тому же действительному значению Dx.

Оценим теперь дисперсию оценки D.

В силу несмещенности D, на основании общих теорем теории ве­ роятностей, имеем

мо знать моменты четвертого порядка случайных величин ХІ — m* .

5.48

Интересно отметить, что смещенная оценка D * имеет меньшую дисперсию и, более того, меньший второй начальный момент. С ро­ стом п обе оценки, однако, перестают различаться.

Зачастую на практике возникает задача не только определения

оценок т* и D * (или D), но и ориентировочной оценки их точности и надежности.

Пусть в результате ряда наблюдений было получено некоторое значение m*. В общем случае это значение отличается от действи­

рактеризует точность полученного результата, доверительная веро­ ятность — его надежность.

Аналогичный вопрос может быть поставлен и относительно зна-

чения о

2 ( Х , - Я ' ) А

-. (420)

Гя - 1

Вэтом случае доверительная вероятность определяется по анало­ гичной формуле

349

Случайная величина Т подчиняется закону распределения Стью-

о

табулирована, и таблица, отвечающая различным значениям n и у» приведена в книге [27].

Перейдем теперь к среднему квадратическому отклонению ст. Введем случайную величину

В книге [27] показано, что случайная величина / подчиняется рас­ пределению

- 2

Я — 1

350

Распределение (428) позволяет найти вероятность неравенства

величину половины доверительного интервала, выраженную в долях

Вероятность неравенства (429) есть вероятность того, что относи­ тельная ошибка в среднем квадратическом отклонении не превзой­ дет величины q. Эта вероятность зависит от числа q и объема на­ блюдений.

Введем обозначение

Таблица функции L (q, п— 1) приведена в работе [64].

§ 48. ОЦЕНКА К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н О Й Ф У Н К Ц И И

По определению, корреляционной функцией двух случайных процессов X (i), Y (t) называется функция

Оценка корреляционной функции по результатам наблюдений сводится практически к оценке отдельных корреляционных момен­ тов.

Корреляционная функция, как таковая, имеет конструктивный смысл лишь для стационарных процессов. Тогда она становится функцией не двух аргументов t и т одновременно, а их разности

и займемся построением оценок для корреляционных моментов. Бу­ дем искать оценку корреляционного момента в виде

kh = -^j$(Xi-m'x) (Уі-ml), (432)

где

351

Соотношение (432) определяет смещенную оценку корреляцион­ ного момента. Для того чтобы убедиться в этом, вычислим матема­ тическое ожидание случайной величины

С учетом свойств математического ожидания линейных функций случайных величин находим [123]

где kxy — действительное значение корреляционного момента. Это смещение устраняется так же, как в формуле (409).

Дисперсию оценки (434) точно удается найти лишь для нормаль­ ных случайных величин X,, УІ- В книге [123] показано, что она име­ ет вид

Задача оценки закона распределения на основе опытных данных характерна для начальных этапов отладки технологического про­ цесса. По виду закона распределения определяется вклад отдель­ ных элементов оборудования, производится подбор соответствую­ щих характеристик узлов. Кроме того, знание закона распределе­ ния необходимо для более точной оценки доверительных вероятно­ стей и доверительных интервалов.

По определению, функция распределения случайной величины X определяется равенством (399). Теоретическим обоснованием воз­ можности построения эмпирической функции распределения являет­ ся теорема Бернулли, в соответствии с которой с ростом числа опы­ тов п при любом X частота события Х^.х сходится (по вероятности) к вероятности P r o b f X ^ x } . Следовательно, с ростом п эмпирическая

непрерывной случайной величиной X. Разделим весь диапазон полу-

352

общее количество наблюдений и найдем частоту, соответствующую данному разряду:

По рекомендациям книги [27] в большинстве случаев число разря­ дов рационально выбирать порядка 10—-20.

Геометрическим соответствием статистического ряда является гистограмма. Соединяя точки гистограммы плавной кривой, полу­ чим приближенный график плотности распределения.

Пользуясь данными статистического ряда, можно приближенно построить и статистическую функцию распределения величины X.

Результат построения эмпирической функции распределения (эмпирической плотности) неизбежно сопряжен со случайными ошибками. Эти ошибки связаны с тем, что число наблюдений огра­ ничено, что произведены именно те, а не другие опыты, что получе­ ны именно данные результаты и т. д.

Только при очень большом объеме наблюдений эти элементы случайности сглаживаются, и исследуемое явление обнаруживает действительно присущую ему закономерность. На практике объем наблюдений всегда ограничен. Поэтому при обработке статистиче­ ского материала приходится решать вопрос о том, как подобрать для полученного статистического ряда теоретическую кривую рас­ пределения, отражающую лишь существенные черты статистическо­ го материала, но не случайности, связанные с его ограниченностью. Такая задача называется задачей выравнивания (сглаживания) ста­ тистических рядов.

Существует целый ряд методов подбора этой кривой (см., напри­ мер, [27]). Мы не будем на них останавливаться, а лишь рассмотрим вопрос о согласованности подобранного и действительного распре­ делений.

Предположим, что полученное по результатам наблюдений эмпи­ рическое распределение выравнено с помощью некоторой теорети­ ческой кривой F(x). Как бы тщательно не была подобрана кривая F (х), между нею и эмпирическим распределением будут расхожде­ ния.

Возникает естественный вопрос: чем объясняются эти расхожде­ ния — случайными обстоятельствами, связанными с недостатком экспериментального материала, или же плохим подбором теоретиче-

ской кривой F {х)} Ответ на этот вопрос дают так называемые кри­ терии согласия [27].

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев со­ гласия— так /называемый «критерий %2» Пирсона.

Предположим, что в результате проведения п независимых опы­ тов над случайной величиной X были получены наблюдения хі, Хг,

..., Хп, разбитые на k разрядов с соответствующими частотами рі*, Рг*, . . . , pu*- Требуется проверить, согласуются ли эксперименталь­

Зная теоретический закон распределения, можно найти теорети­

Проверим согласованность эмпирического и теоретического рас­

тов n, а определяется лишь числом разрядов & и с ростом п прибли­

354

раметра г, который получил название «числа степеней свободы рас­ пределения». Это число равно количеству разрядов k минус число независимых условий («связей»), наложенных на частоты Рі*. К та­ ким условиям относятся:

обязательное условие нормировки

2 # = і;

условие вида

k~

і=1

если теоретическое распределение подбирается из условия совпа­ дения теоретического и эмпирического среднего. (Здесь ХІ — сред­

и эмпирического распределений сводится к следующему:

1)определяется по формуле (441) мера расхождения х2 ;

2)определяется число степеней свободы г как число разрядов k

минус число наложенных связей s: г = k — s;

3) по г и X2 по соответствующей таблице определяется вероят­ ность того, что величина х2 с г степенями свободы превзойдет дан­ ное значение х2- Если эта вероятность мала, то гипотеза о согласо­ ванности теоретического и эмпирического распределений отбрасы­ вается. Если эта вероятность достаточно велика, гипотеза признает­ ся не противоречащей опытным данным. Выбор величины вероятно­

вчастности, критерий Колмогорова [64].

Вкачестве меры расхождения между теоретическим и эмпириче­ ским распределениями выбирается разность

2)определяется Dn по формуле (442);

3)определяется величина z = ^nDn и по соответствующей таб­

утвердительного ответа на вопрос о том, действительно ли данная случайная величина имеет закон распределения, совпадающий с принятым теоретическим. Единственное, что они утверждают — это

свойством стационарности своих характеристик, изложенный выше материал позволяет найти соответствующие оценки.

В том случае, когда процесс по каким-либо характеристикам не­ стационарен, поступают следующим образом. Записывают соответ­ ствующую характеристику ф как функцию вектора а постоянных параметров и набора функций времени ѵ(^):

Ф _= ср (a, 1(f)),

a затем ищут действительный вид вектора а.

Для отыскания значений а существует ряд методов: наимень­ ших квадратов, максимума правдоподобия, «минимума риска, метод

356

моментов и т. д. Обоснование этих методов содержится в книгах

[123, 125].

В современной литературе, к сожалению, отсутствуют скольконибудь конструктивные оценки моды и медианы распределения. По­ этому в данной главе методы построения этих оценок не рассматри­ ваются.

Г л а в а X I . ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

В разрабатываемых в последнее время технологических процес­ сах в машиностроении все шире применяются современные средст­ ва вычислительной техники и электроники, которые приводят к ка­ чественно новым решениям, позволяющим повысить производитель­ ность, точность процесса, а также обеспечить комплексную автома­ тизацию производства.

Номенклатура электронных приборов, применяемых в техноло­ гических процессах, весьма широка как по назначению, так и по особенностям схемного решения. Применяемые в составе этих при­ боров и специализированных вычислительных устройств функцио­ нальные решающие элементы можно грубо разделить на аналого­

элементов со всей полнотой, поэтому более полные сведения по про­ ектированию решающих элементов и методику определения их па­ раметров можно найти в литературе, предлагаемой по ходу изло­ жения материала.

§ 50. АНАЛОГОВЫЕ Р Е Ш А Ю Щ И Е Э Л Е М Е Н Т Ы

Операционные усилители. Усилители постоянного тока (УПТ) с большим коэффициентом усиления и глубокой отрицательной об­ ратной связью называются решающими или операционными усили­ телями (ОУ) [82, 147]. Операционные усилители позволяют выпол­ нять линейные операции (суммирование, инвертирование, интегри­ рование, умножение на постоянный коэффициент и т. д.), а также нелинейные операции в сочетании с другими элементами вычисли­ тельных устройств.

Функциональная схема операционного усилителя, поясняющая его принцип действия, приведена на рис. 151. Напряжение на входе

35?