мента, что полностью совпадает с используемым в теории информа ции методом построения кода Фэно-Шенона, известным также как метод «половинного разбиения». Этот метод основан на получении наибольшего количества информации и вытекает из функции, опре
деляющей энтропию опыта с двумя взаимоисключающими |
исхода |
ми, имеющими вероятность возникновения Pu) |
— Р. В этом |
слу |
чае энтропия опыта |
|
|
|
|
|
|
Н{р) = |
- Р • log Р - |
(1 - |
Р) • log (1 - |
Р). |
|
(392) |
Следовательно, |
наибольшее |
количество информации, |
соответ |
ствующее максимальному значению |
энтропии, |
достигается |
при |
Р = 0,5. |
|
|
|
|
|
|
Применение метода «половинного |
разбиения» |
для оптимально |
го поиска источников устойчивых отказов точности систем регули рования сводится к весьма простой практической процедуре. Для того чтобы процесс поиска закончился при минимальном числе тестов, необходимо перед каждым из них разбивать проверяемое множество элементов или блоков на два подмножества так, чтобы суммарные априорные вероятности отказов элементов, попавших
вкаждое подмножество, были равны или как можно более близки.
Впоследнем случае алгоритм поиска будет близок к оптимальному. Указанные выше условия применения метода «половинного разби ения» для оптимизации алгоритма поиска источников устойчивых отказов легко могут быть выполнены в системах регулирования, ес ли в каждом тесте через систему пропускается в одинаковом режи ме одна и та же контрольная партия деталей. Для обнаружения отказавшего элемента (блока) в контрольных точках проверяемого канала, соответствующих «половинному разбиению» проверяемого при данном тесте подмножества элементов (блоков), принудительно прерывается поток информации, передаваемый от измеряемого из делия к исполнительному блоку.
При обнаружении источников самоустраняющихся отказов точ ности (сбоев) поиск, предусматривающий проведение последова тельных тестов, может не дать результатов, так как самовосстанов ление отказавшего элемента может произойти до окончания необ ходимых тестов. Учитывая это, а также высокое быстродействие современных систем и тесную связь тех или иных источников само устраняющихся отказов с режимами эксплуатации, необходима разработка методов автоматической индикации подобных отказов в эксплуатационном режиме систем регулирования. Автоматическая индикация самоустраняющихся отказов в системах регулирования может производиться с помощью как универсальных, так и спе циальных средств. Из универсальных средств могут быть использо ваны быстродействующие счетчики импульсов и многоканальные самописцы. Использование счетчиков импульсов позволяет оценить предельную погрешность контроля в эксплуатационном режиме под системы контроля, выявить отдельные источники грубых погрешно-
стей контроля, а также наблюдать за правильностью передачи ин формации в подсистеме.
Многоканальные самописцы могут использоваться для автома тической синхронной записи сигналов, передающих информацию в подсистеме, одновременно во многих контрольных точках. Сопо ставление результатов записей в различных точках позволяет уста новить конкретные источники отказов и время между их возникно
вением. Однако при испытании быстродействующих |
систем |
дли |
тельность сигналов многоканальными самописцами |
ограничена. |
В этом случае целесообразно использовать разработанную в |
О К Б |
специальную многоканальную автоматическую систему индикации ACH, предназначенную для исследования в эксплуатационном ре жиме автоматов размерной сортировки цилиндрических деталей с использованием фотоэлектрических датчиков типа ДФМ, имею щих производительность до 10 тыс. измерений в час и интенсивность отказов точности 0,1 % и более [41].
В ОКБ также разработаны оригинальные методы и средства для выявления и устранения источников отказов точности в сортировоч ных автоматах, имеющих предельную погрешность не более 1 мкм и производительность до 20 тыс. измерений в час. При этом вероят ность возникновения отказов точности в данных автоматах не превышает 0,033% с доверительной вероятностью Р = 0,9. Кроме того, установлено относительное влияние отказов элементов уст ройств контроля, многоканальной передачи информации и транс портирования проконтролированных деталей на возникновение от казов точности данных автоматов, которое соответственно составля ет 63, 18, 19%.
Из наиболее эффективных способов повышения надежности сле дует отметить способ постоянного резервирования узлов и элемен тов в цеиях управления, передачи и запоминания командных им пульсов. Успешно применяется резервирование запоминающих уст ройств путем их дублирования.
В этом случае информация об отказе одного из запоминающих устройств получается в виде сигнала о рассогласовании их дейст вия. Такой сигнал можно использовать либо для сброса в брак дета лей, проконтролированных в момент отказа, либо для отключения всей системы регулирования. Первый случай может быть рекомен дован при использовании запоминающих устройств с редкими сбо ями, второй целесообразно применять при устойчивых отказах за поминающего устройства.
Весьма целесообразным оказывается сокращение числа проме жуточных звеньев в цепи передачи сигналов от датчика к исполни тельным органам системы.
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение |
систем обнаружения неисправности |
измерительно |
го |
устройства |
с |
помощью специального калибра-образца, |
который |
автоматически |
с заранее установленной периодичностью |
подается |
для |
проверки, |
а |
также комбинированных |
систем со вторым (до |
полнительным) |
|
устройством, вынесенным |
из зоны |
обработки и |
осуществляющим автоматическую поднастройку первого (основно го) устройства в зоне обработки, также существенно повышает на дежность и точность систем, так как в этих случаях устраняется влияние сбоев, поломок и других внезапных отказов.
Проведенный в ОКБ анализ причин появления грубых ошибок измерений и характера вызываемых ими последствий позволил раз работать ряд новых способов повышения точностной надежности контрольных автоматов [150].
Выявление наиболее часто встречающихся причин возникнове ния грубых отказов и определение их удельного веса проводилось путем специального исследования типовых контрольных автоматов ОКБ-Л55К1, основанных на электроконтактном методе измерения. Методика исследования основана на регистрации отказов, возни кающих при разбраковке тест-образцов, рабочие размеры которых лежат вне зоны возможных случайных погрешностей. Для индика ции отказов применялась специально разработанная аппаратура.
Повышение надежности контроля рассмотренной выше комбини рованной самокорректирующейся системы ОКБ может быть осу ществлено путем уменьшения времени между проверками. Этот метод особенно эффективен при наличии устойчивых и явных от казов. Одним из примеров таких отказов в системе являются раз ного рода поломки и выходы из строя элементов в трактах переда чи информации и исполнения. При работе системы эти отказы могут быть и не видны, и контролируемые детали будут неправильно из меряться до очередной проверки или случайного обнаружения не
исправности. Можно предположить, что время между |
устойчивыми |
отказами системы, вызывающими, например, |
ложную |
подналадку, |
меняется по экспоненциальному закону: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(393) |
где Гор — среднее время между отказами |
системы. |
|
|
В том случае, когда отказы обнаруживаются какой-либо |
систе |
мой контроля сразу после их появления, |
количество |
неправильно |
измеренных деталей будет примерно равно |
количеству |
отказов |
системы. Например, если Гср = 500 ч, то в среднем один раз в два месяца одна деталь будет неправильно измерена.
В общем случае, если время между проверками |
равно / І ф и |
/пр «С Тср, то для длительного времени, равного to (to > |
Тсѵ), средний |
процент неправильно измеренных деталей k (в предположении, что
отказ произошел примерно в середине промежутка времени |
между |
проверками) будет равен |
|
£ = JüL 100%. |
(394) |
Если 7"ср = 500 ч, а г*Пр = 1 ч (проверка в самокорректирующейся комбинированной системе производится один раз в час), то
k = 0,1%. Таким образом, один раз в два месяца в течение получаса система может давать бракованную продукцию.
При увеличении частоты проверок (уменьшении /П р) надежность контроля увеличивается. Но увеличение количества проверок сни
жает непрерывность контроля, т. е. фактическую |
производитель |
ность системы. |
|
|
|
составляет ta, то |
Если продолжительность проверки системы |
между требуемой |
надежностью |
контроля |
Р= \-k, |
наработкой на |
отказ Г с р , временем между проверками |
и непрерывностью конт |
роля W имеются |
соотношения: |
|
|
|
|
W - ^ i — A ; |
|
(395) |
|
р __ I |
^ п р |
|
|
|
|
2ТС р |
|
|
Рассмотренная самокорректирующаяся комбинированная систе ма ОКБ, состоящая из прибора активного контроля в зоне обработ ки и измерительного прибора — поднастройщика вне зоны обработ ки, а также снабженная автоматической поднастройкой по образцо вой детали, обладает повышенной надежностью (вероятность без отказной работы системы составляет 99,8%).
§ 46. А Н А Л И З Н А Д Е Ж Н О С Т И СИСТЕМ Р Е Г У Л И Р О В А Н И Я РАЗМЕРОВ
Ниже приводится расчет надежности электрорелейного устройства комбини рованной самокорректирующейся системы ОКБ і (см. гл. V I I I , § 36).
Рассматриваемая электрорелейная система имеет только последовательные соединения. При расчете также необходимо учитывать, что система работает циклически и при нормальном температурном режиме.
На рис. 149 показана одна из типичных І-характеристик (интенсивность от казов во времени). В первый период / происходит приработка элемента. Во
т
У
Рис. 149. Кривая изменения интенсивности отказов
1 Расчет надежности дается в элементарном виде. Очевидно, что для характе ристики надежности релейной аппаратуры недостаточно знать вероятность и сред нее время безотказной работы. Необходимо также знать величину поля рассеива ния отказов и смещение во времени центра группирования отказов. В настоящее время при анализе надежности автоматических устройств в основном используется теория случайных величин. Однако гораздо больший эффект может дать исполь зование теории случайных функций.
Вероятность |
отказа, |
равная |
1 — P(t), |
для определенного интервала време |
ни определяется следующим образом. |
|
Вероятность |
о,тказа |
в любом |
сечении |
будет характеризоваться разностью |
между верхним и нижним пределами этих кривых. Например, при подналадке
данным методом за |
1000 ч вероятность отказа будет составлять 92 |
— 46 = 46%. |
З а 2000 ч вероятность отказа составляет 82 — 32 = 50% |
• |
|
|
Соответственно |
надежность работы |
электрорелейной |
системы |
при данном |
методе подналадки |
за 1000 ч будет составлять 54%, а за |
2000 ч —50%. |
Таким же образом можно рассчитать |
вероятность |
безотказной |
работы за |
любой другой период времени. При подналадке по одной детали вероятность от казов будет иметь минимальную величину. Это вытекает из того, что при работе
Рис. 150. Кривые вероятности безотказной работы
в указанном режиме электрорелейная система менее нагружена, чем при усред
ненных подналадках. Вместе с тем надежность работы |
может |
быть повышена |
путем использования более качественных элементов. |
|
|
|
|
Надежность системы зависит также от температуры, влажности, вибраций, |
загрязнения и окисления контактов, точности изготовления элементов и т. д. |
|
Частота |
отказов будет наибольшей на среднем |
участке кривой вероятности |
безотказной |
работы Pcp(t) . |
|
|
|
|
Как следует из рис. 150, кривые распределетия |
вероятности |
безотказной |
ра |
боты носят асимметричный характер. |
|
|
|
|
В табл. |
7 приведено также время исправной работы |
Гиспр. роб, которое |
оп |
ределялось по формуле |
|
|
|
|
|
_ 1 _ |
|
|
|
|
|
^исп. раб = |
|
|
(398) |
|
Срок службы системы без ремонта следует определять, исходя из среднего времени ее исправной работы. Так, например, среднее время исправной работы рассмотренной системы составляет примерно 2260 ч.
Таким образом, разработанная система обладает вполне удовлетворительной надежностью. Данная методика расчета надежности является типовой и может
быть использована для определения параметров надежности |
аналогичных |
систем. |
|
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н Ы Е У С Т Р О Й С Т В А
ДЛ Я М О Д Е Л И Р О В А Н И Я
ИУ П Р А В Л Е Н И Я
Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К И М И П Р О Ц Е С С А М И
Г л а в а X. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ Н А Б Л Ю Д Е Н И И
Исходным пунктом синтеза алгоритмов управления технологи ческим процессом является информация о ходе управляемого про цесса. Эта информация имеет вид статистических характеристик, определяемых в результате наблюдения за процессом. Наибольшее распространение получили оценки математического ожидания и дисперсии процесса, меньшее — оценки моды, медианы и корреляци онной функции.
Иногда при анализе хода технологического процесса приходится строить гистограммы распределения. Методы построения этих оце нок и рассматриваются в данной главе.
§47. О Ц Е Н К И МАТЕМАТИЧЕСКОГО О Ж И Д А Н И Я И Д И С П Е Р С И И
Втеории вероятностей случайная величина определяется как функция, аргументом которой служит элементарное случайное со бытие поля испытания [135]. Исчерпывающей характеристикой слу чайной величины X служит функция ее распределения
F (х) = Prob [X <^х], |
(399) |
где Prob{-}—символ вероятности; X — некоторое число.
В теории вероятностей принято различать дискретные и непре рывные случайные величины [135], отличающиеся видом области определения. В реальных технологических процессах, как правило, встречаются непрерывные случайные величины, область изменения которых ограничена некоторым отрезком (а, ß).
Плотностью распределения случайной величины X называется производная функция распределения по верхнему пределу
|
p(x)=—F(x). |
(400) |
|
dx |
|
Математическим ожиданием m случайной величины X называет |
ся интеграл |
з |
|
|
|
m, |
= j хр (x)dx. |
(401) |
|
к |
|
Дисперсия X определяется как интеграл |
|
|
ß |
|
D, = |
j ' (x — mf p (x) dx. |
(402 ) |
a
В реальных условиях закон распределения значений управляе
мого процесса |
в каждый момент времени неизвестен. Поэтому для |
характеристик |
m и О строят некоторые |
эмпирические оценки. По |
строением этих оценок и исследованием |
их свойств мы и будем за |
ниматься в данном параграфе. Излагаемый ниже материал в зна чительной степени опирается на результаты книги [27].
Пусть имеется случайная величина X, и над нею произведено п
независимых опытов, |
в результате чего получены |
значения: Хи х2, |
..., хп. Требуется на основе этих наблюдений приближенно |
опреде |
лить математическое ожидание тх и дисперсию Dx |
случайной вели |
чины X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через Х{ — значение X в первом опыте, |
через Х2 |
—• |
значение X во втором опыте и т. д., и рассмотрим среднее |
арифмети |
ческое этих независимых случайных величин |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 * |
|
|
|
|
(403) |
|
|
Т * |
= 1=1—. |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание величины m * равно |
|
|
|
|
|
M [m* 1 = — У |
M [X,] = |
— = |
rnx. |
|
' |
(404) |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
Дисперсия этой величины |
|
|
|
|
|
|
|
D |
[m* ] =.- — |
V, D [ХЛ |
= |
|
|
|
(405) |
|
|
|
i=\ |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
m * является несмещенной |
и |
асимптотически |
эффективной оценкой неизвестного математического ожидания |
тх. |
Пользуясь вместо тх |
величиной m *, мы будем |
неизбежно |
совер |
шать ошибку, но, по крайней мере, не введем систематической по грешности.
Обозначим через m *п оценку, найденную по результатам наблю дений. Тогда формулу (403) можно переписать в рекуррентном виде
n-l
тп |
= — |
(n-l) |
•'' ' |
* I |
1 / V |
(406) |
|
n |
|
n — 1 |
ш„_і H |
( A , — rnn- |
|
Из формулы (406) следует, что с увеличением п новым наблюде ниям придается все меньший вес. Формула (406) удобна для реали зации алгоритма определения среднего на ЦВМ.
По аналогии с формулой (403) представляется естественным ис кать оценку D* дисперсии Dx в виде
|
D * = Ы |
п |
, |
|
(407> |
|
|
|
|
|
где m * определяется по формуле |
(403). |
|
|
|
Определим свойства оценки (407). Найдем вначале математиче |
ское ожидание D *. Для этого выразим |
D * через второй |
начальный |
момент случайной величины X: |
|
|
|
|
D* = аЪ |
—(т*У |
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
/ |
|
— У, X? |
V X? |
|
Л— 1 |
|
У. Х(Х, = — |
У Хі |
|
|
(=1 |
|
|
<~1 |
|
|
— 2 |
|
|
|
(408> |
Применяя к выражению (408) операцию математического ожи |
дания, находим |
|
|
|
|
|
M [о*] = |
'Lzl 2 м [X?] — |
2 M UjXy]. |
|
Но дисперсия D * не зависит от того, в какой точке выбрать на чало координат при ее вычислении. Выберем его в точке тх. Тогда
M[X?\ = DX; |
jbM[X?\ |
= |
nDx. |
Так как, по предположению, величины Xi, |
XJ, іф\ независимы, то |
при начале координат в точке тх |
|
|
M 1Х,Х,] = 0. |
|
Поэтому окончательно |
|
|
|
M ID* |
n ~ l |
п |
(409) |
Таким образом, оценка D * является смещенной оценкой диспер сии Dx. Для компенсации смещения достаточно величину D * умно-
