
книги из ГПНТБ / Радиотехнические системы в ракетной технике
..pdf3 0 ----------------- ---------------------------------------------------------- |
90 |
95 |
О------------------ |
95------------------- |
90--------------------- |
1— |
------------180 |
180 135 |
135 |
Ракурс, град
5
Рис. 3.13. Диаграммы вторичного излучения носового конуса (два результата измерений):
и — горизонтальная поляризация; б — вертикальная поляризация
целей (среди которых находятся и ГЧ) с борта МБР определить их относительные массово-инерционные параметры, на осно вании которых может быть определено ме стоположение головной части ракеты среди ложных целей.
3.4. Ошибки обработки радиолокационной информации
Для решения задачи перехвата необхо димо определить местоположение цели к не которому моменту времени с заданной точ ностью. Движение на пассивном участке траектории, составляющем большую часть полетного времени МБР, происходит в поле земного тяготения. Невозмущенное движе ние материальной точки в гравитационном поле (так называемая задача двух тел) описывается тремя дифференциальными уравнениями второго порядка, которые в декартовой системе координат с началом в притягивающем центре имеют вид
(\^7. |
7. |
|
|
|
- |
^ + |
k - ^ = 0, i = |
1 , 2 , 3 , |
[3.7] |
|
з |
|
|
|
где r5 = |
2 z ? |
— квадрат |
радиус-вектора |
|
|
i=i |
материальной точки; |
|
|
|
|
|
k = f (М + гп) — гравитационный параметр
материальных |
точек |
с |
массами М и ш ; |
постоян |
|
f — универсальная |
||
ная тяготения. |
|
так |
Порядок этой системы равен шести, |
что искомые величины zi выражаются в виде функций от независимого переменного t и шести произвольных постоянных. Поэтому движение ракеты на пассивном участке траектории полностью определяется зада нием шести констант, выбор которых в до статочной степени произволен.
Для полного определения эллиптической траектории (а следовательно, и всех ее эле ментов, таких, как точка падения, точка за пуска и время полета снаряда с момента обнаружения и до момента падения на по верхность Земли) в качестве указанных
<Ni
|
тела |
«кувыркания» 19 сек: зеркальная точка основания |
|
тела цилиндро-конической формы с периодом |
В — зеркальная точка конической поверхности; С — |
Сигнальные характеристики |
цилиндрической поверхности; |
3.14. |
точка |
Рис. |
зеркальная |
111
выше шести констант можно принять время t0 и пять парамет ров (а), характеризующих эллипс.
В системе ПРО задачу определения параметров дели решают радиолокаторы, сопряженные с ЭВМ. Радиолокационные наблю дения дают обычно азимут, угол места, наклонную дальность и (или) радиальную составляющую скорости цели. Измеряемые ве личины функционально связаны с параметрами эллипса и теку щим моментом времени. Эта связь выражается в аналитическом виде через известные, хотя и громоздкие уравнения. При детер минированном характере движения цели и идеальном измерителе в принципе достаточно было бы иметь шесть независимых изме рений одной из величин (например, азимута) для однозначного определения искомых параметров. Однако в показаниях реальных измерительных устройств всегда присутствуют ошибки, обуслов ленные многими факторами.
Наличие случайных составляющих в ошибках измерений за ставляет отказаться от детерминистского метода решения постав ленной задачи и перейти к статистическому. Среди множества ста тистических методов наиболее эффективными являются метод максимального правдоподобия, байесов метод и метод наимень ших квадратов.
Метод максимального правдоподобия представляет собой один из основных методов теории точечных оценок и широко исполь зуется при обработке радиолокационных измерений. Этот метод максимизирует функцию правдоподобия, которая определяется как апостериорная плотность вероятности р(у/а):
L (а) = р (у/а),
где у — совокупность исходных данных (выборка из N измере ний) ;
а — искомый вектор оцениваемых параметров.
Для нахождения максимума плотности вероятности необходи мо решить систему уравнений правдоподобия
В общем случае уравнения правдоподобия являются нелиней ными. Точное решение этих уравнений сопряжено с большими вы числительными трудностями. Как правило, применяют приближен ные методы их решения, например, метод Ньютона или метод ите раций. Указанные операции выполняются на быстродействующих ЭВМ. Общим приемом, существенно ускоряющим и упрощающим вычисления по любому из методов статистических оценок, яв ляется линеаризация исходной нелинейной системы уравнений от носительно опорной траектории движения.
Оценки параметров по методу наименьших квадратов совпа дают с оценками максимального правдоподобия при нормальном распределении ошибок измерений. В противном случае метод наи меньших квадратов приводит к менее эффективным оценкам.
112
Использование различных методов оценок определяется раз личием в объеме априорных данных, связанных с процессом со провождения траектории. Известные классические методы реше ния задачи оценок используют информацию о законе движения цели и статистические характеристики ошибок измерения (одно мерный закон распределения, корреляционные матрицы, ошибок).
Работа импульсных РЛС в режиме автоматического сопрово ждения цели описывается алгоритмом обработки дискретного ан самбля координат сигналов, частота поступления которых опре деляется темпом локации. Полученные измерения, как правило, можно представить в виде аддитивной смеси измеряемых коорди нат и ошибок измерений т]
yi = |
F [zi(a)] + ■/];, i = 0 , 1 , . , N, |
[3.8] |
где i — порядковый |
номер выборки; |
|
N + 1 = —- + 1 — объем выборки, определяемый временем наблю
дения tH и интервалом времени т между равноотстоящими момен
тами съема |
координат; |
|
|
|
|
|
|
F — функция |
преобразования геоцентрических координат движе |
||||||
ния материальной точки |
в |
систему |
координат соответствующей |
||||
РЛС. |
линеаризованной |
системы выражение [3.8] |
преобразуется |
||||
Для |
|||||||
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У1 = H I zi + |
у1р |
|
[3.9] |
|
где |
Н( — матрица преобразования размерности mXn; |
||||||
У(, |
Zj — соответственно |
m-мерный |
и n-мерный |
векторы со |
|||
|
|
стояний рассматриваемой |
системы. |
|
Линеаризованная динамическая модель эллиптической траек тории цели описывается с помощью матрицы перехода Ai 6-го по рядка
В последнее время широкое распространение получил байесов метод обработки радиолокационных наблюдений. Основные осо бенности этого метода заключаются в возможности использования априорной информации о начальных координатах цели, а также
впостроении удобных рекуррентных фильтров.
Вкачестве примера приведем рекуррентный фильтр Калмана, осуществляющий сглаживание результатов измерений [3.8, 3.9] при
наличии векторного белого шума rji
zk= AK_,zK_! + 1 kHrRk1 (ук HIiAK_IzK_J ,
где Г-* = [Ак_1Гк_1Aj_,]—1+ HTR-iHK;*
* Индекс «Т» означает операцию транспонирования матрицы.
5—754 |
И З |
RK— корреляционная матрица текущих ошибок порядка m (при измерении дальности и двух угловых координат
ш = 3 ) ; |
ошибок сглаживания; |
|
|
Гк — матрица |
|
||
z0 и Г0 — определяются |
априорными данными |
о первых двух |
|
моментах |
распределения вероятностей |
координат цели |
|
в начальный |
момент наблюдения. |
|
Рекуррентный фильтр представляет большие удобства в про цессе обработки наблюдений на ЭВМ, так как освобождает от не обходимости хранения использованной входной информации. Кроме того, матричные преобразования в фильтре Калмана имеют относительно малую размерность. Однако при наличии некорре лированных во времени ошибок наблюдения, построение опти мальных рекуррентных фильтров наталкивается на принци пиальные трудности.
В данном случае для относительно коротких интервалов на блюдения и экстраполяции можно рекомендовать метод наимень ших квадратов применительно к полиномиальной модели движе ния цели. При этом баллистическая траектория аппроксимируется совокупностью полиномиальных функций, описывающих проекции траектории в прямоугольной системе координат РЛС.
Соответствующий полином движения цели по каждой из коор динат Zj, z2, z3 может быть записан следующим образом:
I
z (t — ix) = |2_ (— ix)K(k!)-1z(k) (t), k=0
где z<K)(^) — к-тая производная от z(t); г— степень полинома;
t — текущее время (время последнего замера).
При полиномиальной модели движения цели экстраполирован ная координата z3 в момент времени t + /a рассчитывается по фор муле
* Г
z3 (t + 1,) = 2 ч (к0-1щ о ,
к=0
где aK( t) — оценка к-той производной от z(t).
Экстраполяция координат цели требуется для решения задач целеуказания, вывода антиракеты в расчетную точку встречи, вы числения координат точек падения баллистических целей и др.
В случае известной степени полинома движения цели опти мальная оценка к-той производной, вычисляемая по методу наи
меньших квадратов, находится |
по формуле |
N |
|
ак (t) = 2 |
wiУ О — «)» |
Ь=0 |
|
114
где Wi — весовые коэффициенты, определяемые решением матрич ного уравнения с N + r + 2 неизвестными
G |
В" |
'W ‘ |
Ga' |
Вт |
0 |
Сг |
S |
G — корреляционная матрица ошибок измерений координат (по рядка N + 1) с элементами gy = v) (t — it) у; (t — jt);
Ga — вектор-столбец вторых смешанных моментов ошибок изме-
рений, содержащий |
элементы |
ga (i) = у]Ф (t) у] (t — it); |
||||
S — вектор-столбец |
с |
элементами |
|
|
||
|
|
___ ( 0 , |
|
|
|
|
|
S| |
u’- (— |
|
i= J ; |
||
Cr — вектор-столбец |
г |
коэффициентов |
Лагранжа; |
|||
W — искомый вектор-столбец весовых коэффициентов; |
||||||
|
|
"1 |
0 |
0 . . |
|
. 0 " |
|
|
1 |
1 |
1 . . |
. |
1 |
1 N N2 . . . Nr
Соответствующая ошибка оценки определяется выражением
D. = ST (BTG- ,B)_1G. |
[3.10] |
По своим спектральным свойствам ошибки измерений делятся на некоррелированные (флюктуационные), характеризующиеся большим значением произведения ширины спектра ошибок AF на время наблюдения tH(AFtH;> l) , слабокоррелированные (медленно меняющиеся) и сильнокоррелированные (систематические, AFtH<Cl)- Основными источниками некоррелированных ошибок являются собственные шумы приемных устройств РЛС, а также организо ванная шумовая помеха и флюктуационная ошибка измерительных приборов.
Флюктуационные ошибки единичных измерений в присутствии шумовых помех определяются отношением сигнал/шум на входе приемника и вычисляются по следующей приближенной фор муле
аФ= 8а~,/2.
где 8— величина разрешающей способности РЛС по соответствую щей координате.
Медленно меняющиеся ошибки ам определяются неточностью юстировки измерительных устройств, а также условиями распро странения радиоволн, в частности, влиянием'*ионосферы.
5* 115
Систематические ошибки вызываются, главным образом, де фектами измерительных устройств.
Рассмотрим представляющие практический интерес некоторые частные случаи матричного уравнения [3.10].
При |
некоррелированных |
ошибках (время корреляции шума |
||||
тк<т) |
матрица |
G |
превращается в |
диагональную с элементами |
||
gu=bj. |
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
- |
(И 2 |
1x ii 1 |
|
|
|
Do |
|
^2j |
1х |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Xl |
• • |
• |
Хг |
|
|
где X: |
|
. . . |
Хг+1 |
матрица |
||
|
|
|
— |
|||
|
Хг+1 |
|
Х2г _ |
|
||
|
|
|
N |
|
|
|
|
Xi = |
p= u |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| X | |
— определитель матрицы X; |
|
||||
| X-• | |
— минор |
матрицы X. |
|
В случае стационарной шумовой помехи и равноточных изме рений (bp= b0) выражение для ошибки упрощается и при N ^>г принимает вид
DФ1 |
ь0 ~ (г + j + п п » |
1 |
|
ф |
_ (г — j)! j! J |
' 2 j+ 1 • |
|
|
|
|
Для сравнения приведем точные выражения Эф при малых] иг
12 |
|
|
N |
|
|
|
. |
t2 |
' |
(N + |
i)(N |
+ |
2) ’ |
Г“ |
1 |
D l = 12 |
|
N (2N + |
1) (8N — 3) |
|
0 |
||
t2 |
’ |
(№ + |
1) (N + |
2) (N + 3) ’ |
Г |
Z |
D __________ 720№________ |
r==2 |
|
2 |
(N^ + 1) (N + 2) (N + 3) |
’ |
Ошибка экстраполяции положения цели по каждой из коор
динат в случае некоррелированных оценок производных aj вычис ляется по формуле
К
J=0
t2j
(J!)5* Dr
Медленно меняющиеся ошибки измерения. В условиях малого объема выборок следует воспользоваться точным выражением для
116
оценок Dj, аппроксимируя корреляционную функцию ошибок рав ноточных измерений экспоненциальной функцией
При большом объеме выборок и значительном усложнении ма
тричных |
преобразований |
возможно приведение |
приближенных |
|||
расчетов в два этапа. Весь объем |
выборок |
N равномерно |
разде |
|||
ляется на |
I групп (/ = ф,/тк). |
|
ошибок |
сглаживания |
||
На первом этапе производится расчет |
||||||
(Do) координат внутри |
каждой |
группы, |
содержащей |
N[ = N// |
выборок. На втором этапе, полагая сглаженные координаты не коррелированными на интервале тк, для вычисления результирую щих ошибок DMj(N) по полному объему выборок N+1, достаточно воспользоваться формулами вышеприведенного типа, положив
N = / — 1, bo= DMo(Ni).
При T<CTK<CtH данная процедура резко снижает размерность матриц и значительно упрощает расчеты.
В случае TK>tH можно рекомендовать более простую схему выполнения ориентировочных расчетов, основанную на модели пилообразного закона изменения слабокоррелированных ошибок со случайным наклоном пилы.
При этом
где а \ — дисперсия скорости изменения ошибки.
Полная ошибка экстраполяции координат при линейном сгла живании радиолокационных измерений приближенно определяется суммированием отдельных составляющих
— ОфЭ+ DM3 + Dc.
Пусть, например, радиолокационная станция находится под апогеем в плоскости оптимальной траектории МБР с дальностью действия 8300 км. Измерения начинаются при минимальном угле места луча РЛС относительно местного горизонта, равным 5°, и поступают с частотой 30 имп/сек. Стандартные отклонения оши бок измерений азимута, угла места, наклонной дальности и ра диальной составляющей скорости равны соответственно 0,5°, 3,7 км, 30,5 м/сек, причем их математические ожидания равны нулю.
Зависимости прогнозирования ошибок в определении точки па дения МБР от времени наблюдения, рассчитанные по методу мак симального правдоподобия, показаны на рис. 5.1. Из графика сле дует, что полуоси эллипса ошибок в случае большого числа изме рений изменяются в зависимости от времени наблюдения прибли зительно обратно пропорционально степени 3/2.
117
3.5.Пропускная способность РЛС
Втеории массового обслуживания пропускная способность РЛС может определяться как максимальная плотность потока це
лей, который может быть |
обслужен радиолокационной станцией. |
В данном случае понятие |
«обслуживание» означает выдачу ин |
формации по целям с точностью не ниже заданной на соответст вующих этапах работы РЛС. Под плотностью потока целей обыч но понимают количество целей, которое входит в зону наблюдения
за |
единицу времени. |
|
|
|
|
В общем виде плотность потока целей |
|||
|
|
|
S = М : At, |
[3.11] |
где |
М— среднее |
число |
обслуживаемых |
целей; |
|
At— среднее |
время |
обслуживания |
потока целей. |
В качестве критерия обслуживания могут приниматься ошибки измерения сигнальных и траекторных параметров цели. В подав ляющем большинстве случаев оценку качества обслуживания можно свести к шаровой ошибке о*. положения цели в экстрапо лированной точке. По данному критерию цель считается обслу женной, если
аэ(1э, У < а*. |
[3.12] |
где a3 = D^2 — большая полуось эллипсоида ошибок |
экстраполя |
ции траектории цели к рубежу принятия решения *. |
|
Шаровая ошибка а* однозначно определяет |
необходимое |
время обслуживания потока целей конкретного класса.
Время обслуживания потока целей рассчитывается в зависи мости от метода сканирования пространства. Для РЛС с механи ческим обзором полное время обслуживания At представляет со бой совокупность интервалов времени выполнения ряда последо вательных операций
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
Д* == 2 |
ОД + |
+ *ш)> |
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
где |
i — порядковый номер |
целей |
(групп |
целей), разрешаемых |
|||
|
по угловым координатам; |
|
в |
направлении |
i-той |
||
|
— среднее время переброски луча |
||||||
|
цели; |
поиска i-той цели |
в угловом стробе целеуказа |
||||
|
tni — время |
||||||
|
ния, формируемом на этапе обнаружения; |
i-той |
|||||
|
tHj — время |
сопровождения и |
измерения |
параметров |
цели (время наблюдения).
Для РЛС с фазированной антенной решеткой время электрон ного переключения луча пренебрежимо мало по сравнению с пе риодом следования импульсов. Поэтому можно принять, что на
* См. раздел 3.4.
118
интервале At обеспечивается практически одновременное сопро вождение множества целей.
В РЛС с ФАР энергия по различным угловым направлениям распределяется следующими способами:
—формированием многолучевой диаграммы направленности;
—изменением длительности зондирующих импульсов;
—управлением темпом локации.
Максимальный темп локации ограничивается величиной сред ней мощности передатчика. Минимальный темп локации опреде ляется условиями устойчивого сопровождения цели и зависит от типа траектории. Темп обращения к маневрирующей цели увели чивается пропорционально интенсивности ее маневра. Кроме того, на ограничение темпа локации снизу существенное влияние ока зывает требуемый объем сигнальной информации о целях в про цессе решения задач распознавания и идентификации.
В простейшем случае детерминированного и равномерного по тока идентичных целей энергия РЛС распределяется по целям равномерно. Максимальное число обслуживаемых целей состав ляет
где Рмакс, |
Fmiih— соответственно максимальный и |
минимальный |
||
темпы локации. |
пропускной способности |
РЛС |
||
В этом |
случае величина |
|||
|
7 |
= |
F макс |
[3.13] |
|
Рмин'^ |
Произведение Fmiih*At определяет объем выборок по каждой цели за время наблюдения At. Формулы [3.11—3.13] справедливы при условии выдачи точного целеуказания на каждую цель по угловым координатам *.
Вреальных ситуациях пропускная способность РЛС сущест венно ниже ввиду того, что число облучаемых угловых направле ний превышает число обслуживаемых целей.
Вслучае произвольного потока целей пропускная способность РЛС определяется решением задачи оптимального распределения
энергии радиолокатора в пространстве по априорным данным о совокупности характеристик целей с учетом ограничений энер гетических ресурсов РЛС.
Упрощенная постановка задачи предполагает, что в каждом разрешаемом угловом направлении находится не более одной цели с априорно известными характеристиками, такими как ЭПР (сц), отнесенная к квадрату дальности до цели (R?), и плотность мощ
ности шумов передатчика помех (Ni), прикрывающего i-тую цель.
* Т. е. в предположении, что время на поиск цели в стробе целеуказания
. не затрачивается.
119