книги из ГПНТБ / Нестеров Ю.Ф. Теория и расчет судовой тепловой изоляции

Рис. 15. Изоляционная конструкция (а) и ее прямая (б) и обрат­ ная (в) электрические модели

менты набора, неудобно. С целью упрощения расчетов всегда можно ограничиваться вычислением k лишь для периодически повторяю­ щегося участка с единичным профилем набора. Обычно шаг такого участка равен шпации s. При этом стенку набора высотой h распола­

и располагаемые посередине расстояния между стенками профилей набора, одновременно являются и граничными линиями тока тепла.

только на боковых границах, но и на оси симметрии. Поэтому для них достаточно рассматривать половину конструкции.

Однако такие граничные условия реализовать сложно, так как пришлось бы моделировать стенку с большим количеством элементов набора. Поэтому для несимметричных конструкций строгие гранич­ ные условия (39) заменяют условиями (38). Такая замена приводит к незначительной положительной погрешности. Чем больше шпация s, тем меньше погрешность, возникающая вследствие замены гранич­ ных условий, так как при увеличении шпации практически осущест­ вляемые границы (прямые, перпендикулярные к наружным поверх­ ностям) приближаются к линиям тока у краев участка.

пренебречь даже при малых шпациях. Обычно же s/h > (2,5—3,0); при этом погрешность, вызываемая заменой граничных условий, не превосходит 0,1%.

Из тепловых сеток (рис. 52, а—54, а; 58, а и др.) видно, что область влияния стального профиля на температурное поле ограничена рас­ стоянием s = (2-Г-4) h. При s > (2н-4) h линии тока у свободных краев модели становятся прямыми (неискаженными). Это означает, что при указанном условии соседние профили набора вообще не влияют на температурное поле исследуемой части конструкции. Сле­ довательно, вместо изучения влияния периодически повторяющегося набора можно исследовать влияние его единичного профиля.

Таким образом, во всех случаях граничные условия однознач­ ности задаются в следующем виде:

Для определения количества тепла, проходящего через поверх­ ность Fr конечных размеров, нужно проинтегрировать уравне­ ние (36):

Длина конструкции В (вдоль оси zT) вынесена за знак интеграла, так как В = const для всех частей изоляционной конструкции.

Таким образом, чтобы найти тепловой поток Q, необходимо знать

ходимым условием для решения всех без исключения задач тепло­ проводности. Для этого предварительно следует найти решение диф­ ференциального уравнения Лапласа (37).

Выявление аналогии. Выявим существование аналогии между тепловыми и электрическими явлениями.

Явление электропроводности управляется основным законом элек­ тропроводности (законом Ома):

Подобие граничных условий осуществляют путем поддержания постоянных потенциалов v„ и vB вдоль границ модели АС и BD (рис. 15, б), соответствующих наружной и внутренней поверхностям конструкции, для чего эти границы должны соприкасаться во всех точках с шинами, на которых v = const. Свободные края модели АВ и CD, соответствующие боковым граничным линиям тока в конструк­ ции, должны быть электрически изолированы, вследствие чего на

Математическое описание явлений формально одинаковыми диф­ ференциальными уравнениями и условиями однозначности является необходимой предпосылкой теории подобия.

Если аналогия достигнута, то числовые значения всех тепловых величин (температуры, теплового потока и др.) находятся в постоян­ ных отношениях с аналогичными электрическими величинами (по­ тенциалом, силой тока и пр.).

Введение масштабных преобразований. Аналогию явлений про­ анализируем методом теории подобия. В первой теореме теории подо­ бия утверждается, что нет необходимости изучать непосредственную -связь между отдельными размерными величинами, существенными для процесса. Значительно проще найти связь между безразмерными инвариантами подобия (симплексами и комплексами), составленными из этих размерных величин. Уравнения, выражающие связь между физическими величинами, представленные в безразмерном виде, ока­ зываются одинаковыми для всех подобных явлений. Поэтому для установления количественной связи между аналогичными физиче­ скими величинами приведем математические описания к безразмерной форме.

Для того чтобы привести к безразмерному виду геометрические условия однозначности, необходимо ввести вместо абсолютных отно­ сительные размеры конструкции и модели. В качестве определяющего размера тепловой конструкции возьмем высоту набора hT (рис. 15, а). Тогда относительные координаты температурного поля окажутся равными:

В качестве масштаба для линейных размеров электрической модели выберем сходственный размер h3 (рис. 15, б):

Большими буквами будем обозначать значения всех величин, вы­ раженных в относительном масштабе.

Если геометрическое подобие достигнуто, то относительные раз­ меры и координаты сходственных точек конструкции и модели будут численно равными:

При выборе размеров модели нет никаких ограничений. Приведем к безразмерному виду физические условия однознач­

ности для температурного и электрического полей. Физическим пара­ метром, характеризующим свойства теплопроводной среды, является коэффициент к. В качестве масштаба для различных значений к возь­

Если бы все области плоской модели имели одинаковую толщину б, то физические свойства материала определялись бы только его электропроводностью 1/р. Модель из бумаги с областями различной электропроводности получают склеиванием внакладку специальным электропроводным клеем разных (по сопротивлению) сортов бумаги с неодинаковыми толщинами б или нескольких слоев одной и той же бумаги. При этом различные области плоской модели обладают раз­

характеризующего свойства электропроводной бумаги, необходимо

сительных электрических проводимостей листов бумаги, воспроизво­ дящих различные области изоляционной конструкции: для изо­

Для того чтобы форма и расположение изолиний и линий тока в температурном и электрическом полях оказались подобными, необ­ ходимо подобрать листы бумаги таким образом, чтобы относительные

Таким образом, физическое подобие достигается подбором прово­ димостей или количества листов бумаги, имитирующих те или иные детали конструкции, по соотношениям (48).

этом решение задачи теплопроводности будет пригодно для любых температурных напоров.

Введем масштабные преобразования (49) и (45) в дифференциаль­ ное уравнение (37):

Введение масштабных преобразований в дифференциальные урав­ нения и условия однозначности не дает никаких уравнений связи

нения (55) и (56) получаются тождественно равными и отличаются

Для того чтобы решения этих уравнений были тождественными, необходимо и достаточно, чтобы безразмерные условия однозначности были численно равными.

Если модель удовлетворяет всем условиям подобия, то относи­ тельные условия однозначности получаются одинаковыми. При этом решения уравнений (55) и (56) тождественно совпадают как по форме