Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 717 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 4]	СОХРАНЕНИЕ		СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО СВОЙСТВА		57
З а м е ч а н и е .		Для	равномерно	интегрируемого	мартингала
X = (хп,	п),	1, свойство (2.24) остается выполненным и без
предположения,		что Р ( т ^ с г )= 1 .		А именно, ха= М {хх \|@~а)
({т^а},	Р-п. н.),	т. е.
		ХоА%= М(.Ѵх \&~„)		(Р-П. н.).	(2.25)
§ 4. Сохранение супермартингального свойства
для марковских моментов. Разложения Рисса					и Дуба

1.Обратимся к аналогам теоремы 2.1 для полумартингалов.

Те о р е м а 2.10. Пусть X = (хп, ,9~п), п ^ \ , — супермартин

гал, мажорирующий некоторый регулярный мартингал, т. е. пусть для некоторой случайной величины т) с М 1п | < °о

	> М (ц \|^Д),	1	(Р-п. н.).	(2.26)
Тогда, если Р(сг	т < о о ) — 1, то
	ха^ М ( х х\$~а)	(Р-п. н.).		(2.27)
З а м е ч а н и е .	Отметим, что утверждение теоремы остается
в силе и без предположения, что Р (т <			оо) = 1. Соответствующее

обобщение, опирающееся на приводимое далее разложение Рисса, будет дано в теореме 2.12.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы		2.10.	Поскольку хп=
= М (ті\|^„) + [л:„— M(ri\|Sr „)]	и (g„,	STn), %ѣ= хп — М (ті\|^„),
n ^ l , — неотрицательный	супермартингал,		то, принимая

во внимание теорему 2.9, видим, что (2.27) достаточно доказать

лишь для

случая,

когда

х „ ^ 0

(Р-п. н.).

положим

xk — x / \ k .

Покажем,

что

Мл:т < оо .

Для

этого

Тогда

Мх,

(следствие

теоремы

2.1),

поскольку

Р (т < оо )= 1,

то

ХХ ~ ХХ' 7{t <оо} ~

• %{Т<оо}] •

Поэтому по лемме

Фату

М х

l i m

Щ х г — М х , <

о о .

----

Рассмотрим теперь

моменты

xk = x / \ k ,

ak =

a f \ k . Для

них

согласно

теореме 2.1

x0k ?> М [x%k| @~0k)

и,

следовательно,

если

А е

@~а,

то

J x„k d P >

J xXkdP,

ЛП{ч<й}

ЛП{ог<й)

поскольку

А П {о <

k) е= @~ак.

МАРТИНГАЛЫ

ГГЛ. 2

Событие { а < £ } э { т < & } ,

^ > 0

(Р-п. н.).

Значит,

x0kd P >

xXkdP.

(2.28)

ЛП{ст<й}

Л(1(і<6)

Но xak — x0 на

множестве

{ст<&} и xXk -—хх на {т ^ k}. Отсюда

и из (2.28)

находим

xad P ^

хх dP.

(2.29)

Л Л ( і < 6 }

n n { t < f e }

Полагая

в (2.29)

/г-*оо, получаем

ха dP >

[

хх dР,

А П {<7 <

°°)

А Л {т <

°°}

поскольку Р(ст < о о ) — Р(т <

о о )

= 1. Теорема доказана.

Для доказательства

аналога

теоремы

2.10 без предложе

ния конечности

моментов

т и а

будет использовано так назы

ваемое разложение Рисса для супермартингалов.

О п р е д е л е н и е

Неотрицательный

супермартингал Г1 =

(Яд, &~п),

n ^

1, называется

потенциалом,

если

Мя„->0,

п ' >о о .

Заметим, что поскольку для потенциала sup

Мл] <

о о ,

то

существует

1 ітяд( = я 00)

и Мя^ < П іт Мя„ = 0, откуда еле-

дует,

что ято =

0 (Р-п. н.).

Рисса).

Если

супермартингал

Т е о р е м а

2.11

(разложение

Х = (хп, £Г„),

n ^

мажорирует

некоторый

субмартингал

Y = (Уп> &~п)> п ^ 1,

то найдутся мартингал М =

(пгп, @~п), п ^

и потенциал П — (пп,&~п),

п ^ \ ,

такие, что для каждого п

хп == win -j“ я„.

(2.30)

Разложение

(2.30) единственно

(с точностью до стохастиче

ской

эквивалентности).

Положим

для каждого п~^ 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Тогда

Хп, р == М (Хр+р I & ~п)>

1) • • •

Хп, р+1 М (хп ір+1 I п) ^ М (хп+р\

п) = Хп>р,

т. е. для каждого п ^ 1 последовательность {хп<р, р — 0, 1, ...} является невозрастающей. Поскольку, кроме того,

Хп, р М { х п + р I п) ^ М(Уп+р I&~п) ^ Упі

§ 4]	СОХРАНЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО СВОЙСТВА	59

то существует		lim *„,p(=m „) и хп ^ т п^ уп (Р-п. н.). Значит,
МI тп I <	оо и	р->СО

M(Wn+i	=	М ( lim x„+i, р \ Т п) = lim М (хп+и р \9~п) =

р -> оо р - > со

lim М (хп+)+р| $~п)=

lim

М {хп, р+і | 5Г„) =

р -> оо

р~> оо

— М ( lim лг„, р+1 |^ ) = М ( т „ 1 5 гр) =

/п„.

р ->

оо

Итак, М — (тп,@~п),

— мартингал.

т„,

то я„ ^

Положим теперь я„ =

— т„. Поскольку

Ясно также, что П =

(я„, #"„),

п ^ І ,

— супермартингал.

Оста

лось,

следовательно,

показать,

что ПтМя„ = 0.

Согласно определению

тп,

я ^

І ,

Р-п. н.

М ( я п ц_р I @~п)

М [ х п + р

НТ-п+р I & ~п\ = =

=== М \Хп+р \&~п\

Щ/г == Хп, р

Win \ 0,

>ОО.

Поэтому по теореме

1.3

Пт Мя„+Р =

Пт

Г я„+р0Р =

Нт

М (я„+р \9~п) dP =

р -¥ со

оо

Установим теперь

единственность

разложения (2.30).

Пусть

хп =

тп -\- пп— другое

разложение того же типа. Тогда

М [хп+р I

п] =

М [пгп+рI &~п1 + М [Лп+рI &~„] —

-f

М [я„+р| ^

„].

Но при р->

оо Р-п. н.

M[*n+p|0"n]-*m„,

М[^га+р і з м - о .

Поэтому

тп =

тп, а я„ =

я„ (Р-п. н.)

для

всех я ^ 1.

Применим

разложение

Рисса

для

доказательства сле

дующего предложения, обобщающего теорему 2.10.

Т е о р е м а

2.12. Пусть

X =

(хп, ЗПп),

я ^ І ,

-—супермартин

гал,

мажорирующий

некоторый

регулярный

мартингал

(хп ~^

^ М (ті|^ '„ )

Оля некоторой случайной

величины rj

с М | г) | <

оо,

1, Р-п. н.).

Тогда,

есл« Р (т ^ а )= = 1 ,

то Р-п. н.

*ст> М (* т| ^ а).

(2.31)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Представим хп в виде хп= М (л| Ѳ~Р)+

где

$„=

хп — М (лі &~п).

Супермартингал

Z = (j„, #"„), я > 1 ,

согласно

теореме

Рисса

допускает

разложение

$„ =

/п„ +

я„.

Заметим,

что

качестве

тп

можно

взять

^ l ^ ) ,

где

5оо =

1 іт?«>

Пп

взять

равным

М ( J j У п). Поэтому хп =

~ М (л +

1&~п) + я„.

60	МАРТИНГАЛЫ	[ГЛ. 2
Мартингал (М (г\| +	J j \| #Д), га>1,	регулярен, и к нему при

менима теорема 2.9. Поэтому достаточно лишь установить, что

л0 > М (ят \ &~а).			в теореме		2.10,		для	всякого
Как	показано
			J	па dP ^			I	nxdP.
			А П [а <	со}		А Л [т <		°°)
Учитывая		теперь,	что яте =		0 (Р-п. н.),			получаем
				) я0 dP ^			j я,гіР.
			к				А
Вместе с теоремой				2.9	это неравенство доказывает (2.31).
4.		О п р е д е л е н и е			5.	Случайный процесс Ап, п = 0, 1, . .
заданный		на вероятностном				пространстве (й, £Г, Р)			с выделен
ным на нем неубывающим семейством а-алгебр									...
. . . s	,	называется возрастающим,						если
1) 0 =		Л0< Л , < ...		(Р-п. н.),

инатуральным, если

2)Ап+і ^"„-измеримы, п = 0, 1, ...

Те оре ма 2.13 (разложение Дуба). Всякий супермартингал*)

Х = (хп,@~п), 0, допускает единственное (с точностью до стохастической эквивалентности) разложение

		хп = пгп — Ап, п >	0,	(2.32)
где М =	(тп, £Гп),	п ^ О , — мартингал,	а Ап, п ^ О ,	— нату
ральный	возрастающий процесс.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Одно из разложений типа (2.32) полу
чается, если положить
	m0 = x0,	mn+i — пгп = хп+1 — М (xn+l \tFn),
	Л = 0,	Ап+1 — Ап = х п— М (хп+, ISTJ .		(2‘33)

Пусть теперь есть еще одно разложение: хп — т ' — А ', п ^ О .

Тогда
	Л*+і ~		А'п = « + і - О + (хп - хп+1)-			(2-34)
Отсюда,	учитывая,		что А'п и А'п+1	^„-измеримы,	находим (беря
в (2.34)	условное	математическое		ожидание М ( • I S'«))
	Ап+і	Ап хп м {Хп+І l&~tг) == Ап+1			Ап.

Но А ' = А0 — 0, поэтому А'п = Ап, т ' = тп, я > 0 (Р-п. н.).

*) Здесь удобнее (имея в виду последующие применения к случаю непре рывного времени) рассматривать супермартингалы, определенные для п ^ О (а не для 1, как было ранее).

§ 4]	СОХРАНЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО		СВОЙСТВА	6!
С л е д с т в и е 1. Если		П = (я„, &~п), п ^ О , — потенциал,		то
существует	натуральный	возрастающий	процесс Ап, п = О,
1........ такой, что

я„ = М 0 4 J &"п) — Ап,

где Л ^ ^ Н т Л ,,.

	П						т „ — Ап, где (тп, £Гп) —
Действительно, согласно теореме я„ =
некоторый		мартингал.			Покажем, что тп — М (Л^І @~п).					Имеем
0 < Ап = тп —					и	0 < Л „ < Л оо,	где	МЛте = lim МЛ„ =
— П т [Ыт0— МяД =									П
				Мт0< оо. Поэтому последовательность Л0,
П				интегрируема. Величины я0, л {, ...						также
Л1, . . . равномерно
равномерно интегрируемы,						поскольку я „ ^ 0		и Мя„->0,		/г-> оо.
Отсюда	вытекает,		что		такова же и последовательность						т0,
ти ...	Из теоремы			2.7	получаем, что существует moo =					limm„,
причем	тп = М(тоа\ @~п).									П
						Обозначим я^ — іітя „. Тогда я00 =
								П			Лм
= lim [тп— Ап] = tn^ — Ах . Но я^ = 0 (Р-п. н.), поэтому т„ =
П
(Р-п. н.). Значит,
пп = тп — Ап =				М (m^ I Т п) — Ап =			М(Л*, \| Т п) — Л„.
С л е д с т в и е .			2.	Если		супермартингал		Х — {хп,9 гп),		п ^ О ,
мажорирует		некоторый			субмартингал		Y — {yn,&r^),		п ^ О ,		то
существует		натуральный				возрастающий	процесс Ап,		п ^ О , и
мартингал (тп,@~п),				п ^ О ,		такие, что
	х„ = пгп -\- М(Лоо\|^"„) — Ап,						0	(Р-п. н.).		(2.35)

Доказательство сразу следует из разложения Рисса (2.30)

ипредыдущего следствия.

5.Натуральный процесс Ап, п — 0, 1, . . . . по определению является #'„_,-измеримым (а не только ^„-измеримым) при каждом n ^ 1. Этому допущению можно придать несколько иную, но эквивалентную формулировку, оказывающуюся более

удобной в	случае	непрерывного времени (см. § 3 в гл. 3).
А именно,	пусть 0 =	Л0 ^	А,	. .., где случайные величины А„
STп измеримы и МЛ^ <			оо.

Т е о р е м а 2.14. Для того чтобы Ап были &~п- г измеримыми, п ^ \ , необходимо и достаточно, чтобы для каждого ограничен

ного мартингала Y =	(уп, @~п),	п = 0, 1,	... ,
оо	У п - 1(Л„	Л„_і) =	Мг/^Л^,
м 2	У п - 1(Л„	Л„_і) =	Мг/^Л^,	(2.36)
n=l

где Уоо = [ІтУп-

62 М А РТИНГАЛЫ [ГЛ. 2

Д о к а з а т е л ь с т в о .					Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть Ап					п-гиз-
меримы,	МАХ <		оо. Тогда, поскольку
то			Щ	п А ѣ = Щ п - \ А п ,						(2-37)
то
оо						N
М 2 У п - \ ( А п — Л„_,) =					l i m М 2 у п - і ( А п — Л„_,) =
ГС=1				N-*oo		п—1
		N
=	l i m	2 [Мг/„Л„—					l i m Мг/Ид, =			М ^ Л ^ .
	N->oo п=1						іѴ-> оо
Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть						выполнено (2.36).			Тогда
				оо
				м 2	Л„ [Уп-\ — Уп\ = 0					(2.38)
				П=1
для любого		ограниченного				мартингала		Y = (yn,3Tn),		п ^ О .
•Воспользуемся			теперь		тем	фактом,	что	если	Y =	(yn,&~n),
п ^ О , — мартингал,				то	«остановленная»			последовательность
(Упа-і’ ^	п)’		также будет мартингалом для любого мар
ковского момента т (см. далее теорему 2.15). Беря										т = 1 и
применяя (2.38)			к мартингалу (упАр@~п)> получим, что
				М А Л У о - у д ^ О .						(2.39)
Аналогичные			рассуждения			с т = 2,	т =	3, и т. д. приводят

к тому, что если справедливо (2.38), то тогда имеют место

равенства			(2.37)	для	любого		ограниченного мартингала F —
==(Уп, &~п),			tt> 0 .
Из (2.37) следует, что
			М {\уп -		*/„_,] [Л„ -		М (Л„( 0V ,)]} = 0.				(2.40)
Положим уп+т = Уп,						т > 0 ,
	Уп — sign [Л„ — М ( А п \&~„_[)],							Ук =	М(Уп\$~к),		k < n .
Тог'да из (2.40) находим
о =	М {sign [ А п -			М ( А п		\ P n - i ) ] - У п - і ) { А п -				м ( А п	=
	=	М {sign [ А п -			М ( А п І0Ѵ.,)]} { А п -				М ( А п \|Г„_,)} =
								= М \| Л „ - М ( Л ге\| ^ _ , ) \| ,
откуда		А п — М ( А п				(Р-п.	н.),	т. е.	А п ^ ’„_1-измерлмы.
6. Т е о р е м а				2.15.		Пусть	Х — (хп, &~п),			1, — мартингал
(полумартингал)				и т =		т(ю) — м. м.		относительно системы (&~п)>
п ^	1. Тогда «остановленная»						последовательность (хпАХ, @~п),
п~^	1, также является мартингалом (полумартингалом).

§ 4] СОХРАНЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО СВОЙСТВА 63

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Достаточно		доказать	теорему		для
случая, когда X является супермартингалом. Из					равенства
^ х А п		^	^ т^{ Х—т)	х > л}
		т < п		1
следует, что величины хХап ^-измеримы , интегрируемы							при
любом п = 1,2, ...	и х Х А ( п + ] ) -		хтЛга = %{х>п) ( х п+1 -		Х п ) .	Поэтому
М [ххМп+1) -	хХАп I ЗГп) = Х(х>п)М (хя+1 - *„ I Г п} <					О,

откуда очевидным образом получаем утверждение теоремы. Заметим также, что эту теорему можно было бы непосред

ственно вывести из (2.5) (для супермартингала). Действительно, беря в (2.5) а = т и вместо т беря тДм, находим что Р-п. н.

Хх л т = Х і х Л п ) Л т > Щ Хх Л п \ Я ~ т>

				Г Л А В А		3
	МАРТИНГАЛЫ И ПОЛУМАРТИНГАЛЫ.
		НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ
	§ 1. Непрерывные справа полумартингалы
t ^	1. Пусть (О, , Р) — вероятностное пространство и F = (&~t),
	0, — неубывающее семейство о-подалгебр								О
	О п р е д е л е н и е		1.	Супермартингал			Х — (х{, @~t),
(М \|Х ;\|< оо ,		М (xt \&~s) ^		xs,	t ^ s )	называется		непрерывным
справа, если
	1) траектории xt непрерывны справа Р-п. н.;							т. е.
	2) семейство (SFt),		ti^O,		непрерывно справа,
			=		s > t	t > 0.

	Многие из результатов предыдущей главы переносятся								на
непрерывные		справа супермартингалы и субмартингалы (т.							е.
на	полумартингалы).		всего		один полезный		результат, дающий
	Приведем	прежде
условия существования у супермартингала							X — (xt,!F t),		0,
непрерывной		справа	модификации.					0, непрерывно
	Т е о р е м а 3.1. Пусть семейство F = (£ГД
справа. Для		того чтобы супермартингал					X — (xt, £Tt),		0,

допускал непрерывную справа модификацию, необходимо и

достаточно,	чтобы функция mt = M x t,	0,	была непрерывной
справа.
Для доказательства нам понадобится следующая.
Л е м м а	3.1. Пусть X = (xt,£ Tt),	t ^ 0 ,	— супермартингал,

для которого существует такая интегрируемая случайная вели

чина у, что xs ^ M ( y	\|£%)	Р-п. н., s ^ 0.	Пусть т, ^		х2^	.. . —
невозрастающая последовательность марковских моментов.						Тогда
семейство случайных	величин {.хХп, п =		1, 2,	...}	равномерно
интегрируемо.		Положим уп — хХп,			$ГХп.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				=		Тогда
по теореме 2.10 хХп ^	М (хХп_11@~хп) или,		в новых обозначениях,

У п > М ( У п - і 1 % ) .

(3.1)

§ П

НЕПРЕРЫВНЫЕ СПРАВА ПОЛУМАРТИНГАЛЫ

Отметим для дальнейшего, что

Млг0 ^

Муп>

Шуп- \ >

Мг/.

Возьмем

теперь

е > 0

найдем

такое k~k(e),

что

lim Муп — Му* < е . Тогда

для

всех t i ^ k

Муп — Myk < е.

(3.1)

для

Далее, в силу

j \y n \d P =

yndP —

yndP =

{\yn\> x)

{yn>K)

{»„<-*■}

= My„ —

yn dP —

yn dP <

г/А GfP —

ykdP^

(Уп<И

{Уп<-Ц

< e + M y k —

y k d P ~

[

yfec f P < e +

[

| y k |rfP. (3.2)

{»».<*}

{»n<-4

{| »„]>*}

м \Уп \

МУп + 2МУп ^

+ 2M I У

Р { \ У п \> Ц <

при Л —> оо. Поэтому

sup

(

\y k \dP-*0,

X-».00,

«> ft ,,

•L

и, значит, согласно (3.2)

lim sup 1 _ и Я-“>V оо П^ fe

JГ I Уп \dP <ie.

(3.3)

(1 У п \ > 4

Поскольку величины

y u . . . ,

yk интегрируемы, то

для

дан

ного е >

найдется такое L >

что

max

Уі I dP <

{\»i\>L}

Вместе c (3.3) это влечет за собой

равномерную

интегри

руемость

последовательности

г/ь

у2, ...

Лемма

доказана.

со

З а м е ч а н и е .

Если

Р (т 1^ А г) = 1 ,

N < o o ,

то

лемма

храняет свою силу без предположения

xs ^

М (г/ \@~s)> s!>0,

поскольку

тогда

достаточно

рассматривать

лишь

s е [О,

Л/],

а для таких s

М (у \&~s) с у=*хN, Ml xN | <

оо.

t2,

... —

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

3.1.

Пусть

числовая

последовательность

такая, что

^ ^

t2^

• •

• ^

tn I t>

3 Р. Ш Липцер, А. Н. Ширяев

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

п-* оо. По предшествующей лемме величины (xtn, п = 1, 2, ...) равномерно интегрируемы, и поэтому из неравенства

(Р-п. н.)

(3.4)

получаем (теорема

1.3)

xt > M ( x t+\&'t)

(P-п.п.),

(3.5)

где *) xt+ =

lim Xfn.

Согласно

^~t =

Srt+, а xt+, очевидно,

@~{+-

предположению

измеримо. Поэтому из (3.5) следует

равенство Р (xt ^ xt+) == 1.

Предположим теперь,

что mt = mt+, т. е. Мл:, — Млу+. Тогда

из равенства Р (лу ^ х,+) =

сразу следует,

что Р (xt = xt+) = 1.

Тем самым,

у супермартингала X = (xt, SFt),

существует

модификация

Х + — (xt+,

t),

траектории

которой,

оче

видно, непрерывны справа с вероятностью 1.

Пусть теперь у супермартингала

X — {xt, 5Гt), t ^ O , суще

ствует

непрерывная справа

модификация

Y =

(yt, tFf),

Тогда,

поскольку

P(xt = yt) = l ,

0, то

Mxt =

Myt,

и по

лемме 3.1

lim M(/s =

М lim ys == Мyt+ — Мyt.

s-^t

s^t

Иначе говоря,

математическое

ожидание

tnt =

M.v, ( =

Myt)

непрерывно

справа.

мартингал

X = (xt,&~t),

^~t — SFt+1

С л е д с т в и е .

Всякий

допускает непрерывную

справа

модификацию.

З а м е ч а н и е .

В теореме 3.1 предположение о непрерыв

ности

справа

семейства

F =

{@~t),

і ^ О ,

является

существен

ным. Если оно не выполнено, то для существования непре

рывной	справа	модификации у супермартингала	X =	(xf,3?~t),
0,	достаточно, например, чтобы процесс		хь	0,	был н
прерывным справа по вероятности в каждой точке				t,	т. е.
чтобы P-lim xs =		xt.
	s-^t

§ 2. Основные неравенства. Теорема сходимости. Сохранение супермартингального свойства

для марковских моментов

1. Т е о р е м а 3.2. Пусть X — (xt,$~t), t ^ T , — субмартингал непрерывными справа траекториями. Имеют место следующие

*) Существование Р-п. н. предела		lim x f	вытекает из теоремы 2.6,
поскольку последовательность (л,	t ),	п — I, 2,	.... образует субмартингал.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 717 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ