книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

680 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17

о

Пусть а, ß — заданные числа, 0<cc + ß<l, и Да> р— рассмот­ ренный выше класс последовательных планов. Обозначим Ат =

= (Т, 0т) план, принадлежащий классу Да, р и имеющий фиксиро­ ванную длительность наблюдения, равную Т , 0 < Г < ° о . (Приме­ ром такого плана является тест Неймана—Пирсона.) Тогда

тогда согласно (12.34) и (12.35) условное математическое ожи­ дание mt = М (Ѳ, I &~)) и условная дисперсия у,=М \{üt — mt)2 \ 3~Ц

задавались бы формулами

t

определяемая формулой (17.143), превращается в оценку макси­ мального правдоподобия для параметра Ѳ.|

кистинному значению параметра Ѳ. Из (17.143) следует, что

Но из леммы 17.4 следует, что верхний предел в правой части (17.147) равен нулю Рѳ-п. н. для любого Ѳ. Следовательно, если истинное значение неизвестного параметра равно Ѳ, то Рѳ-п. н,

нием (17.146), являющимся типичным примером уравнений, определяющих алгорйтм стохастической аппроксимации..

Интересен вопрос о том, насколько «быстро» процесс m“, 0, сходится к оцениваемому значению Ѳ. Поскольку т “—»-Ѳ с Рѳ-вероятностью единица, то для Рѳ-почти всех со и е > О

найдется (наименьший) момент те (со; а) такой, что | mf — Ѳ|г^е при всех / ^ т е(ш; а). (Заметим, что момент т = те (со; а) не яв­

ление вероятностей для случайной величины е2т£ (со). Поскольку

ПРИМЕЧАНИЯ

Глава 1

§I. Аксиоматика теории вероятностей изложена в работе Колмогорова

[86].Доказательства приводимых теорем 1.1—1.5 можно найти во многих

руководствах. См., например, монографии Дуба [46], Лоэва [120], Колмого­ рова и Фомина [89], Мейера [126]. Теорема 1.6 доказана в статье [11]. При­ водимая формулировка леммы Фату (теорема 1.2) содержится в [160]. Дока­

эквивалентных процессах см. [126]. Стационарным процессам посвящены книги Розанова [139], Крамера и Лидбеттера [91], известная статья Яглома [172]. Современной теории марковских процессов посвящены монографии Дынкина [47], Блюменталя и Гетура [12]. В книге Прохорова и Розанова [135] читатель найдет основные факты теории стационарных и марковских процессов.

§3. Свойства марковских моментов мы излагаем, следуя Мейеру [126], Блюменталю и Гетуру [12], Ширяеву [169].

§4. Исчерпывающие сведения о процессе броуновского движения содер­ жатся в книгах Леви [100], Ито и Маккина [61], Дуба [46], Гихмана и Ско­ рохода [34], [36].

§5. Подробнее об использованных понятиях математической статистики см. книги Линника [106], Крамера [90], Фергюсона [153].

Глава 2

§ 1—4. Теория мартингалов и полумартингалов для случая дискретного времени изложена у Дуба [46], Мейера [126], Невё [130], Гихмана и Скоро­ хода [37].

статьи Рао [137] (см. также Мейер [126]).

Глава 4

§ 1. Доказательство теоремы .Леви о том, что всякий винеровский про­ цесс является процессом броуновского движения, есть у Дуба [46]. Мы при­ водим другое доказательство. Хотя специалистам и известен результат о не­

ского процесса Wa, s t, доказательство этого результата (теорема 4.3) при­ водится, по-видимому, впервые.

и свойства стохастических интегралов можно найти в недавних книгах Гих-

§ 4. В стохастических дифференциальных уравнениях следует существен­ но различать понятия сильных и слабых решений. Слабые решения рассмат­ ривались Скороходом [144], Ершовым [52], [53], Ширяевым [166], Липцером и Ширяевым [111], Ямада и Ватанабе [174]. Существование и единственность сильных решений при интегральном условии Липшица (4.110) доказана Ито и Нисио [62]. Утверждение теоремы 4.7 содержится в статье Каллианпура и Стрибел [74]. Мы приводим иное доказательство.

способом доказана Кларком [85], Доказательство теоремы 5.5 сходно с дока­ зательством Вентцеля [18].

§ 3. Утверждения теоремы 5.6 частично содержится у Кларка [85]. До­ казательство представления для гауссовских случайных величин принадлежит авторам. Теорема 5.7 доказана Кларком [85]. Утверждения типа теорем 5.8

и5.9 можно найти также у Вентцеля [18].

§4. Конструкцию стохастического интеграла по квадратично интегри­ руемым мартингалам мы приводим, следуя Куррежу [96].

§5. Теоремы 5.13 и 5.14 являются новыми. Теорема Фубини для стоха­ стических интегралов была впервые дана Каллианпуром и Стрибел [75]. Ее обобщения см, также в статье Ершова [51]. Приводимое нами доказатель­ ство основано на использовании результата теоремы 5.14.

§ 6. Структура функционалов от процессов диффузионного типа в слу­ чае bt{і) s= 1 изучалась в работе Фуджисаки, Каллианпура и Кунита [156].

на 1 + s и Ѵ2 + е эта теорема была доказана соответственно Гихманом и Скороходом [36], Липцером и Ширяевым [118].

§ 3. Теорема 6.2 обобщает важный результат Гирсанова [31], сформули­ рованный в теореме 6.3.

Глава 7

§ 1, 2. Некоторые общие вопросы абсолютной непрерывности мер в функ­ циональных пространствах содержатся в статье Гихмана и Скорохода [35]. Абсолютная непрерывность винеровской меры при различных преобразова­ ниях изучалась Камероном и Мартином [80], [81], Прохоровым [134].

Результаты этих параграфов получены Ершовым [53], Липцером и Ши­ ряевым [118], Кадота и Шеппом [66].

686 ПРИМЕЧАНИЯ

§ 3. Структура процессов, мера которых абсолютно непрерывна и экви­ валентна винеровской, изучалась Хитсуда [158], Липцером и Ширяевым [118], Ершовым [53], Кайлатом [69].

§ 4. Представление (7.73) для процессов Ито с помощью обновляющего процесса W было получено Ширяевым [166] и Кайлатом [67]. См. также статьи Ершова [52], Липцера и Ширяева [111], Фуджисаки, Каллианпура и Кунита [156].

§ 5. Лемма 7.2 в случае гауссовских процессов с нулевым средним до­ казана в статье Кадота [64]. Приведенное доказательство возможности све­

о

ставления для семиинвариантов, см. Леонов и Ширяев [103], Ширяев [164]. Другое доказательство гауссовости можно получить с помощью теоремы 2.8, приведенной Дубом [46].

'§ 6. Результаты этого параграфа получены авторами.

§ 7. Теорема 7.21 обобщает известный результат, принадлежащий Каме­ рону и Мартину [80], [81].

§ 8. Теорема 7.22 обобщает известное неравенство Рао — Крамера [90]

инеравенствоВолфовитца [22].

§9. Леммы 7.3 и 7.4 содержатся в статье Каллианпура и Стрибел [74].

гих авторов. Прежде всего необходимо отметить классические работы Колмо­ горова [87] и Винера [21], которые в рамках линейной теории рассмотрели задачу построения оптимальных оценок для случая стационарно связанных процессов. Развернутое изложение их результатов вместе с достижениями последних лет содержатся у Яглома [172], Розанова [139], Прохорова и Ро­ занова [135]. По поводу результатов, касающихся нелинейной фильтрации, см., например, работы Стратоновича [146], [147], Вентцеля [19], Вонэма [25],

Кушнера [98], [99], Ширяева [165], [166], [170], Липцера и Ширяева [111], [114]—[116], Липцера [108]—[ПО], Кайлата [67], [70], Фроста и Кайлата [155],

Стрибел [148], Каллианпура и Стрибел [74], [75], Ершова [50], [51], Григелиониса [41]. Приводимый вывод следует в основном статье Фуджисаки, Кал­ лианпура и Кунита [156]. Первые общие результаты по построению оптималь­ ных нелинейных оценок для случая марковского процесса были получены

получены Стратоновичем [147], Липцером и Ширяевым [112]—[116], Липце­

ром и Ширяевым [111]. Результаты о единственности решения принадлежат Розовскому [140].

Глава 9

§ 1—3. Частные случаи теоремы 9.1 были опубликованы в работах Во­ нэма [25], Ширяева [166], Липцера и Ширяева [166], Стратоновича [147]. Приводимый мартингальный вывод дается впервые. Единственность решения