книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы
.pdf« 5] |
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ |
669 |
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
Полагая в (17.100) |
т(|) = |
тя (£) и обозначая 6Я (|) = Ѳ,я (6)і |
|
получаем для оценки |
бя (|) |
представление (17.92). Для про |
||
верки свойства (17.93) достаточно заметить, что
|
Рѳ{тя ® |
> t) = р j |
j al (I) ds < |
H J , |
||||
откуда |
в силу (17.90) вытекает, |
|
что |
|
||||
|
Рѳ{тя (S) = |
00) = |
рѳ I |
хнj |
a? (£) dt < H |
} = 0. |
||
Далее, |
(5) |
|||||||
|
|
« © |
= 0 |
- j |
|
I |
at {l)dW , |
|
и по лемме 17.4 |
величина [6Я (g)— Ѳ] У н является нормально |
|||||||
распределенной, |
IV (0,1), для каждого Ѳ. |
|
||||||
Наконец, согласно теореме 7.22 для любого несмещенного
плана Д = А(т, б), |
удовлетворяющего условиям (17.96) и (17.97), |
||||||||||
Мѳ[6 (!)-Ѳ ]2> |
|
|
|
|
н |
--- ОО < |
Ѳ < |
оо. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение этого неравенства с (17.95) |
показывает, |
что |
план |
||||||||
Дя = |
Д (тя, 6Я) является оптимальным в среднеквадратическом |
||||||||||
смысле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана. |
|
|
|
смысл |
константы Н > 0, |
||||||
2. |
Свойство |
(17.95) раскрывает |
|||||||||
входящей в определение планов Ая = |
Д(тя, бя): если требуется |
||||||||||
построить последовательный план, для которого дисперсия |
|||||||||||
ошибки (при |
всех |
Ѳ, — оо < |
Ѳ< оо) |
равна заданной |
величине |
||||||
е > 0, |
то в |
качестве такого |
плана |
можно взять план |
Дя== |
||||||
= Д (т-Н’ ötf) с |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно утверждениям теоремы 17.6 этот план обладает |
|||||||||||
рядом |
несомненных достоинств: |
он |
является |
несмещенным, |
|||||||
а тот факт, что распределение величины (6Я (|)—Ѳ) У Н является |
|||||||||||
в точности нормальным, N ( 0, 1), |
дает |
возможность строить |
|||||||||
для Ѳ доверительные интервалы.
Возникает, однако, существенный вопрос: не являются ли эти достоинства следствием того, что.среднее время наблю дения Мѳтя является слишком большим? В приводимой ниже
670 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17
теореме для случая *) at (х) = xt даются оценки этого среднего
времени в зависимости от задаваемой величины дисперсии ошибки.
Т е о р е м а |
17.7. |
Пусть |
наблюдаемый |
процесс |
\ t, tT^- 0, |
|
имеет дифференциал |
|
|
|
|||
|
|
|
d \t = |
B%t dt + dWt. |
|
( 1 7 . 1 0 1 ) |
Тогда |
для |
последовательного плана Дя = |
Д (тя, бя), Я > 0, |
|||
при всех |
п = |
1,2, ... |
|
|
|
|
|
|
М ѳт « ( £ ) < о о , |
— о о < Ѳ < о о , |
( 1 7 . 1 0 2 ) |
||
и |
|
|
|
|
|
|
Мѳтя Ш < 2 [ [ Ѳ | Я + |
2 \ / я ] + |
(Ѳ2Я2 + 4Я) + 2Я , |
(17.103) |
|||
—оо < 0 < оо.
Вслучае Ѳ< 0 для Мѳтя (|) справедлива оценка снизу:
|
|
|
|
|
|
|
Метя ( |) > — 2ѲЯ. |
|
|
|
|
|
(17.104) |
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде |
всего |
|
заметим, |
что |
в рас |
||||||||||
сматриваемом случае оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тя |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ы & ) = T f j |
b ä h |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
может быть переписана в следующем |
виде: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
• |
J2 (?) ~ ХН (І) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
Ьн ( 1 ) - |
%н' 2Н |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства неравенств (17.102) заметим, что по |
|||||||||||||||
формуле |
Ито |
|
|
|
і |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
if = |
20 Jg*ds + 2 |
l 8dWs + |
t. |
|
|
(17.105) |
|||||
Отсюда получаем |
|
|
|
Jт ц (5 )/ |
|
|
|
|
|
|
||||||
Н |
т я |
(?) |
/ й |
Х ң (1) |
f |
|
|
( |
t |
|
|
|
|
|||
|
= |
|
й |
|
=;2ds2\dѳt + |2 |
|
SsJ* |
|
I dt -f- 4 д ) |
|||||||
|
о |
|
|
о |
\ |
о |
|
|
о |
чо |
|
|
|
|
|
|
|
) |
Из теоремы |
17.4 |
следует, |
что Pg |
|
dt — оо |
= |
1, |
I ѲI < |
00. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
§ 5] |
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ |
671 |
|
и, следовательно,
хн (6) ( <t |
\ |
тя <б) / •( |
|
\ |
|
|
||
т |(|)< 2 Я - 4 Ѳ |
I |
|
|
К |
« 7, |
\ о |
|
|
|
ѵ 0 |
|
/ |
|
о |
|
||
< 2 Я + |
4 |Ѳ |тд(|) + |
4тя (|) sup |
|
I« |
|
(17.106) |
||
Обозначим |
ß = |
|
sup |
|
Тогда |
из |
(17.106) |
|
|
|
0 < t < , X H (l) j L |
||||||
получим |
|
J |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тн2 ( 1 ) - 4 т н (|)[|Ѳ|Я + р ] - 2 Я < 0 , |
|
|
||||||
а значит для каждого Ѳ |
|
|
|
|
|
|||
хн (l) |
< 2 [ IѲIЯ + |
ß] + |/iT T 0T F + ßF + 27T |
(17.107) |
|||||
По теореме |
3.2 |
для |
р > |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
p\ |
|
XH (?> |
|
|
Moßp = Мѳ |
sup |
|
|
J |
1s dWs |
|||
Is ds |
|
|||||||
\ о |
|
(? ) |
0 |
|
|
0 |
|
|
Поэтому (p = 2m)
*Я<?> 2m
м » Г < ( ^ т Г м »
|
|
|
|
|
( 2 m - 1 ) ! ! / r < ° ° |
’ (17Л08) |
||
поскольку случайная величина |
*я<5) |
d W s~ N ( 0 , H ) . |
|
|||||
J |
\ s |
|
||||||
Из (17.107) и (17.108) |
|
о |
|
|
|
|
||
получаем неравенство Мѳ[тя (£)]п< оо, |
||||||||
— оо < |
Ѳ< оо, п = |
1,2, |
... В частности, |
для случая п = 1 |
||||
Мѳтя ( і К 2 [ | Ѳ | Я + |
(Мѳр2)’/2] + 1/8 (Ѳ2Я2 + |
MOß2) + 2Я < |
||||||
|
|
< 2 [ | Ѳ |Я + |
2)/ЯІ + |
/8(Ѳ 2Я2 + |
4Я) + 2Я. |
|||
Для вывода оценки (17.104) достаточно заметить, |
что в слу |
|||||||
чае Ѳ< |
0 из (17.105) следует неравенство |
|
||||||
|
|
|
|
|
х н |
(?) |
|
|
|
Тя(6)> — 2ѳ я - |
J |
Is |
d W s . |
|
|||
Усредняя обе части этого неравенства, получаем оценку (17.104). Теорема доказана.
672 |
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ |
ГИПОТЕЗ |
[ГЛ. 17 |
|||||
§ 6. Последовательное различение двух |
простых |
гипотез |
||||||
|
|
для процессов |
Ито |
|
|
|
||
1. Пусть на вероятностном пространстве (П, |
, |
Р) заданы |
||||||
неубывающее семейство сг-алгебр $Ft, |
О, $F |
, винеровский |
||||||
процесс W = (W(, |
t) и (ненаблюдаемый) |
независящий от W |
||||||
процесс Ѳ= |
(Qt, 3Tt), |
0. Относительно наблюдаемого процесса |
||||||
| = (^,£Г,), |
0, имеются гипотезы |
|
|
|
|
|||
|
Я 0: |
d\t—dWt, |
|
|
io == |
0 , |
|
|
|
Я ,: |
d i , = |
0 t A |
+ |
dH7/f go = |
0 . |
|
|
Иначе говоря, если |
процесс Ѳ трактуется |
как «сигнал», а ви |
||||||
неровский |
процесс как «шум», |
то |
рассматриваемая |
задача со |
||||
стоит в различении двух гипотез относительно присутствия (ги потеза Н х) или отсутствия (гипотеза Н 0) сигнала Ѳ по резуль
татам наблюдений за процессом Будем рассматривать последовательные планы А — Д(т, б)
различения гипотез, характеризуемые моментом прекращения наблюдений т и функцией заключительного решения б. Пред
полагается, |
что т — %(х) |
является марковским моментом (от |
||||
носительно системы <%і = |
о {х: |
xs, |
s ^ t ) , где x — |
(xt), |
0 ,— |
|
непрерывные |
функции с |
х0 = |
0), |
а функция б = |
б(х) |
^ -и з |
мерима и принимает два значения: 0 и 1. Решение б(х) = 0 будет отождествляться с решением о принятии (справедли вости) гипотезы Н 0. Если же ö(х) = 1, то будет приниматься
гипотеза Н\. |
б) свяжем величины*) |
С каждым планом А = А(т, |
|
а (Д) - Р, (б (I) = 0), |
ß (А) = Р0 {6 (£) = 1}, |
называемые вероятностями ошибок первого и второго рода.
Хорошо известно **), что для |
случая |
Ѳг = |
с=^0 |
в классе |
||||
Да, ß |
последовательных планов Д = Д(т, |
6) |
с а (Д) <1 а, |
ß (Д) |
ß |
|||
(а и |
ß — заданные константы, |
a + |
ß < |
1) |
и М0т ( £ ) <° о , |
|||
МjT(£) < |
оо существует план Д = |
Д(т,'б), |
оптимальный в |
том |
||||
смысле, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М0т < М 0т, |
М, т<М, т |
|
(17.111) |
|||
для любого другого плана А = А (т,б) <= Да, р.
Оказывается, что в определенном смысле этот результат может быть распространен и на более общий класс случайных процессов Ѳ= (Ѳ„ STt), t ^ 0.
*) Pj обозначает распределение вероятностей для случая, когда рас сматриваемый процесс £ удовлетворяет гипотезе і = 0, 1. Через Mj бу дет обозначаться соответствующее усреднение.
**) См., например, § 2- гл. 4 в [169J.
§ 6] |
|
|
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ РАЗЛИЧЕНИЕ |
ГИПОТЕЗ |
|
|
673 |
||||||||||
= |
Будем |
предполагать, |
что |
рассматриваемый |
процесс |
Ѳ |
|||||||||||
(0,, SFt), t~^ 0, удовлетворяет условию |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
М |Ѳ<I < |
оо, / < |
оо, |
|
|
|
(17.112) |
||||
|
P i I J m 2t ( l ) d t = |
|
оо j = Р0 I J m 2t { l ) d t = |
о о j = |
1, |
( 1 7 . 1 1 3 ) |
|||||||||||
где функционал m t ( x ) , |
|
0 , |
таков, что |
|
при почти всех t ^ О |
||||||||||||
|
|
|
|
т Ш = М,(Ѳ, |^ f) |
Р-п.н. |
|
|
|
|||||||||
= |
Через Да, р обозначим |
класс |
последовательных |
планов |
Д = |
||||||||||||
А (т, б) |
с а (А) ^ |
а, |
ß (А) ^ ß, |
где а -f ß < 1, и |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Т (?) |
|
|
|
|
|
|
т (?) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
М ! J |
m ) ( \ ) d t < o o . |
(17.114) |
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
17.8. Пусть выполнены условия (17.112), (17.113). |
|||||||||||||||
Тогда |
в |
классе Да, р |
|
существует план А = А (т, |
б), |
оптималь |
|||||||||||
ный в том смысле, |
что для любого другого плана А = |
А (т, б) е |
|||||||||||||||
е |
ß |
|
|
|
|
г (?) |
|
|
|
т (?) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М0 I |
|
пг\ |
(£) dt < |
М0 [ |
т ] |
|
(£) dt, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
(17.115) |
|
|
|
|
|
|
|
Т<?) |
|
|
|
Т(?) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
М , J |
|
|
|
|
m \ { l ) d t . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
План |
А = |
А (т, 6) |
определяется соотношениями |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
т (І) = inf{t: |
|
|
|
В ) } , |
|
(17.116) |
||||||
|
|
|
|
|
ö |
(I) |
|
,1 , |
|
|
|
|
|
|
(17.117) |
||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
^t(l) ^ |
A, |
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(I) = |
|
|
|
у |
m*(|) rfs, |
ЛIn= |
|
|
|
|
||||||
h |
Jm g (I) d l8- |
J |
1 - ß |
ß = |
ln- |
§ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
этом |
|
|
|
t |
( ? ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
M0 j |
m) (g) dt = 2cü (ß, |
а), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
(17.118)^ |
||
|
|
|
|
|
|
|
t(?t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
М, J |
(I) Л — 2ю (а, |
ß),; |
|
|
|
||||||
б76 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ [ГЛ. 17
(17.125), |
по |
формуле |
Ито, |
примененной к |
|
а(Я,(|)), |
находим |
||||
|
|
|
|
|
И1)Л0п (Ъ) |
|
|
|
|
||
а (Яг(5) Д оп (I)) — а (0) + |
|
J |
а' (Я* (£)) m t (ЮdW , ~f- |
|
|||||||
|
|
|
t (DAап (1) |
о |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
Y } |
|
[«' (h |
(S)) + |
(І))1 т 1 (l) dt — |
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
? (D A on (D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=--«+ |
оJ |
a'(X t m m |
t {l)d W t. |
|
Hot(DAo„(D |
|
|
|
|
|
T (D A an (D |
|
||||
M, |
f |
[ а ' ( Я ( ( | ) ) |
М Ю Р ^ < sup |
[а'(х)]2М, |
|
f |
|
||||
|
J |
|
|
|
|
|
A<x<B |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup [a ' (x)]2 < oo. |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
A<x<ß |
|
|||
|
« (D A on (D |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
M, |
/ |
|
а Д Я Д ^тД Ю а 'І^ О , |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
и, |
следовательно, |
беря |
в |
(17.129) |
математическое ожидание |
||||||
МД-), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
M iß |
(Яг <|)Ла„ (?) (Ю) = а. |
|
|
|
|||
|
Функция |
а(х) |
при |
H ^ x s ^ ß ограничена |
и lim сг„(£) = оа |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П~>оо |
|
(Р-п. н.). Поэтому по теореме о мажорируемой сходимости (те
орема |
1.4) |
Ма (Лг(і) (I)) = |
а. |
Используя |
лемму |
17.7 |
и ее след |
||||||
ствие, находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а ^ М ^ Я г Ц ) ® ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
1 • Р> |
(D (S) = А} + |
0 • Р (Я, (|) (£) = ß} = |
Р х{Яг,1) (I) = |
A I |
||||||||
Аналогично |
доказывается |
и формула |
Р0{Яг<£) (g) = ß} = |
ß. |
|||||||||
Л е мм а |
17.9. |
Для |
плана |
Л = Д(т, |
б) |
справедливы |
фор |
||||||
мулы (17.118). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим gQ(х), g t (х), |
А < х < |
В, |
||||||||||
решения дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|||||||
§■ (X) + ( - |
1)1+і • £ |
(х) = |
- |
2, |
g t (Л) - |
g t (В) |
= 0, |
/ = |
0, |
1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.130) |
||