книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

658

о ц е н к а

п а р а м е т р о в и

р а з л и ч е н и е г и п о т е з

[ГЛ. 17

§

4.

Двумерный гауссовский

марковский процесс.

Оценка параметров

1.

Предположим, что

на интервале

наблюдается

двумерный

гауссовский

марковский

стационарный процесс

h = (h(t), hit))

с

нулевыми

средними

Mg, (t) =

Mg2(f) = О,

— оо < t <

оо, допускающий дифференциал

d l t =

A l,d t +

d W t.

(17.61)

Здесь

Wt — (Wi(t),

W2(t)) — винеровский

процесс с

независи­

мыми компонентами, не зависящий от £0,

и

/ — Ѳ, — Ѳ2\

А=( ѳ2-в,)

<17-62>

— матрица,

составленная

из

координат

вектора

Ѳ= (0,, Ѳ2)

с 0! >

0, — оо<Ѳ2<оо,

подлежащего

оцениванию по наблю­

дениям

=

0 < s < r } .

Построим

оценки максимального правдоподобия

0( (Т, |) и

02 (Т, І) неизвестных параметров 0, и Ѳ2.

Т е о р е м а

17.5.

1°. Оценка

максимального правдоподобия

0, (Т,

I)

является

решением,

уравнения

1

і

20!(Т,

I)

Й(0) + :

( ° ) +

| | [ т е + ш о ] л

б, (Г,

I)

т

== J [і,

+

(17.63)

о

2°.

Оценка

т

J

[h(t)dh(t)-h(t)dh(t)}

Ѳ2(Г,

о______________________

(17.64)

,)

т

660

ОЦЕНКА

ПАРАМЕТРОВ И РАЗЛИЧЕНИЕ

ГИПОТЕЗ

[ГЛ, 17

Для формулировки следующего утверждения введем некото­

рые обозначения.

(СтX Сг, &т X Я т) — измеримое простран­

Пусть (Ст, &т) =

ство функций c=={(cl (t), c2{t)),

0

где каждая из функ­

ций

Ci (t),

i = 1,

2,

является

непрерывной.Через

сх , где

х =

(хи

х 2),

будем

обозначать

функции

изCf

с

с, (0) — х 1>

с2(0) =

л:2.

Пусть

— мера в

(С?т, Щ), отвечающая

процессу

£ =

(£,),

O

^ t ^ T ,

с

заданным Ѳ = (Ѳ,, Ѳ2),

а

и

— меры

в (Cr, $т), соответствующие процессу W* — х +

(т.

е. W*(t) —

= xi -\-'Wi {t), i = 1,

2)

и процессу \ х

с дифференциалом

d f t =

At* dt +

d W t,

to =

дс.

(17.68)

Если множество

В е &т, то

(Г) =

I

(В) f9 ( х 1, х2) d x x dx2.

(17.69)

l, =

eAt

І0 +

/

e~A*dW8

о

t

x +

l

e~As dW s

о

т

Поэтому из независимости

случайных величин | 0

и | e~As dW s

следует

о

Рѳ { g e

В I

=

x) =

Рѳ {t* e ß ) = ix\x (В),

что, очевидно, и доказывает (17.69).

Введем в (Ст,

$т)

новую

меру *) ѵ,

полагая

для В <=

ѵ( Г)=

J*

n wx(B) d x x dx2.

(17.70)

{ л е в 2: c x e

ß}

(Для краткости

вместо

(17.70)

будем

писать

dv(x, у х) =

~ d \ L wx (у х) d x x dx2,

у х <= Cf..)

Х{*0> Е} 1п *о + w е}2а (*„ А

Т) -

2 f х'<*•.

dzs <

> е) vTs

dz.

. (17.79)

< - ^ 0>е}1п^О+ 2а:Г-

2

X,'{Хо > е} VXs

-

M x N > е} l n

Л т < М I х [Хо > е) In Х0 1 + 2 а Т .

( 1 7 . 8 0 )

Но

Х{*о>Е)1п\ л г =

= Цк0>

Е } Х |х Т лтл< 1} ІП

т„ л+

Х {*> 0e j X

д^ Г 1>} І п \

л

г <

^ Х{х0> Е}Х{%лк '} |п\ л г +

что вместе с (17.79) приводит к неравенству

М х {*0 > е}Х|ХТп л Т <

1} IІП

Л 1 I^

< М

ХI {Хо > е) ln Х0 1+

2аТ +

М sup X ,

( =

с (в) <

оо),

f<г

из которого в свою очередь

следует

неравенство

МХ|*о> e}XjXß<7’}Х|Хх^ < Ij I ln Ххп I^

с (е) <

оо.

(17.81)

Пусть

т = lim

т„. Тогда,

переходя в (17.81)

к пределу при

/1 -> оо

что

оо, получаем,

На множествеМХ{{Хот<!>еГ}Х}{т11<пГ|ххХ!Хт[ =<1}|!оо. пПоэтомухх | < ^ ( ев) <силуо о .

(17.82)

(17.82)

Р (х0 > е, т < 7, хт

1} = 0.

Но хх — 0

на множестве (т ^ Г ), следовательно,

Наконец,

Р{*0>

е,

т < 7} = 0.

(17.83)

§ 4]

ДВУМЕРНЫЙ

ГАУССОВСКИЙ МАРКОВСКИЙ

ПРОЦЕСС

665

что вместе с (17.83)

приводит к искомому соотношению

Р {inf *, = 0} =

Р { т <

Л = 0.

Итак,

процесс

=

S? (*) +

W.

таков,

что для

любого Ѳ=

(Ѳ,, Ѳ2), Ѳ, >

0, — оо < ѳ2 <

оо,

Pefinf т|<>0}=1.

(17.84)

Используем

этот

результат для

доказательства того,

что при

каждом t,

0

случайные

величины тр

являются ^ 0' Гі-

1+

X

Ь п (х)=

J ёп (у) dy.

I

Ясно,

что 0

< g n(y) ^ —

у п

и

lim bn(x)= У~х- Для

каждого

п = 1,

2, ...

2

о

рассмотрим уравнение

t

t

f -

Ц0 + 2 { [1 -

0,Tf>] ds + 2 J bn ( if ) dW x(s).

(17.85)

ö

о

Члст (т)(п))

ЯВЛЯІ0ТСЯ

^"'-измеримыми. Поэтому таковы же *)

и величины т)/Ла .

Но в силу (17.84)

\[топ {ц) = Т

(Рѳ-п. и.).

П

~

t t - > оо

Отсюда вытекает, что тр

«"■-измеримы для каждого t.

Преобразуя

выражение

(17.64) для

ѳ2(7\ |),

находим, что

т

т

і ,{t)dwt(t)-

It (t) dWx (t)

Ѳ2 ( T , І ) =

Ѳ2 - | -

- -------------- =--------------------- 2------------------------------ - =

J

J

,{t)]dt

[l\(t) + £J

J-

\~\TidЩИ (0

=

ѳ2+

(17.86)

W t

где

w. > . (Q = -

T

J

[ ^ ß r d w . i t ) 1+

[ l i ß - d W 2(t).

(17.87)

0J

>/r lt

Из теоремы 4.2 следует,

что [(ИР, (t),

W2{t)),

Ö < / < 7 \

является

винеровским

процессом.

Поскольку

rj0 == (О) —

+ U (0) > 0

(Р -п .

н.) и М ѳ% =

<

о« для всех Ѳ=

(Ѳ,, Ѳ2) с Ѳ, > 0,

^7°' ^'-измеримо. Но процесс W2 (t)

не зависит от

г)0

и # , (f).

Поэтому независимы между собой и процессы

ті =

(тр, &~t),

W2~ { W 2(t), t). Отсюда вытекает,

что Р-п. н. условное распре­

деление

Рѳ{ J V ^ d W A t X y

является нормальным, N ^O,

rpn^j. В частности,

это доказы­

вает формулы (17.65), (17.66).

Теорема доказана.

*) а-алгебры S2"?0’

0

считаются пополненными множествами

I g-меры нуль для всех допустимых

значений Ѳ= (Ѳь Ѳ2).