книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 2]

ПРОЦЕСС ДИФФУЗИОННОГО ТИПА

64?

2.

Предварительно установим справедливость

следующи

двух лемм.

Л е мм а

17.1.

Пусть

б = 6(х)

—измеримая

функция

с

sup Меб4(Ю< оо для

любых

Ѳь

Ѳ2

(— оо < Ѳ, < Ѳо < оо)

ѳ,<ѳ<ѳ2

1

1

>

Если

т

0,<SöU<02 /

a* ® dt < °°’

— 00 <

Ѳ, < Ѳ2 < оо,

(17.30)

> функция

Мѳб(|)

дифференцируема

по В и

т

^ -М ѳ0(£) =

М0 б(£) \ a

t { l ) d W ,

(17.31)

о

(

т

т

)

ф(Ѳ, ^ ) = ^ Г - ( ^ ) =

ѲJ at (W) d W t - ^

Т

ех р

^ ^J

a]{W)dt .

w

I

о

X

‘ '

J

І

б

652

ОЦЕНКА

ПАРАМЕТРОВ И

РАЗЛИЧЕНИЕ

ГИПОТЕЗ

[ГЛ 17

Согласно (17.25)

оценка

максимального правдоподобия

1

1« ät,

Іт-

в, (к

(17.45)

J

%tdt

dt2

J

I ?

1

поскольку в силу формулы Ито

J* \ t d l t =

— Г].

Найдем для

о

случая

смещение

bT (ß) =

рассматриваемого

= Мѳ(Ѳг ( |) — Ѳ)

и

среднеквадратическую

ошибку

б г (Ѳ) =

==Мѳ[Ѳг (£)— Ѳ]2.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

Pr (Ѳ, а) =

2

Ѵ^Ѳ2 + 2а

1/2

2а + Ѳ) е- Ѵѳ2+2а т+

(У Ѳ2 +

2а -

Ѳ) еѴд2+2а т

(У Ѳ2 +

(17.46)

Т е о р е м а

17.3.

Смещение

ЬТ (Ѳ) и среднеквадратическая

ошибка В Т (Ѳ)

задаются формулами

М в) =

ОО

—ехру-()Рг (ѳ>a)^da,

J

(17.47)

Вг(Ѳ) =

е х р ( ~ ) |

рг (Ѳ, а) d a + J а

{ exp (— -^ ) рт(Ѳ, а)} da.

о

о

(17.48)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для отыскания величин Ьт (Ѳ) и В т (Ѳ)

воспользуемся

представлениями

(17.28), (17.29),

полученными

Процесс ! = (!„ Ѳ~і), 0

с

дифференциалом (17.44)

является гауссовским с Мѳ£, = 0

и

дисперсией Г, (Ѳ) = Мѳ|*,

удовлетворяющей уравнению (см. теорему 15.1)

==2ѲГДѲ) +

1,

Г0(Ѳ) = 0.

Отсюда находим

Г/ (Ѳ)

— 1)>

§ 3]

ГАУССОВСКИЙ

МАРКОВСКИЙ

ПРОЦЕСС

653

Для проверки условия (17.27)

и вычисления математических

ожиданий Мр

Т

- I

г Т

-,-2

[ l ] d t

, Мѳ

\ l ) d t

используемых при оты­

скании Ьт(Ѳ) и В т(Ѳ), поступим следующим образом.

Пусть а > 0 и

г

(Ѳ,

а) = Мѳехр

— a

j l 2( dt

(17.49)

Согласно теореме

7.19

меры

и

А^л

эквивалентны и

г

г

-du,ж^- (ifc) =

ехР { (Ѳ — А) JI) d l)

-

Ѳ- 2 — J(^)2dt

I

о

о

Поэтому

Поскольку

.

„

17.53)

.

т

т

т

ч

=

М exp

-

а

ф )2 dt +

(Ѳ-А)

I) dl)

-

(£))* dt

<Н----- =—

=

0,

(17.54)

то

Ь

(Ѳ. «) =

М exp

[Ѳ -

А] j

I) dl)

=

М exp { ^

f(^)2 -

Г| } =

=

exp (— = -^ Г) М exp {

( ^) 2 j .

Случайная

величина

I)

имеет

нормальное

распределение

ІѴ

( о ,

(а—2*-7 l

J)

j, и,

значит (леммаj

1 1 .6 ) ,

М « Ф І - ^ ( Г г )2

2А

1/2

(Л -

0) {е2ХТ -

1) + 2А

3 месте с (17.53)

это приводит к

следующему

представлению:

я-ѳ

2А

1/2

(17.55)

Фг(Ѳ,

а ) — е 2

(А -

Ѳ) (еш ' -

I) + 2А .

где согласно (17.54) А=Ѵ/ 2а + Ѳ2.

После

простых преобразо­

ваний из (17.55) получаем требуемое представление (17.52).

З а ме ч а н и е .

Если Ѳ=

0,

а = 1 /2 ,

то

т

л

1

Ф г(°,{

Мe x p { - j / r ? Ä j « p r ( 0 , i ) =

/

(

т

(Сс И Г

ет -\-е

/Ср. с примером из § 7 гл. 7.)

Завершим доказательство теоремы 17.3. Анализируя пред­

ставление (17.52),

находим,

что неравенства (17.50) выполнены

для любого

6 = 1 , 2,

...

Поэтому

формулы

(17.47)

и (17.48)

ледуют из представлений

(17.28), (17.29),

(17.51) и (17.52).

656

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ

И РАЗЛИЧЕНИЕ ГИПОТЕЗ

[ГЛ. 17

Тогда

случайный процесс

z — (zs,

$ s),

О,

с zs =

J f t d W t,

$ s =

T %s,

где

ts — inf

j*fl

du — s^j

,

является винеровским

и с

вероятностью единица *)

dW„

(17.59)

lim

-2-

• =

0.

t->ОО

du

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если ft > 0

(Р-п.

н.)

для всех t > О,

то с вероятностью единица xs будет монотонно

возрастающей

непрерывной функцией от s. Отсюда следует,

что случайный

процесс 2^ =

ft dW t

также имеет (Р-п. и.)

непрерывные тра-

ектории.

о

то по свойствам

стохастических

Далее, если s2^ s t,

интегралов

Следовательно, процесс z = (zs, &s),

0, является

квадра­

тично

интегрируемым мартингалом со свойством (17.60). Зна­

чит,

по определению (§ 1 гл. 4) этот процесс является вине­

ровским.

t

*)

Под J /„ dWa подразумевается непрерывная модификация

стохасти*

о