Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6263 / 7163 64 65 66 67 68 69 70 71 > Следующая >>>

§ 21

а с и м п т о т и ч е с к и е с в о й с т в а ф и л ь т р а

617

ненаблюдаемых состояний Ѳ,. При этом, как и в аналогичной задаче для случая дискретного времени, возникает важный для приложений вопрос об условиях, когда матрицы y t стаби лизируются при t I оо. Исследованию вопроса о существовании предела lim yt и способах его вычисления и посвящен настоя-

t - > оо

щий параграф.

2, Прежде чем переходить к точным формулировкам, за метим, что, полагая

а = а ] — ( Ь о В ) ( В о В ) - 1 Л „

Ь =	[(ЬоЬ) — (Ь° В) (В о ß)“1(b о ß)*]1/2,		(16.43)
ß =	[ßoß]1/2,	Л = Л„
уравнение (16.42)	можно переписать в несколько более удобном
виде:	аУі + Y<о* +		(16.44)
Уі =	аУі + Y<о* +	ЬЬ* — y tA{BB)~l A y t.	(16.44)

Это уравнение совпадает с уравнением для ковариации при рассмотрении гауссовской пары процессов (Ѳ, |), удовлетворяю щих системе

dQt = аѲ, dt + b d W x (t),

(16.45)

d \ t — AQt dt Ar В dW 2 (t).

Так что с точки зрения исследования поведения матриц yt при

оо достаточно вместо системы (16.39) рассматривать более простую систему (16.45).

Т е о р е м а		16.2.		Пусть	рассматривается		система (16.45),
для которой выполнены следующие условия:
(I) ранг блочной матрицы
					/ А	\
				G\ —	Аа		(16.46)
				G\ —			(16.46)
					Aak~l
размерности	{kl X k)			равен k\
(II) ранг блочной				матрицы
				G2 = (b	ab . ,.	ak~lb)	(16.47)
размерности {k X Ik) равен k\
(III) матрица B B *				не вырождена.
Тогда для		у. =	М (Ѳ, — m t) ф, — m tY существует lim у ( = у.
	у						<-»оо
Этот предел	у	не	зависит от начального значения у0 и является

618

ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ

[ГЛ. 16

единственным (в классе положительно определенных матриц)

решением

уравнения

ау + Уа*+

bb* — у А* (В 'В )~ 1Ау =

(16.48)

Доказательству этой теоремы предпошлем ряд вспомога

тельных утверждений.

А — матрицы

Л е м м а

16.2.

Пусть

размерностей

(I X k),

X k).

Образуем

блочную

матрицу

(порядка (nl X k))

( D

VDA'1"'

Тогда

матрицы

D*nDn

[ e~AHD*De~At dt,

0 < Г < о о ,

одно-

временно либо вырождены, либо невырождены.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

лемме 14.4 матрицы

D*nD n

и D \D k ,

n ^ k ,

одновременно

или

вырождены

или невыро

ждены.

Если матрица D \D k

вырождена, то по этой же лемме

найдется ненулевой вектор x =

( x t ,

. . . ,

х п) такой,

что D A ’ x

— Q,

} — 0, 1, .. .,

1, .. .

Но тогда

D e - ^ x = \ ( . f (Е>АД) = 0,

и,

следовательно,

J e - ^ D ' D e - v

d t x = 0,

(16.49)

что и

доказывает вырожденность

матрицы

e~A*tD’,De~At dt.

Наоборот,

пусть

выполнено

(16.49).

очевидно,

Тогда,

x ' e - ^ D ' D e - M х =

0 < / < 7 \

Поэтому

De~Atx = 0

(16.50)

и (после дифференцирования по t)

D Ае~АІ X =

(16.51)

DAk~^e~st =

Из

(16.50)

(16.51)

при

f = 0

вытекает,

что

DAjx = 0,

/ =

0, ... ,

k — l,

что эквивалентно

равенству

x'DIDkX — 0.

Лемма доказана.

§2J			Ас и м п т о т и ч е с к и е с в о й с т в а ф и л ь т р а								619
Сле д с т в и е .				Пусть	D k =	(D	/S.D ...		Аk~ l D ) — блочная		ма
трица	порядка (k X kl),				где	D	и	А — матрицы размерностей
										т
(k X I)	и	( k y , k ) .		Тогда	матрицы			ЪкЪ\	и	\ e~htDDte - h'’t dt
										ö
одновременно либо вырождены, либо не вырождены.
Л е м м а			16.3.	Если матрица			G2	имеет ранг k, то при t > О
матрицы		y t,	определяемые			из	уравнения			(16.44), являются
положительно определенными.								y t является матрицей			ко
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Матрица
вариаций		условно-гауссовского					распределения

Если это распределение имеет (Р-п. н.) плотность, то тогда, очевидно, матрица y t будет положительно определенной. Рас

сматривая систему уравнений (16.45) и принимая во внимание следствие 1 теоремы 7.23 (п. 5 § 9 гл. 7), получаем, что рас пределение Р (Ѳ, а |^"|), t > 0, имеет плотность (Р-п. н.), если

плотностью обладает распределение Р(Ѳ ,^а), что эквивалентно условию положительной определенности матрицы Г/ = соѵ(0/, Ѳ,).

Согласно теореме 15.1 матрицы Г, являются решениями дифференциального уравнения

Г, = аТ,	+ Г,а* + ЪЪ\	(16.52)
Отсюда находим
Г; = eatTüeaH + eat	e~asbbe~as ds	0a*t
Но в силу следствия леммы	16.2 матрицы Г„	t > 0, положи

тельно определенные, поскольку таковой же является и ма

трица G2G2	(rang G2 = k).
Лемма доказана.
Л е м м а	16.4. Если	ранг матрицы G{ равен k, то элементы
всех матриц у ( равномерно ограничены.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Рассмотрим вспомогательную задачу

управления детерминированным процессом xf = {x{ (t), . .. , xk (t)),

Оудовлетворяющим уравнению

	dx	A*ut, х0 = х,	(16.53)
	— a*xt +	A*ut, х0 = х,	(16.53)
с функционалом		т
		т
V (и;	Т) — х"Гу0хт+	С[x]bbxt + и)ВВи^ dt.
		о
Управления ut,	выбираются из класса допустимых
(см предыдущий параграф).

620 ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. 16

Согласно (16.37) оптимальное управление ü t существует и

задается формулой

	ü t = — (ВВ*)~' Аут-tXf,	(16.54)
где	xt— решение уравнения (16.53) с ut = ü t , 0	Г. При
этом	V (Гг, Т) = х*утх. Поскольку элементы матриц y t	являются

непрерывными функциями, для доказательства леммы доста

точно показать, что равномерно ограничены все

элементы

матриц ут при Т >

ß,

матрица

GJGi не вырождена, и по

Поскольку rangG1=

лемме 16.2

не вырождена матрица

e - aHA*Ae-atdt.

Возьмем теперь

специальное управление

— Ае~аЧ f е - ^ Л ’А е - 03 | х,

0 < Н < 1 ,

üt — '

\о

t >

и пусть £( — решение уравнения

(16.53) с

ut =

üt. Решая это

уравнение,

находим,

что

£t = 0,

Ѵ ^ \ .

Но тогда

силу

опти

мальности управления üt,

O ^ t ^ T ,

Т >

х*утх ^ . I \%tbb*%t +

utBB*üt]dt

< оо,

что и доказывает лемму.

с у°==

Л е м м а

16.5. Пусть

y°t — решение уравнений (16.44)

= у0 = 0 и

rangG, =

/j.

Тогда существует

lim y°t

у0 —

limy?

/- » о о

является неотрицательно определенной симметрической матри цей, удовлетворяющей уравнению

ауо + у0а*+	ьь* _ ѵоЛ* (ßß*)'1Луо =		0.	(16.55)
Если к тому же rang G2 — k,		то у0 является	положительно
определенной матрицей.	В силу	предположения		rang G{ — k
Д о к а з а т е л ь с т в о .
из предыдущей леммы следует, что элементы всех				матриц у\,
t ^ O , равномерно ограничены.

§ 2]

а с и м п т о т и ч е с к и е с в о й с т в а ФИЛЬТРА

621

Покажем, что при у0 — 0 функция х*у\х монотонно не убы

вает (по Т). Пусть 7\,>7Ѵ Тогда, обозначая мДД) и x t (T{)

оптимальные управления и отвечающие им процессы во вспо могательных задачах управления, і — 1, 2, находим, что

г,

х у тх = J [(*, (Т2)У bb*xt (T2) + {щ (Т2)У ВВ*щ (Т2)} dt >

> JГ,[(*, (Т2)У bb*x, (Т2) + (Щ (Т2)У ВВ 'щ (Гг)] dt >

ТI

> J [(*, (Г,))* bb*xt (Т,) + (Щ (Т})У ВВ' ЩІТУ) dt = х у Т[х.

Из ограниченности и монотонности функций х*у°тх вытекает существование матрицы у0 = lim у°т с указанными свойствами.

Г - > ОО

Если же дополнительно rang G2 — k, то по лемме 16.3 не вырождены матрицы y°t, а следовательно, таковой же является

и	матрица у° = lim у?.
	4.	/	оо		те оре мы 16.2.			Обозначим у° =
=	4.	Д о к а з а т е л ь с т в о			те оре мы 16.2.			Обозначим у° =
=	lim у? при уо =		0 и	положим
	t->oo
				Щ = - ( В В Т '		Ay°xt,			(16.56)
где xt — решение уравнения (16.53)						с ut =	üt, х0 =	х.	Покажем,
что лу—>0, t —>оо.			Для этого достаточно,				например,		показать,
что				lim #у°л:г == 0,					(16.57)
				lim #у°л:г == 0,					(16.57)
				t со
поскольку матрица у0				является симметрической и положительно
определенной.
	В силу (16.53), (16.55) и (16.56)
— (xty°xt) = х\уо [а -				А" ( В В Т '	Лу°1 x t +
	+ xt [а — у° А * ( В В Т ' Иу°] X, — #уМ ’( В В У ' А у % =
	=	- xtbb'xt -	xty°Л* ( B B T '		{ВВ*) ( В В Т 1Ау°х( =
						=	— [xfbbxt + ГцВВ*щ\ч

622	ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ	[ГЛ. 16

Значит, по лемме 16.5
			т
О^ хту°хт = ху°х — I [xtbb'xt + mBBüt] dt ^
			о
			т
		<1 ху°х — I [xtbb*xt +					ü\BB*üt] dt =
			о
			= лг’ [ѵ0 — у Ц х - > 0 ,					Г-> оо,		(16.58)
где üt — оптимальное управление,						определенное			в (16.54).
Из (16.58) вытекает также, что
										(16.59)
Далее,	пусть у0 — произвольная				неотрицательно				определенная
матрица.
Тогда
	т
хтУоХт +	J {xtbb*xt +		ÜtBB*üt] dt >
	о			т
				т
	хутх = хту 0хт+			J* [xtbbxt + ütBB*üt\ dt Дз
	т			о	т
>	J [xtbb'xt + utBB'üt] dt >				J[xtbbxt + йІВВ'йі] dt =					х*у°гх,
	о				о					(16.60)
										(16.60)
где üt =	— (ВВ*)~] Ayf)T_ tx v			а x t — решение				уравнения		(16.53)
с щ = й(. Из этих неравенств и					(16.59) следует,				что
Но согласно (16.57) lim x' упхг= 0 ,					а lim xy%x=xyQ (лемма 16.5).
		Т	оо			Т	ОО
Поэтому существует lim х*утх (=						х*ух),
			Г -> оо
			lim *Yr =			х*у°х,.
			Т -> OQ
и у = lim Yr =		Y°-
Т	ОО
Предельная		матрица y =		Hm Yr не зависит от значения Yo

Г-> ОО

иудовлетворяет в силу (16.55) уравнению (16.48).


§ 3]	ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ И ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ		623
Единственность решения этого уравнения (в классе поло
жительно определенных		матриц) доказывается, как и в тео
реме 14.3.
З а ме ч а н и е . Если		собственные числа матрицы а лежат
в левой полуплоскости,		то можно отказаться от предположе
ния (I) теоремы 16.2, поскольку тогда Sp y t < Sp М Ѳ*Ѳ< < оо,			0.
§ 3. Вычисление взаимной информации и пропускной
способности гауссовского канала с обратной связью
1. Пусть (Q, ОТ, Р) — некоторое вероятностное пространство,
0	— система неубывающих о-подалгебр £Г. Пусть
Ѳ= (Ѳ,,	@~f), 0 ^ - t ^ T , — некоторое «посылаемое сообщение»,
которое	надо передать по каналу с гауссовским «белым»		шу

мом. Чтобы это описание сделать точным, предположим, что

задан		винеровский		процесс W = (Wt,				&~t),	не	зависящий от
процесса Ѳ= (Ѳ„ @~t),						Если		«принятое сообщение»
! =		&~t)	имеет вид
т. е.			‘d l t =		at (Q)dt + dW t,			\|о =	0.	(16.61)
т. е.					t
					t
			l , =		/ as ( Q ) d s + W t,					(16.62)
					о
то говорят,			что «сообщение» Ѳ послано по						каналу без обрат
ной	связи		с гауссовским			«белым»	шумом *).			Функционалы
					т
as (6),		0 < , s < 7 \ с p j j			I as (Ѳ) \ds <		oo^ — 1		задают кодирова
ние и предполагаются неупреждающими.
0	В том же случае, когда «принимаемое сообщение» £=(£„
0	^	Г, допускает		представление
			d l t =	at (Q,		l )dt + d W (,		go == 0,		(16.63)
с неупреждающим функционалом а,(Ѳ,								g),

то говорят, что передача осуществляется по гауссовскому кана лу с «белым» шумом при наличии (бесшумной) обратной связи.

Таким образом, в случае бесшумной обратной связи «при нятое сообщение» g отсылается обратно и может быть учтено в дальнейшем при передаче «сообщения» Ѳ.

*) В технической литературе вместо записи (16.62) используют ее фор мальный аналог | (/) = at (Ѳ) + Wt, называя Wt «белым» гауссовским шумом.

624	ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ			[ГЛ. 16
Пусть (Ѳ, <$ѳ) — измеримое		пространство, которому принад
лежат	значения сигнала Ѳ=	(Ѳ(), О	^ Г. Через	(Сг, 9èT)

будем обозначать измеримое пространство непрерывных на [О, Т]

функций x — (xt), O ^ t ^ T ,

с х0 =

0. Пусть y w , щ и цѳ,? — меры,

отвечающие процессам W, £ и (Ѳ, £).

выбрано,

то

Если некоторое кодирование аДѲ, |),

какая

естественно

поставить

вопрос о том,

информация

Іг (Ѳ, £) содержится в «принятом сообщении»

E =

{L.

относительно «переданного сообщения» Ѳ=

{Ѳ5,

s ^ ^}.

По определению

ІГ<Ѳ-

|) = М1п7 Т ^ х Т Ы (в' 1К

(16-М)

причем полагается

Іт(Ѳ, |) =

оо,

если мера цѲі % не является-

абсолютно непрерывной относительно

меры цѳ X Щ.

Т е о р е м а 16.3.

Пусть

выполнены

следующие

условия-.

(I) уравнение

(16.63)

имеет

единственное

сильное

(г. е.

&~t’ w-измеримое

при

каждом

t, О

<1 Г)

решение;

(П)

МаДѲ,

l ) d t < оо.

Тогда

т .

Іг (Ѳ,

£) =

уМ

[аДѲ, l ) - ä ] ( l ) \ d t ,

(16.65)

где

аДѲ,

l ) W \ \ .

(16.66)

аД£) = М[J

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно сделанным предположениям

леммам 7.6

7.7

7.23

и цѳ, I ‘С Еѳ X Енг-

Поэтому

силу замечания

к теореме

(Ѳ, І)

d\Iѳ.і

(16.67)

[йѳХ [ѵ (Ѳ,

I) / d\i w

il)-

Но в силу лемм 7.6

и 7.7

Г т

(Ѳ, і) =

exp

|М 0 .

Q d l,

а?(Ѳ,

І)dt

(16.68)

dac

(16.69)

i é

“

\V	о

§ 3]		ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ			И ПРОПУСКНАЯ			СПОСОБНОСТЬ		625
где
При этом			« ,(*)= М к(Ѳ , l ) \ T lt\l = x .
При этом
Т			Т				т
j Мä ] { l ) d t = \ М [М [at (Ѳ,							о	Ма*(Ѳ, l) dt < оо.
О			о				о
Из (16.67) — (16.69)				следует,	что
' "	Ä	r	(e' 51=
	=	г		ät (g)] d\t			т
	=	J [а/ (Ѳ, £) —		ät (g)] d\t	—	~	\а] (Ѳ, g) — ä] (g)] dt =
=	Jт о([М б, S) —			Ö, (g)] a t (Ѳ,		g) —оJ1[а«(ѳ,		—	)})dt +
				+		\ \ a t { S , l ) ~ ä t { l) } d W t.				(16.70)
Отсюда		по свойствам стохастических интегралов
	^ѳ, s
М In d [иѳ X			(Ѳ, !) =
			і
		t	J М И(Ѳ. Ю-2аДѲ,				l ) ä t (l) +	ä ) { l) ] d t -
				М [я,(ѳ» l ) ~			dt--
			1
			I М{М[а,(Ѳ, l ) - ä t { i ) U $ ~ \ } dt -■
				- И М \а]{Ъ, l ) - a \ ( l ) ] d t ,						(16.71)
что и доказывает теорему.						для доказательства			того, что
2.	Используем эту теорему					для доказательства			того, что

(при определенных «энергетических» ограничениях) обратная связь не увеличивает пропускной способности,

626 ПРИМЕНЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. 16

По определению для канала с обратной связью пропускная

способность
С = sup у - Іг (0, I),	(16.72)

где sup берется по всем сообщениям Ѳ и неупреждающим функционалам {аДѲ, |), О ^ Г}, для которых уравнение (16.63) имеет единственное сильное решение и

у - \ МаЦѲ, g ) d / < P	(16.73)
о

с константой Р, характеризующей энергетические возможности передающего устройства.

В силу (16.71)	г
	г		М О
0 < І г (Ѳ, t) = ~ M	J	\а](Ѳ,	М О
0 < І г (Ѳ, t) = ~ M		\а](Ѳ,	i ) - ä ] ( l ) ] d t ^
	О		т
			т
			Ja*(0,	\| ) d f < - ^ - .	(16.74)
Следовательно,
			С < ~ .		(16.75)
Покажем теперь,		что для канала без обратной связи
	С0 = sup-Т 1^(0, 1) =			4 -	(16.76)
где sup берется	по	всем	сообщениям	Ѳ и неупреждающим

функционалам аДѲ),		0 < / < 7 ,			для которых
			т
		-Т [ Ма*(Ѳ)Л< Р.
			о
Поскольку С > С 0,		то	из	(16.75) и (16.76) будет					следовать,
что обратная	связь	не		увеличивает			пропускнойспособности:
			С = С0 = Т-.							(16.77)
С этой целью рассмотрим следующий
Пр и м е р	1. Пусть а, {х) =				т, иѲа =	(Ѳ?), О<		t <	Т,	является
гауссовским	стационарным			процессом		с	МѲ“ =	0	и	корреля
ционной функцией
	К (t,		s) —	Р exp { — a \t — t\).

<<< < Предыдущая 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6263 / 7163 64 65 66 67 68 69 70 71 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ