Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 / 7161 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 > Следующая >>>

§ S]

ОЦЕНИВАНИЕ с т а ц и о н а р н ы х

п р о ц е с с о в

597

что

символически

было условлено

записывать в таком виде-

d^(t) =

ni+id t i - ^ d W t.

Аналогичным

образом

устанавливается и последнее уравне

ние в системе (15.64).

некоррелированность величин ц, (0) и Wt

Проверим

теперь

для

0 и

/ = 1 ,

. . . , я.

Для

этого

запишем систему

(15.64)

в матричной

форме

с матрицами

dr\t — Arp dt -j- В dWt

(15.74)

0 ...

. . .

А =

В =

«о — а,

а ßn

— ап- і /

Заметим, что система уравнений

(15.74) остается справедли

вой

и для t ^ T

(Т <

0),

если вместо Wt рассматривать вине-

ровский

процесс в широком

смысле

W t {T) =

е ш __е іКТ

Ф (dX),

(15.75)

т. е.

Ло= Лг+ J

оA4

adu + BWÜ(T).

Но

М^Ц70(7) =

(с м . в

лемме

15.1

равенство

Парсеваля).

Значит,

M fjo^ =

Mr\TWt +

JоAMf\uWtdu. Решая это уравнение

(относительно Mfjr lF„

Т ^ 0 ),

находим что

Mr\0Wt = e - ATU^TWt.

(15.76)

Собственные числа матрицы А лежат в левой полупло

скости, а элементы вектора

Mr\TWt ограничены

величинами,

не зависящими от Т.

Поэтому

lim

М'й01і7/ =

Для

завершения

г->-°о

осталось

лишь показать,

доказательства

что процесс тр является стационарным в широком смысле (для

моментов	0).	что	Мгр = 0. Далее,	в соответствии
Из (15.56) вытекает,
с теоремой	15.1 матрица	=	Mrjff)^ является	решением диф
ференциального уравнения
	Г, = АГ, +		іуі* + БД*.	(15.77)

598		ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ					[ГЛ.	IS
Опять	же	из представления (15.56) видно, что матрицы					Г,	не
зависят	от t.		Обозначим Г =	Г,. Тогда	матрица	Г удовлетво
ряет системе			алгебраических уравнений
			АГ + ГЛ* 4" ВВ* =		0.		(15.78)
Используя		уравнение (15.77)		и тот факт, что		собственные

числа матрицы А лежат в левой полуплоскости, нетрудно по

казать, что решение системы (15.78) единственно							и задается
формулой		о
		о
	Г =	-_оо	e - AuBB*e~A,udu.				(15.79)
		-_оо
Наконец, из (15.74)		следует,		что	матрица Г (t,		s) = Мргг\|’
задается	формулой	J
			I q A { t —	s) р	j	£
	Г(' . s)= \ Гел*				а »	і.	(15-80)
Этим	показано, что	процесс		тр, f^ O ,		является	стационар
ным в широком смысле.

3.Рассмотрим частично наблюдаемый стационарный в ши

роком смысле процесс ѵ<=			(Ѳ/, £<) = [(Ѳ,(0, •••,		Ѳ* (/)), (!,(/), •••
. . . , і/ (/))],	— oo <	t < °o,	допускающий	спектральное предста
вление
		yt = \	eiUW{iX)A>(dX),			(15.81)
		—oo
где W (z)— матрица размерности (k + /) X п с элементами
		Wrq(z) =	P{n*-i(z)/Q™(z),			(15.82)
где	(z) и Qnfq(z) — многочлены степени				nrq — 1 и nrq со
ответственно, причем коэффициент при гПгя					у	Qnfq (z)	равен
единице, а корни		уравнения Q(nr^(z) =		0 лежат в левой			полу
плоскости.	Мера	Ф (dh) — (Ф! (dk), . . . ,		Фn(dX))		является	век

торной мерой с некоррелированными компонентами, МФ/ (dl) = О,

М| Ф/ (dl) —

Предполагается, что Ѳ, является ненаблюдаемой компонен той, оцениваемой по наблюдениям gs, O ^ s ^ T " . В случае t = T имеем задачу фильтрации, T ^ t — интерполяции,Г ^ Т — экстра поляции.

§ 3]	ОЦЕНИВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ	599
	Рассмотрим для определенности лишь задачу оптимальной

(в среднеквадратическом смысле) линейной фильтрации. Чтобы

иметь	возможность применить теорему 15.3, достаточно пока
зать,	что процесс ѵ<= (Ѳ/, l (),	0, может быть представлен

в виде компоненты процесса, удовлетворяющего системе урав нений типа (15.44).

Используя теорему 15.4, находим, что вектор vt является компонентой вектора (О,, £,), имеющего размерность

(15.83)

где nrq — степень знаменателя дроби Wrq(z), а я, — число не совпадающих элементов Wr„ в столбце с номером а в мат рице W (г).

Ясно, что вектор 0, содержит все компоненты вектора Ѳ,. Поэтому оценивание вектра Ѳ, решает заодно и задачу оцени

вания	вектора	О,. В силу теоремы 15.4 (Ѳ,, £,),		0, удовлет
воряет	системе	стохастических уравнений
		db, = [fljè, + a2l t\ dt + b dWt,		(15.84)
		=	+ A £ t]dt + B d W ,

с матричными коэффициентами соответствующих размерно

стей и векторным винеровским	процессом в широком смысле
W, = {WX(/), . . . , Wn(t)).	положительно	определенной,
Если матрица ВВ* является
то тогда возможно применение	теоремы 15.3.	В самом деле,

для этого достаточно установить, что найдутся некоррелиро ванные между собой винеровские процессы в широком смысле

такие, что

bWl = blWl {t) + b2W2(t), BWt = BlWl(t) + B2W2(t). (15.85)

Возможность такого представления доказывается так же,

как и в лемме 10.4. При этом			матрицы Ьи Ь2, ß, и В2 опреде
ляются из равенств
Ьф* -f b2b2 = bb\	ЬХВ * +	Ь2В2 =	Ь В \	B iB i + B 2B 2 = B B \ (15.86)
З а м е ч а н и е .	Если	матрица ВВ* вырождена, то, в соот
ветствии с результатом		§ 4 гл. 10,		имеется возможность по

лучать линейные (неоптимальные) оценки для Ѳ„ близкие в сред неквадратичном смысле к линейным оптимальным оценкам.

600 ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 15

4. Приведем один пример, иллюстрирующий технику нахо

ждения оптимальных			линейных оценок.		Пусть
	z + а		0
	z + а			, а > 0, ß > 0, et > 0,			г — 1,2.
W (z) =		Ѵс		, а > 0, ß > 0, et > 0,			г — 1,2.
	Ѵсх	Ѵс
Тогда	z + а оо	г + ß
	ѳ, = Г Д	- iJ		Ф, (dk),
			+ а
	ь = ѵ ^		j	+	J	- е т р - Ф п л )
Если	обозначить			оо
				оо
			^	ЛЫ
		Ѣ	^	іХ/-j- ß ф2i.dk),
то	-f- г\|^ и	задача		оценивания	по Іо =	(^>	5 ^=0 есть

обычная задача выделения «сигнала» Ѳ<из смеси с «шумом» r\t. Согласно 15.4 найдутся некоррелированные между собой винеровские процессы в широком смысле Wx(t) и W2(t) такие,

что	dQt — — aQtdt + V c\ dWx(t),		dr\t = — $r\tdt + Y c 2	dW2 (t).
Следовательно, для частично наблюдаемого процесса				(Ѳ*, %(),
t ^	0, справедлива	система уравнений
	dQt = —aQt dt +	Y сх dWj (t),
	dlt = [ - (« - ß) Ѳ, - ß y dt +		/ С dWx(t) + V ~ 2 d W 2 (t).

Применяя к этой системе теорему 15.3, находим, что оптималь ная линейная оценка kt и ее ошибка Уг = М(Ѳ/ — к )2 находятся из системы уравнений

dkt =	(хк{dt -\|- с1+	Y< (ß — a)	[dlt- ((ß — a) к, — ß\|<) dt],	(15.87)
Y t= '	2ayt + с{	Гі + с2	- a )]2
		[Cj + У/ (ß

Ci + c2

Найдем начальные условия k0 и уо— М (Ѳ0 — к0)2. По теореме 15.3

МѲо\|0 j.		Ѵо = Щ	(МѲ0\|о)2
m l	ёо’	Ѵо = Щ	,ѵ,ъо
			М-2
Обозначим d\\ = МѲо,	dX2 = МѲ0\| 0, ^22 =		М£о> D =	du	d X2*\
				d12	d2%I

3] О Ц Е Н И В А Н И Е С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В 60 і

В силу (15.78)

AD + DA" + ВВ" — О

А =

— а

В-

V cj _

ß — а

—(

V С\

V с2 ,

Поэтому

— 2аdu

с, =

(ß — а)d„ — (ß + а) dl2+ И =

2 (ß

а) d12— 2ßd22-j-

-)- с2=

С1

d\2

—

с1

ас2+ ßci

2а ’

d22 ■

2aß

Итак, оптимальная линейная оценка

по ^ =

находится

из уравнений (15.87), решаемых при условиях

Ciß

' £о>

Yo:

сіс2а

(15.88)

ас2+

ßC[

2а(асг +

р<ц)

bü’

rü

Если оценивать

Ѳ,

по £Эг_Г — {§s,

— T < 5 <

t), где

T > 0, TO

kt, yt также

определяются из системы (15.87)

^lß

ß<4 S-r>

У—т1

с\с2а

(15.89)

ас2 +

2а (ас2 +

ßC]

Полагая

Т -> оо,

из

(15.87)

(15.89)

нетрудно

найти,

что оптимальная линейная

оценка

%t и ошибка оценивания

у==М[Я,/ — Ѳ,]2

величины Ѳ/

по

— o o < s ^ t }

опреде

ляются из

равенств

К = бііt +

J e -e* ('“ s) [Ö0 -

6,62] £s ds,

где

— CO

Y(ß —«) + Ci

60 = 6jß,

b2 = b{(ß — a) +

C\ *f c2

V(a2c2+ ß2ci)(ci + c2) — ac2 — ßc s

ß,

ß — а

C\C2

а =

ß.

2a (Ci + c2) ’

В частности, при a = ß, т. e. когда «спектральные составы» сигнала и шума совпадают,

Сі

*/ = сI + са !/•

602		Л Й Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е С Л У Ч А Й Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В							[ГЛ . 15
§ 4.	Сравнение оптимальных линейных и нелинейных оценок
1.	Пусть		Ѳ(,	0 ,— марковский процесс				с двумя состояни
ями	0 и	1,	Р(Ѳ0= 1 ) =		я0,	переходная вероятность которого
Pla{t,	s) =	P(Qt =		1\| Ѳ5==а),		а = 0,1, удовлетворяет уравнению
Колмогорова
		—		=	~ 2 P la(t, s)),		Л > 0 ,	t > s .	(15.90)
Будем		предполагать,			что процесс		Ѳ/; называемый		«телег

рафным сигналом», ненаблюдаем, а наблюдению доступен процесс

	^ = j 4 d s +	ir„	(15.91)
	о
где Wt,	0, — винеровский процесс,	не зависящий от Ѳ*, t ^ O .
На примере задачи фильтрации значений			по §* = {gs,

сравним качество оптимальных линейных и нелинейных оценок. Оптимальная (в среднеквадратическом смысле) нелинейная

оценка щ величины

Ѳ, по l s,

s < 4 , есть условное

математи

ческое ожидание щ =

М (Ѳ< | &~)) = Р (Ѳ# =

1 |

Согласно (9.86)

я„

является решением

стохастического уравнения

dnt — X(1 — 2я,) dt +

я, (1 — nt) (d%t — nt dt).

(15.92)

(Из этого уравнения,

частности,

видно,

что

оптимальная

оценка п( действительно является нелинейной.)

Xt, доста

Чтобы

построить оптимальную линейную

оценку

точно

рассмотреть задачу оптимальной

фильтрации

для про-

цесса

Ѳ, по значениям

fs,

s < 4 ,

где

\t — ^ %s ds -\-Wt, Wt — не-

который винеровский

процесс,

Ѳ5 — гауссовский процесс,

не

зависящий

от Wt, t ^

и имеющий те

же

первые два

мо

мента, что и процесс

Ѳ„ t~^ 0.

Используя

уравнение

(15.90), стандартным путем находим,

что nt = МѲ* удовлетворяет уравнению

4 ^ = = Л ( 1 ~ 2 п р ,

« о -я о ,

(15.93)

а корреляционная функция К (t,

определяется

из

равенства

K(t, s) = K(s,

s)c -2A4 -si,

где

K(s,

s) =

M [0S

nsf

= ns — n2.

Решая

уравнение (15.93),

находим

«, =

—-[ 1— (1— 2n0)e~2U).

§ 4]	С Р А В Н Е Н И Е О Ц Е Н О К	603
Следовательно,	М (О, — nt)2 К (t, t) = j	[1 — (1 — 2л0)2 е~ш ]

и lim М (Ѳ, — nt)2— 1/4.
ОО
Нетрудно теперь заметить, что требуемый гауссовский про
цесс ,Ѳ„	0, имеющий М О ^ п , и М (Ѳ, — nt) (0S — ns) =	s),

можно построить как решение стохастического дифференциаль

ного

уравнения

<*ѳ, = а (і — 20 , ) ^ +

V x d w x{t),

(1 5 .94)

где

Wi(t) — некоторый винеровский

процесс, не

зависящий

от

Wt,

0 (см. также теорему 15.2). Тогда, обозначая W2{t) =

Wt,

получаем, что

d i =

Qt dt + dW2(t).

(15.95)

Применяя

к системе (15.94), (15.95)

теорему

15.3,

находим,

что It — М (Ѳ(,-| дг\) и yt =

М (Ѳ*— kt)2

удовлетворяют системе

уравнений

dkt =

k(l

~ 2 k t) d t + \ t (dlt — ktdt),

кд = По,

(15.96)

Y< =

- ^ Y t +

к — у?’

Yo = « o ~ ло-

(15.97)

Можно показать (см. также далее теорему 16.2), что суще

ствует limy/ — y W> причем y(t)

является

единственным

по-

t~>OQ

решением уравнения

ложительным

Поэтому

V2 (к) +

4Ау (к) — к — 0.

(15.98)

у(А) =

j/A+HA2 — 2к,

(15.99)

и, значит,

Ѵ ^ + О [к),

A4 о,

у{к) =

А I

сю.

(15.100)

Найдем

теперь величину 6(A)— lim

М (Ѳ, — л,)2 для опти-

/->со

мальных нелинейных оценок nt, t^_0.

Согласно теореме 7.12 процесс

W = {Wt,

0, с

Wt = l t — ^ n s ds

(15.101)

является винеровским. Поэтому уравнение (15.92) может быть

переписано в	виде
п'лі =	А(1— 2я,) <# + я, (1 — nt)dWt, л0 = п0. (15.102)

604		Л И Н Е Й Н О Е О Ц Е Н И В А Н И Е			С Л У Ч А Й Н Ы Х			П Р О Ц Е С С О В		[ГЛ . 15
	Далее,	поскольку		М (Ѳ,— я,)2 = МлД1— я,), то для отыска
ния б (А,)		надо	уметь	находить lim			МлДІ — я,) для			процесса
nt,	0,				і->оо
		с дифференциалом (15.102).
	Согласно теореме 4.6 уравнение (15.102) имеет единствен
ное сильное (^"Г-измеримое при каждом								О) решение. Можно
показать,		что	это решение является				марковским		процессом,
								/, % dР (я/<!х)
одномерная плотность распределения которого q(г, х) =										----"
удовлетворяет			прямому уравнению			Колмогорова
	dq {U *)_ = —		(1 — 2x)q {t,		х)] +	j	~	[ х 2 (I — х)2 q (t, x)],
								t >	0.	(15.103)
В	силу того, что процесс nt,				0,	является (в терминологии

теории марковских процессов) возвратным и положительным *),

6 (А,) = lim М я,(1— я,) =	lim	x ( l — x)q(t, x)dx	существует и
t~boo	t—»00	J
	1
6(A) = J		x(l — x)q{x)dx,	(15.104)
	0

где q (x) есть единственное вероятностное ^q{x)^0, J q(x)dx=

решение уравнения

^ - \ X { \ - 2 x ) q ( x ) ) ~ ^ - ^ [ x 2( \ - x ) 2q(x)].

Нетрудно найти, что это решение задается формулой

q(x)

Поэтому

ехр4	2А,	)	1
ехр4	х ( І - х )	J	X2 (1 — х)2
	2А	)	d y
	1/(1 - у )	J	У2(1 —у)2

	ехр	'	2А	\	d x
		,	X (1 — х) / X (1 —х)
6 ( к ) = -	1
J	ехр	(~	2А \		dx
J	ехр	(~	X (1 — х ) ) X 2 (1 — х)г

(15.105)

(15.106)

) См. леммы 9.3 и 9.4 в гл. 4 [157].

§ 4] СРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК 605

или, в силу симметрии подынтегральных функций относительно

точки х — 1/2,	1/2		( _	_ ...
	1/2
	Гехр
б(Я) = J			I	X (I —х) / X (I —х)
1/2		ехр	-------------------------------.				(15.107)
				2Я		dx
о			— X(1—х) ) X2(1—х)2
Исследуем lim б (Я). Делая в (15.107)						замену	переменных
		У =	,	„S - 8Я.,
находим, что			X(1—х)
находим, что
	2Я I «Г* y r ,J ■ КЛ ^
б (Я):					У	У + 8Я	(15.108)
б (Я):		I е"'/ •			У+ 8Я dy		(15.108)
					У+ 8Я dy
					У
Поскольку при 0 < С < ОО				у+8с
ОО
					dy < ОО,
				У

то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости (теорема 1.4)
		ОО I *-'/		ОО	е~у dy ■ 1.
lim		е ~у ' ] /	dy =	J*	е~у dy ■ 1.
lim		J		J*
Далее,		dy	1
			1
2Я I <?-*-			2Я (*	.. dy =- + d (Я)
	l 7 У (У + 8Я)		J	К у (у + 8Я)
ОО		dy		lim d (Я) =
где nf f t ) = J	е-г/	dy	, rf(0) =	lim d (Я) =			dy < I.
		V У (У + 8Я)		X у о
Поэтому по теореме о среднем (е_І ^				с (Я) ^		1)
2Я J е~У		dy	2Я (Я) f	, . - Д		оіч +	d{%)
2Я J е~У	VУ (у + 8Я)		2Я (Я) f	, . - Д		оіч +	d{%)
6	VУ (у + 8Я)		Ц VУ (у + 8Я)

606	ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ	[ГЛ. 15

Но

dy	ln Я 1	+	In 8			ln [2 \f\ + 8Я + 2 + 8Я]
Ѵу(у + 8Я)	ln Я 1	+	ln Я					ln Я
Ѵу(у + 8Я)			ln Я					ln Я
значит,
ö (Я) =	— 2Я In Я с (Я) —j—О ^[п							Я \|0 .		(15.109)
Подобно тому,	как показывалось существование
				1
lim Мя* (1 — л,) =				х (\		— x)q(x) dx,
			о
можно показать, что существуют
lim М (1— 2я,)2,				lim Мл?(1— я,)2,
< - > оо	4	'	t - ю о
причем
lim М(1 — 2я,)2 =			у lim			Мл2 (1 — я,)2.				(15.110)
				t -> СО
(Заметим, что к (15.110) можно				было бы прийти					следующим
путем. Из (15.102) по формуле Ито получаем
		t						t
n t 0 — n t) = по(1 — «о) + ^ j		(1 — Zn-sf ds ~						J It2 (1 — Я5)2 ds +
	о							о
				+ Jt (1-2я,)я5(1 -я ,)^ .
Отсюда следует					2	я 5) 2		t
МяДІ — я,) = я0(1 — п0) + Я J М(1 —								t
МяДІ — я,) = я0(1 — п0) + Я J М(1 —							ds —J Мя2(1 — nsf d s ,
или		о
или
d[Mnt ( \ - n t)}										(15.111)
dt	=ЯМ(1 — 2я,)2 — Мя2(1 — я()2.									(15.111)
dt
т I	ожидать,	что				d ГМя, (1 —яЛ]			0.	Вместе
Но естественно	ожидать,	что		lim —1— -гг----— =					0.	Вместе
				/-*оо				dt

с (15.111) это приводит к соотношению (15.110).) Замечая

теперь, что (1 — 2л:)2 = 1 — 4х (1— х),				из (15.110) получаем
lim МяДІ — n t) =	-—	lim	Мя,(1 — ntf	1	+ О т	(15-112)
t ->°о	4	/-*00	ня	= T

<<< < Предыдущая 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 / 7161 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ