Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 / 7158 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 > Следующая >>>

§ 4]	АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЛЬТРА	567
		567

Переходя	в этих	неравенствах к пределу (Т		оо),	находим
с учетом	(14.129)	и (14.130),	что
Ііш х*утх — lim Ѵт(х\ й (Г)) =			lim Ѵйт(х; й° (Т)) = х*у°х.		(14.132)
71 -> оо	7' -> оо	Г	оо
Следовательно, в силу произвольности вектора				х	1іту7- = у°
				Г - > со

существует. При этом у0 не зависит от начальной матрицы у0. Выше уже отмечалось, что у0 является положительно опре деленным решением матричного уравнения (14.104). Покажем, что в классе положительно определенных симметрических ма

триц это решение является единственным.

Действительно, пусть у(І)

и у(2> — два таких

решения.

Обо

значим \\1), і ^ О ,

решения

уравнений

(14.103)

у<н=

у<1>и

у02>(=

У(2) соответственно.

Тогда

согласно доказанному

lim у(А =

у0 == y(i\

i = l ,

Г - > ° о

Теорема доказана.

то в формулировке

З а м е ч а н и е

Если sup Sp МѲ,Ѳ[ <

о о ,

<>о

поскольку

теоремы 14.3 можно отказаться от предположения (I),

S p у ,

S p MOfOf.

З а м е ч а н и е

Пусть процесс

(0,,

І<) =

([Ѳі(0.

•••>

(г1)],

[|,(0, •••, |г(01)

удовлетворяет рекуррентным уравнениям (за

дача

Калмана — Бьюси)

Ѳ/4-i —

алѲ/ +

Ь,е, (t +

1),

(14.133)

\( —

^1е2 (t)

cp. с (14.100)). Чтобы в терминах матриц а,, Ьь Л, и ß, сфор мулировать условия, обеспечивающие существование предела lim yt, достаточно заметить следующее. Поскольку

t ОО

£ж = Л,п,Ѳг -{- А]Ь\ЪХ( / + ! ) + ß,e2 (t -j- l)t

то, полагая
а =	а, - ЫЫАх [AibibUX + ВХВ\\~' Л,а„
Л =	Л,а,,
Ь=	[ЬФХ- ЬхЪХАХ {АуЬфХАХ+ ВхВХГ1AxbibX\'ß,

B = {AxbxbXAX + BxBX)m,

сводим задачу исследования существования limy, к уже изу-

t ОО

ченной задаче для системы (14.100).

4. П р и м е р 3. Пусть Ѳ, и — одномерные процессы с

Ѳ(+1 = aQt -f Ьгх (t + 1), £ ж = ЛѲ, + ß e 2 ( / + 1).

568 ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ [ГЛ. И


Тогда,	если	А ф О,	Ъ ф О,	В ф 0,		то выполнены условия тео
ремы	14.3	и предельная		ошибка			фильтрации у0 — lim yt
(yt = М (Ѳ, — mtf, mt = M (0J\|o,						\ t))			t	оо
								определяется как		по
ложительный корень			квадратного уравнения
		Ѵ2 +	В Ц I - а 2 )		- Ь 2	у —		Ь 2 В 2	= 0.
			А 2					А 2
§ 5. Рекуррентное вычисление наилучших приближенных
		решений (псевдорешений) линейных
		алгебраических систем
1.	Пусть заданы вектор у = (уь						. . . , у и) и матрица Л = \|\|а і;-\|\|

порядка ( k \ n ) и rang А ^ min (k, п). Тогда система линейных алгебраических уравнений

Ах — у,

(14.134)

вообще говоря, может не иметь решений, а если и имеет, то решение может быть не единственным.

Говорят, что вектор х° есть наилучшее приближенное реше ние (псевдорешение) системы (14.134), если

			I у — Ах° р = inf \ у — Лл: I2							(14.135)
							X
и, если	также \| у — А х ' \ = т’						і\у — Ах і,		то
						X
		k			I x ^ ^ U ' i 2,					(14.136)
где I у-	Ах	k		Уі - 2 ацхг і					2 1ж, р.
где I у-	Ах	=2		Уі - 2 ацхг і					2 1ж, р.
		і=1			/= I				/=1
Иначе говоря, псевдорешение есть приближенное решение,
имеющее наименьшую «длину».
Хорошо известно *),					что такое решение х° задается формулой
					X	о	л +	у,		(14.137)
					X		= А	у,		(14.137)
где А +— матрица,			псевдообратная к матрице А (см. §							1 гл. 13).
Из (14.137) видно, что для отыскания псевдорешений требу
ется находить		псевдообратную матрицу А +. Однако,								как будет
показано в этом параграфе,							используя уравнения оптимальной

фильтрации (13.56), (13.57), можно предложить рекуррентную процедуру нахождения псевдорешений, не требующую «псевдо обращения» матрицы А.

2. Начнем с того случая, когда система алгебраических уравнений Ах — у совместна (k^ri). В этом случае псевдоре-

) Q m ., например, § 5 гл. 1 в [30].

§ 5] ПРИ БЛИ Ж ЕН Н Ы Е РЕШЕНИЯ 569

шение х = А у выделяется среди всех решений а: тем, что его длина является наименьшей, т. е.

Введем некоторые		обозначения.		Пусть t — 1, 2,	k —
номера строк	матрицы	А,	at — строки	матрицы А,
			а1
		At =
г/, — элементы	вектора	у,	t = 1.........k,

Рассмотрим для каждого t (совместные) системы линейных алгебраических уравнений *)

Положим также		А,х = у*.				(14.138)

	xt = A t y t,		Уt = E — AtAu			(14.139)
Т е о р е м а	14.4. Векторы		xt и матрицы	yt, t = 1,		. . . , k,
удовлетворяют системе рекуррентных уравнений
xt+ i = хі + Чіа*і + \{аі + <ѵА + і)+ {Уі + і - аі+ \хі)>				*о =	°>	(14.140)
Y / + j =	Y / - Y i a ; + , ( ö / + i Y <a ; + , ) + a t + i Y t , Y 0 =				£ .	( И . 1 4 1 )
где			> at + lytat+l > 0 ,
{at + іУtat+1)	[af+ iYfa<+ ij					(14.142)
	0,		at + iytai+i =	0’


и вектор Xk совпадает с псевдорешением х°.
Если rang А = k, то (at+ lyta)+ l)+ — (at+ lyta)+					при всех
t — 0, . . . , k — 1.		Пусть Ѳ= (Ѳ1). . . , Ѳй) — гауссовский
Д о к а з а т е л ь с т в о .
вектор с МѲ =	0, МѲѲ* =	Е, и пусть
		Ъ* = АА.				(14.143)

Тогда по теореме о нормальной корреляции (теорема 13.1) и

в силу того, что М^ — 0, МѲ(|*) — At, М(|*)(£*) — А(А'(,

т / ^ М ( Ѳ І ^ ) = At (AtAt)+Ü*-

) Размерность вектора х равна п при любом t.

570		ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ				[ГЛ. 14
		ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ				[ГЛ. 14
Но	по свойству 6° псевдообратных		матриц (см.	§	1	гл. 13)
At (AtA't)+= A t . Поэтому
		nit = A t l*.			(14.144)
	Далее,	опять-таки по теореме о	нормальной	корреляции
yt = E — A t At = Е — At {AtA))+At =
=	МѲѲ* -	МѲ (gO* (м f e O ( l O T (мѳ (\|*)У = м [(Ѳ - m t)			(Ѳ -	т , У ] .
						(14.145)

С другой стороны, систему уравнений (14.143) можно пред ставить в следующем эквивалентном виде, принятом в рас

смотренной выше схеме фильтрации:
Ѳг + і — Ѳ*, Ѳ0 = Ѳ; It + 1 = Щ+ іѲ, £0 = 0	(14.146)

(ср. с системой (13.46), (13.47)). Из уравнений фильтрации

(13.56)	и (13.57) применительно к схеме (14.146)			находим, что
m t + ! =	m t +	YА	+1 ( a t + iYА + 1)+ (S* +1 — a t + >m t)>	m o =	°>
					(14.147)
Vt +1 =	Y( —	Yta ) +	1 ( a t + .Yta t + .) + a t + iYi.	Y0 —	E -
					(14.148)

Итак, требуемое рекуррентное уравнение (14.141) для у( уста новлено. Чтобы теперь из (14.147) вывести уравнение (14.140), поступим следующим образом.

Пусть 2 — Ѳ*х. Тогда
=	М AtQQ*x — Atx = у \
' Mltz =	MatQQ*x =	atx = yt,	(14.149)
Mm,2 =	M A tltz =	A t M ltz =	A t y t = xt.

Умножая левую и правую части (14.147) на г и беря затем математическое ожидание от полученных выражений, находим

МЩ + lz = Mmtz + ytat + l (at + {ytat +,)+[M|£+ lz — at +,Mmtz\,

что вместе с (14.149) приводит к искомому уравнению (14.140). Из (14.139) и (14.137) вытекает также, что xk = x°.

Для доказательства заключительной части теоремы положим для данного t

b = at + \ — xi!iCsas,	(14.150)
S = = 1

где числа cu . . . , ct выбраны так, чтобы величина bb* была минимальной. Обозначая с вектор-строку (щ, . . . , с,), запи шем (14.150) в векторной форме:

b = at + 1 — cAt.

( 1 4 . 1 5 1 )

§ 5]	ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ	571
Тогда
bb	— at + lat + 1 ^at + [^tc	cAtAtc.

Отсюда в силу минимальности величины bb* вытекает, что вектор с = (с\. с,) удовлетворяет системе линейных алге браических уравнений с [AtA]} — at+lA*u и, следовательно,

		с = о,+\|Л ;( Л ,Л ;р = я ,+ \|Л,+.			(14.152)
Из (14.151) и (14.152) следует, что
		b =	al+ l ( E - A + At)
и
bb' =	at+ l( E - 2 A + At + {A + A t) y t+ l =
			= аі+ЛЕ — ATAt) ЯІ+І = a t+iytat+u
где мы воспользовались свойством 4° псевдообратных матриц
(§ 1 гл. 13).			А равен к,	то ранги	матриц		At,
Если		ранг матрицы
t = 1,	. . . ,	k, равны t. Поэтому при любом t = 1,			. . . , k	строка
аі+] не является линейной комбинацией строк					аи . . . ,	а(,	и,
следовательно, bb* > 0. Но bb* — at+\4ta)+v поэтому at+]\ tat+l > 0.
Теорема доказана.
3.		Обратимся теперь к тому случаю, когда система алгебраи
ческих уравнений Ах = у несовместна.				Оказывается, что и в этом

случае для отыскания псевдорешения х° — А +у можно построить рекуррентную процедуру, не требующую «псевдообращения» матрицы А.

Будем предполагать, что матрица А — \\аң\\ имеет поря

док (kyin). При описании рекуррентных процедур существенно различать случаи k ^ . n и k > n . Рассмотрим здесь лишь слу чай

Т е	о р е м а 14.5. Пусть k ^ n и rang А = k. Тогда псевдоре
шение	х®= А +у совпадает с вектором х*, найденным из системы

рекуррентных уравнений (14.140), (14.141).

Для доказательства нам потребуется Л е м м а 14.10. Пусть В — матрица порядка (тУ^гі) и Е —-

единичная матрица порядка (п~Хп). Тогда
lim (аЕ + ВВ)-]В = В +,	(14.153)
а4-0
lim (аЕ Ат В*В)~1а = Е — В +В.	(14.154)
аіО

572

ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

[ГЛ. 14

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем

Д (а)= В +— {аЕ + ß ’ß)-1 В * = (аЕ +							ß ’ß )-1[(aß+ ß ’ß) В+— В*\=
				= (аЕ +		ß ’ß )-1 [aß+ + aßßß+ — aß].
Но ВВВ+ — В (свойство					7°, § 1	гл.		13). Поэтому
и		А (а) =			а (aß +	ß ’ß)-1 ß +

А (а) (А (а))* = а2(aß +					ß ’ß )-1 (ß‘ß)+ (aß +				ß ’ß)-1,	(14.155)
поскольку		ß + (ß +)’ =	(ß’ß)T (свойство					5°, § 1 гл. 13).
Если ß ’ß — диагональная матрица, то справедливость (14.153)
следует	из (14.155), поскольку нули на диагоналях матриц ß ’ß
и (ß*ß)+	совпадают.		В	противном			случае с помощью			ортого
нального преобразования					S (S ’ =	S -1)		получаем
S* (ßß) S = diag (ßß), S ’ (ß’ß)+S = diag (ß*ß)+
и
SA (a) (A (a))S =
= а [aß +		diag (ß’ß)]-1 diag (ß*ß)+ [aß + diag (ß’ß)]-1 -> 0,a J 0.
Отсюда в силу невырожденности							матрицы		S получаем
		А (а) (А (а))* -> 0,						а J, 0.
Итак, (14.153) установлено.						надо		теперь	лишь заметить,
Для	доказательства			(14.154)
что в силу		(14.153)
ß — ß +ß =		ß — lim (aß +		ß ’ß)-1 ß ’ß =
		a^O
— E — lim (aß + ß ’ß)-1 (ß*ß -[-aß — aß) = lim (aß-)- ß ’ß)-1 a.
	ayo							a^O
Лемма		доказана.		т е о р е м ы			14.5. Если система			Ах — у
Д о к а з а т е л ь с т в о
совместна, fo требуемое утверждение вытекает из теоремы											14.4.
Перейдем к рассмотрению общего случая.
Покажем прежде			всего, что вектор xt = A t y l можно								полу
чить следующим образом:
					xt — Y\mxat					(14.156)
					ayo		’

где x“, а > 0, есть решение совместной системы линейных уравне ний

(aß + А]At) x“ = Aty1■

(14.157)

§ 5] П РИБЛИ Ж ЕН НЫ Е РЕШЕНИЯ 573

Действительно, пусть вектор х“ (/) = (х? (/),			х“(/)) мини
мизирует	функционал
	4 * а) = 2 к * “ - і ь Г + а 2 (4Т.
	S= 1	/=1
где ха =	(х'\|1, . .., X“). Тогда нетрудно	видеть,	что
	xat = ( a E -\г А]А{)	1Ау.	(14.158)

Отсюда непосредственно следует, что х^ является решением совместной системы уравнений (14.157). Но по лемме 14.10

lim (аЕ + At At) At — A t ’

а0

что вместе с (14.158)

и доказывает равенство

xt =

lim x“

Выведем

теперь рекуррентные

уравнения

а * 0

х^,

для векторов

t ^ k .

Для

этого воспользуемся

приемом,

примененным

при

доказательстве

предыдущей теоремы.

вектор

МѲ — 0,

Пусть

Ѳ= (Ѳ!, . .. ,

Ѳ„) — гауссовский

МѲѲ* = Е ,

пусть е(,

t =

1, . . . .

k ,-—гауссовская

последова

тельность

независимых

случайных

величин

ІѴЦ =

М г \= \,

не зависящих от вектора Ѳ.

Положим

£/+1= а /+іѲ, + а ,/гв,+„

а >

(14.159)

где

Ѳ( =

Ѳ.

Тогда

m“ =

М (Ѳ, 1

. . .,

l t) =

М (Ѳ 1g,,

. .. ,

l t),

Y“ =

M [(Ѳ — m<})(Ѳ— m<t)*] согласно теореме 13.4 удовлетворяют

следующей системе уравнений:

tnf+, =

mat +

V°af+i

(£/+i

at+\mf)’

m« =

(14.160)

а + at + ly'}at + ]

Y?+,=Y? ----

V°iaf+iaf+iV?

’

Yo = E -

(14.161)

а "Г at+iY?a;+i

Согласно

теореме

13.15

решения

и y“ э т и х

уравнений

•задаются

формулами

t- 1

m? = К

(14.162)

+ Л Д ) - '

S + l 6.+I=

л и д - 1

5 = 0

<-i

- 1

Y“

ot£+ s2=0aS+lßS+l

= a(ct£ +

A]At) - \

(14.163)

574	ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ	[ГЛ.	14
Пусть	А" = y t — atxav А“ = (Д“........ A“), e = (e,, . ..,	eft)	и

EtA'1— у — Atxa, где Et — матрица, образованная первыми t строками единичной матрицы Е размерности (k X k). Положим 2 == Ѳха -f- а_і/2е Дп. Тогда

М ^2 = М [а,Ѳ +	a l/2e j [Ѳ ха + а-І/2е Аа] = atxa + A“ =	yt,
M g'z= М [AtQ+	аІ/2£,Аа][ѳ У + сГі;Уд°] =	(14.164)
	= Atxa + EtAa = у \

= (аЕ -f- A*tAt) 1А]Ы\гг = (аЕ + А\А^ ' А\у1— xat . (14.165)

Умножая (справа) на 2 левую и правую части (14.160), вычисляя затем математическое ожидание и принимая во вни мание соотношения (14.164) и (14.165), находим, что

= *? +	У?аі+1		{Уі+і	at+ix<t)’ *0 —	(14.166)
Ч+1	а 4-п	ѵал*	Ѵ^г + І
	а + at+\ytat+\
В силу леммы (14.10)		существует
	Ііш y* = E — A f A t			(= Y,)-
	а 4 0

Поскольку rang Л — k, то at+ly*at+l> 0 при всех а > 0 , что

вытекает из (14.163) и теоремы 14.4. Поэтому в (14.161) воз можен предельный переход при а | 0, что дает для у, = lim уа,

уравнение		а	4 о
уравнение
Ѵ < + і — У і	~ 4 t a *t+\ ( a f + i ' V < a t + i )a~t 1+ lV t,	У 0 = Е -
Наконец, совершая в (14.166) предельный переход по			а \|	0,
получаем в силу (14.156) требуемое уравнение (14.140).
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е .	Система рекуррентных соотношений (14.166),
(14.161) при а > 0 справедлива и для случая k		> п, rang А ^		п.

Таким образом, с помощью этой системы отыскиваются век

торы х%= (аЕ + А*А) А у - > А +у для матрицы А{кхп) ранга г<Ппіп(&, п) (см. лемму 14.10).

Г Л А В А 15

ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§1. Винеровский процесс в широком смысле

1.В предыдущей главе при отыскании оптимальных линей ных оценок для стационарных последовательностей с дробно

рациональным спектром был использован часто применяемый в теории вероятностей принцип взаимосвязи между свойствами «в широком» и «в узком» смысле. Применительно к исследо ванному случаю этот принцип состоял в том, что для построе ния оптимальной (в среднеквадратическом смысле) линейной оценки достаточно было рассмотреть лишь случай гауссовских последовательностей (лемма 14.1). Этот принцип будет приме нен ниже и в задачах линейного оценивания процессов с не прерывным временем. Полезным при этом оказывается введе ние в рассмотрение понятия винеровского процесса в широком смысле.

2. О п р е д е л е н и е 1.		Измеримый случайный			процесс
W = {Wt),	О, заданный	на вероятностном пространстве (П,
Р), называется винеровским процессом в широком смысле,
если		Г 0 =	0	(Р-п. и.),

	М№, =		0,	О,	(15.1)

N\WtWs — t А s.

Ясно, что всякий винеровский процесс является в то же время винеровским и в широком смысле. Другим примером винеровского процесса в широком смысле является процесс

			Wt = nt — t,			(15.2)
где	П = (%),		0, — пуассоновский	процесс	с Р (я0 = 0) — 1 и
P(„t = Ä) =		e- * i l
z =	Пусть	t,	0, — неубывающее	семейство		ст-подалгебр Т ,
z =	(zt,&rt),		t ^ O , — винеровский процесс		и	а = (аДсо),

576	ЛИНЕЙНОЕ	ОЦЕНИВАНИЕ	СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ	[ГЛ. 15
	О,— некоторый	процесс с Ма^(со)>0,		Тогда про
цесс		t
		t
	Wt =	f - 7	dzs, 0 < * < 7 \	(15.3)
		І УМа^а)

является еще одним примером винеровского процесса в широ ком смысле. Заметим, что этот процесс имеет Р-п. н. непре рывную модификацию.

Из определения ясно, что винеровский процесс в широком смысле есть процесс с ортогональными приращениями, т. е.

			[Wt,	WtS [Ws,
если	s, < s2< t l < t2.
Пусть Ф(<іА),			— oo < А < oo, — ортогональная спектральная
Пусть Ф(<іА),			М	—		—		= о,
мера с МФ {dX) =			О, М \| Ф (dl) \|2 =		~		. Из спектральной теории
стационарных		процессов		известно,		что для			каждой измеримой
функции ф(А)		такой, что
				оо
			J I ф(А) fdX <				О О ,
			— ОО
можно определить стохастический						интеграл *)'
				00
			/ (ф,	Ф )= /ф(Я,)Ф.(гіА),
				— оо
обладающий следующими двумя важными									свойствами:
				00
			М	J ф(А)Ф(гіА) =				0,	(15.4)
				—со
	00		оо					оо
М	J ф 1(A)Ф(dA) J ф2 (А) Ф (dl) — ~							Jфі (А) ф2 (А) dk. (15.5)
	—оо		—оо					—оо

*) Этот интеграл есть предел (в среднем квадратическом) очевидным

Образом определяемых интегралов I (<pm Ф) от простых функций у п (А),

п = 1, 2........	таких, что J \| <р (А) — уп (А) ]2 d% -> 0, п -> оо (ср. с конструк*
	—00

цией интеграла Ито в § 2 гл. 4).

<<< < Предыдущая 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5758 / 7158 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ