§ 4] |
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ |
СВОЙСТВА |
ФИЛЬТРА |
557 |
З а м е ч а н и е . |
Пусть Ѳ0 — m — детерминированный |
вектор, |
ö(/) = 0. |
Рассмотрим |
задачу управления |
(по полным данным) |
детерминированным |
процессом |
Ѳ„ ^ = |
0, |
Т, с |
|
|
Qt+i = c{t)ut + a{t)Qt, |
Ѳ0s= m, |
(14.94) |
и функционалом |
|
т |
Т - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ ( и ) = ^ ѳ ;я (t) 0t + S |
utH (t) ut. |
(14.95) |
|
|
|
<=0 |
f=0 |
|
|
|
В этом частном случае оптимальное управление |
|
S/ = |
- [ ^ W + |
c*(0/>( f + 1)с(/)]+ с‘ (/)Р (^+ 1)а (/)Ѳ„ |
(14.96) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
a |
4 +І — с(/)й,+ |
я(/)Ѳ,, |
% = m, |
|
|
|
V (ü) = m*P (0) m. |
|
(14.97) |
|
|
|
|
§ 4. Асимптотические свойства оптимального линейного фильтра
1.Рассмотрим задачу фильтрации*) для гауссовского про
|
цесса |
(ѳ,І) = [(ѳ,(0, . . . . 0*(0 ), (1,(4 |
|
Ы))\, |
t = 0, |
1 , — |
|
удовлетворяющего рекуррентным уравнениям |
|
|
|
|
4+1 — «і4 + а21/ + 4 ei {t + 1) + |
Ь2е2 (^ ~Ь 1)> |
(14.98) |
|
ков (k |
I/+1 = П, 4 + |
+ В,е14+ 1) + |
В2ег {І |
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с постоянными матрицами |
а,, а2, |
Ьи Ь2, |
Аи А2, |
В1 и В2 поряд |
|
|
X k), (k X I ) , (k X k), |
(k X 4 |
(/ X /г), (/ X /), (/ X *), |
(I X /) |
|
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим т , = М (4|£Г |) и |
у, = |
М [(4 — т ()(Ѳ( — т ()’]. |
Тогда согласно теореме 13.4 матрица ошибок у, удовлетворяет рекуррентному уравнению
Y(+i = a,Ytax+ b ° b — |
|
|
|
- \b о В + |
а.ѵИП lß 0 ß + 44,yHI]+ [*0 B + aiYHif> |
(14-" ) |
где b ° b — b\b\ + |
6262, b 0 В — b\B\ + 6262, B° В = BiB\-\-B2 B2 . |
В этом параграфе будет исследоваться асимптотическое |
поведение матриц у* при t->oo. |
В предположениях, |
сформули |
рованных далее в теореме 14.3, |
будет показано, что |
lim |
уг = у° |
|
|
|
f-> оо |
|
существует и 0 < S p y ° < o o .
') По доводу принятых далее обозначений см. § 2 гл. 13.
558 ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ [ГЛ. И
Факт существования такого предела имеет важное значение для приложений, поскольку в этом случае оптимальная в средне
квадратическом |
смысле оценка |
т„ |
|
О, «отслеживает» вели |
чины Ѳ*, |
f ^ O , |
с конечной |
ошибкой |
даже и тогда, |
когда |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 М Ѳ ^ (/)-> |
со, |
/ - > |
оо. |
|
|
|
|
/=і |
|
|
|
|
|
|
|
Прежде чем переходить к выяснению условий, гарантирую |
щих существование предела |
у ° = Іfі-»тОоу„ заметим, |
что вместо |
системы |
(14.98) |
достаточно |
рассматривать |
систему уравнений |
|
|
Ѳ/+і = |
аб, + |
Ьгі (t + |
1), |
|
(14.100) |
|
|
\t+ 1 = |
Aüt + |
Be2(t + |
1) |
|
|
|
|
|
с Ѳ0 — Ѳ0, |
|о —■| 0, |
|
|
|
|
|
|
|
a = al — ( b o B ) ( B o B ) + A l, |
|
|
|
Л = |
Л„ |
(14.101) |
b = [(b°b) — (b°B)(BoB)+(b°B)*\>/2, |
B = (B°B)'ß, (14.102) |
поскольку уравнения для yt как в случае (14.98), так и в слу чае (14.100) будут совпадать.
Действительно, если |
тѳ (t + 1, /) = |
М(Ѳ,+ 1| |
О , ) , |
то |
|
Y/+i = М [(0,+, — mt+l)(Qt+ l — mt+lY] = |
|
|
|
|
|
|
= |
М [(Öt+i — m^{t + |
1,t) + më<( /+ 1 ,t) — mi+|j X |
|
|
X (0<+, |
m bt (( + |
1, () + |
(t + |
1,0 — |
|
+ |
~ |
|
|
= |
M [(0t+1 - |
(/ + |
1, 0) (0t+1 - |
möf ( t + l , |
/))*] + |
|
|
|
+ |
M [(V i^(/+ |
1, () — w ,+1)(m ö^ |
+ |
1, () — «;_,)*]. |
В силу (13.91) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м [(Ѳі+і — |
!> 0) (ѳ/+і — |
1, f))] = |
Y(*+ 1, 0 = |
|
|
|
|
|
= |
b о b — (6 о ß ) (ß о ß) + (b о В ) " |
= |
bb', |
а из определения шб ((-J- 1, ^) в силу замечания |
к теореме |
13.4 |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ, V + |
1’ t). = |
« А + a2l t + (b о В) (В о ß )+ (І<+І - |
Л.Ѳ, - |
A2l ty |
Поскольку mt+x — М |
|
(t + |
1 , ( ) | ^ +1J, то из рекуррентного |
уравнения для |
/ и ^( ( +1, / ) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
mt+1= |
(А ^ + 1) + Й2І* + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (öoß) ( ß ° ß ) ' (|/+ 1_ |
(/, ( + 1) — Л2|Д |
§ 4] |
|
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА |
ФИЛЬТРА |
|
|
559 |
где |
т (t, t + |
1) = |
М [Ѳ( | |
Следовательно, |
|
|
|
|
+ О — mt+\ = |
\ai — (bo В) (BoB)+ |
— |
t + |
1)) = |
|
и |
|
|
|
|
|
|
= a(Qt — m(t ,t + |
1)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M[(m6((^+ |
1, t) — mt+l) (m6i(t+ |
1, t) — m, + 1)*| = ay (t,t + 1)a , |
где |
y (^ t + |
1) = |
М[(Ѳ<— m(t, t + |
1))(0/ — m(t, t + |
1))*]. |
Но |
со |
гласно (13.110) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (*, t + |
1) = yt — ytA\ [ßoß-f- H[Y^I]+ ^iYr |
|
|
|
Значит |
для |
yt, |
t > 0, |
также справедливо |
рекуррентное |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y/ + 1 = k - ( b o В ) ( В о В ) + Л ,] yt [а, ~ ( Ь о В ) ( В о В ) + Л, f +
+[Ь° b — (Ь о В) (В о В)+ (Ь оЯ)*] —
—[а, — (ft о Я) (Я ОВ)+ (Ь оß)*] Ѵ(л; X
X [Я о В + Л . у ( Л | ] + Л , у , [ а , - (Ь о Я) (Я о fi)+ (b о В)*]\
Поэтому в дальнейшем будет рассматриваться лишь система (14.100) и соответственно изучаться асимптотическое поведение матриц yt, удовлетворяющих рекуррентному уравнению
Yt+i = ayta* + bb* - aytA* [BB* + AytA*)+Ayta. (14.103)
Т е о р е м а 14.3. Пусть выполнены следующие условия'.
(I) Ранг блочной матрицы
..-(V )
|
|
|
|
|
|
\ |
Aak- 4 |
|
|
размерности |
(kl X k) |
равен |
k\ |
G2 — (b ab ...ak~xb) |
размерности |
(II) |
ранг |
блочной |
матрицы |
(k X Ik) |
равен k; |
не вырождена. |
|
|
(III) |
матрица B B * |
Y0- |
При этом |
Тогда |
существует и |
не зависит от уо Ншу< = |
Sp у0 < |
00 |
и |
матрица |
у0 |
|
t -> ОО |
|
решением |
является единственным |
(в классе симметрических положительно определенных матриц) матричного уравнения
у = ауа*+ bb* - ауА* (ВВ* + А у А Т 1 Луа*. |
(14.104) |
2. Доказательству этой теоремы предпошлем ряд вспомо гательных утверждений.
560 |
ПРИМЕНЕНИЯ |
К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ |
|
[ГЛ. 14 |
Л е м м а |
14.4. Пусть |
D |
и d —матрицы размерностей |
(I X k) |
и {k X k) соответственно, |
и |
пусть |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
D„ |
|
Dd |
n ^ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ddn~ ] |
|
|
|
— блочные |
матрицы размерностей |
(nl X k). |
|
либо |
Тогда матрицы DID* |
и D*nDn, |
п > к, одновременно |
вырождены, либо не вырождены. |
|
блочных |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из правила перемножения |
матриц вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
DlDn = |
DlDk + |
у D»DdK |
(14.105) |
|
|
|
/<=й |
|
|
Отсюда видно, что вырожденность матрицы D*nDn влечет за
собой вырожденность |
матрицы |
DlDk. |
DkDk. Покажем, |
что |
Пусть теперь вырождена |
матрица |
тогда вырождены и матрицы D*nDn, |
п > к. |
|
|
не |
Обозначим |
х ~ (у, |
. . . , xk) |
некоторый вектор-столбец, |
равный тождественно нулю и такой, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
x*D*kDkx = 0. |
|
|
(14.106) |
Установим, что в этом случае |
Dd'x = |
0 для |
всех / ^ |
к. |
Поскольку |
|
|
|
k - \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DlDk = ^ ( d y |
D'Dd |
|
|
|
|
|
|
|
|
і= о |
|
|
|
|
|
|
|
то в силу (14.106) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0, |
Ddx = 0, . . . , |
Ddk~[x = 0. |
(14.107) |
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уо= |
X, |
уі = |
dx = dy0, |
уj+\ == dyj, |
/ < / г — 1. |
|
Тогда |
Dy0= 0, Dy{= 0, . . . , |
Dyk |
= 0. |
(14.108) |
|
Но система |
векторов |
(у0, у {, |
. . . , |
|
yk), |
каждый |
из которых |
имеет размерность k, линейно зависима. Поэтому найдутся числа с0> .. •, ск, не все равные нулю, такие, что
к
, 2 ctyi = 0. |
( 1 4 . 1 0 9 ) |
|
|
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА |
ФИЛЬТРА |
561 |
Пусть |
і — max [/<;&: ct Ф 0]. |
Тогда |
из (14.109) |
получаем |
|
|
|
г—1 |
|
|
£/ |
|
|
|
|
|
Уі= /=0 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
Ci’ |
|
и, следовательно, |
і-1 |
|
і-\ |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dk — dk |
^ i — ^,i°jdk |
1у j = |
|
iHk- і+і. |
|
|
|
|
і—о |
|
/=о |
|
|
Поэтому в силу (14.108) |
|
|
|
|
|
|
|
Dd*x = D y * J j i c ' Dyk_ |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
і=О |
|
|
|
|
Отсюда по индукции устанавливаем, что |
Dd‘x — 0, j ^ k , что |
вместе |
с |
формулой |
(14.105) |
доказывает |
утверждение |
леммы. |
С л е д с т в и е . Пусть D = |
D(kxi), d — dikXk)—некоторые матри |
цы и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D n — ( D d D , . . . d * - ' D ) |
|
|
—блочная |
матрица |
порядка (k X til), |
n ^ k . Тогда |
матрицы |
DnDn и DkDk одновременно либо вырождены, либо не вырождены.
Л е м м а |
14.5. |
Пусть |
Ѳ= [Ѳ, (/),..., |
ОД/)], |
/==0,1, .... |
—гауссовская последовательность, удовлетворяющая |
рекуррент |
ному |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѳ/+і=аѲ<+ 6 е (* + 1). Ѳо = |
0, |
|
|
(14.110) |
где а и |
Ь—матрицы |
размерностей |
(k X k) |
и (k X k) и |
е(/) — |
последовательность |
независимых гауссовских векторов |
в(/) = |
= (8j (/), |
.. ., |
гк(/)) |
с независимыми |
компонентами, |
Мб; (/) = 0, |
Мву (/) == 1, / = |
1, . . . . |
А, |
/ = |
0,1, ... |
|
|
|
|
|
Если |
блочная матрица |
G2 — {b ab ... |
ak~ xb) |
размерности |
{ky^lk) имеет ранг k, то матрица Г<=М0/0? при |
является положительно |
определенной. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из (14.110) находим |
|
|
|
Гі+, = |
МѲі+іѲ;+1 = |
М[аѲі + |
6 е(/+ 1)][аѲ< + |
&в(/+ l)f = |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
= аМѲіѲіѴ + frMe (/ + |
1) в (/ + 1) b . |
|
Г/+І = |
аГ,а* + |
&&\ |
Г0 = |
0. |
|
|
(14.111) |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г, = ЬЬ\ |
Г2 = |
М* + |
abb*а"........ |
|
|
|
|
|
|
Гt = bb' + abb'a + ... |
+ а*-'ЬЬг {аГ)*~\ |
|
|
562 ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ [ГЛ. 14
Пусть t — k. Тогда, |
очевидно, |
Yt — GiGl и при t > k |
|
|
|
г* - |
g gi |
t - |
1 |
|
|
|
|
2 |
a’bb" (аУ. |
(14.112) |
|
|
|
|
2 |
+ |
І=к |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ранг матрицы G2 по предположению равен к, то |
ранг матрицы |
G2G2 также |
|
равен |
к. Тогда |
из (14.112) следует, |
что при |
к |
матрица Д |
не вырождена. |
|
Л е м м а |
14.6. |
Пусть |
(Ѳ, І) = |
( [Ѳ,, . . . , |
Ѳ„], [h, ■■■, l N]) ~ |
гауссовский вектор с положительно определенными матрицами *)
соѵ (Ѳ, Ѳ) = |
М[(Ѳ — МѲ)(Ѳ — МѲ)*], |
(14.113) |
соѵ (і, і |б) = |
М [(І — М (і 1Ѳ)) (І — М (II Ѳ)Л. |
(14.114) |
Тогда матрица |
|
|
соѵ (Ѳ, Ѳ ||) = |
М[(Ѳ — М (Ѳ IІ)) (б — М(0| І ) Л |
(14.115) |
также положительно определенная. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу невырожденности |
матриц |
(14,113) и (14.114) у гауссовских |
распределений**) Р (0 ^ а) и |
Р (І <1 b 10 == а) существуют плотности f. (а) |
и f. |
.(b\ а). Отсюда |
легко выводится, что существует |
ѳ |
і I |
ѳ |
и плотность |
f (b). Поэтому |
из формулы Байеса вытекает, |
что у распределения Р ( Ѳ ^ а ||) |
также существует плотность f |
(а| 6), причем |
|
f_ _ (а I b) — |
fu yb\a)Uya) |
|
|
|
f-уь) |
|
|
'ѳ I5v 17 |
|
|
|
Из факта существования этой (гауссовской) плотности следует,
что отвечающая ей матрица ковариаций соѵ (Ѳ, Ѳ11) не выро ждена, а следовательно, является положительно определенной.
Л е м м а 14.7. Пусть yüt, t — О, I, . . . , — решение уравнения
Y«+i = ayta' + bb* — aytA* {ВВ* + AytA*)+ Ayta* (14.116)
с начальным условием у® = 0 (0 — нулевая матрица порядка
(ky^k)). Если матрица ВВ* положительно определенная, а ранг матрицы G2 равен k, то матрица у°к положительно определена.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Ѳ®, t — 0, 1, . . . , является реше
нием уравнения |
|
Ѳ/+і = aQt |
Ьг{(/ + |
1) |
(14.117) |
|
|
|
_*)_По теореме о |
нормальной |
корреляции (теорема 13.1) |
матрицы |
соѵ (1> |
І I Ѳ), соѵ (Ѳ, |
О 11) |
не зависят |
от 0 и | соответственно. |
|
**) |
Запись {Ѳ |
а] обозначает событие {Ѳj |
at.........Ѳп^ап}- |
|
§ 41 |
|
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ |
СВОЙСТВА |
ФИЛЬТРА |
563 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. (14.100)) |
с |
Ѳ0 = |
0. Тогда |
у? = |
М Г(Ѳ° — |
(Ѳ°. — m?V*l |
m°t — M (0“ I ЗГ)), |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£<+i — |
|
(t -f- 1). |
(14.118) |
Обозначим |
ѳ = |
Ѳ°, |
| = |
(|„ . . . . |
l k), Ѳ= |
(Ѳ°, Ѳ°, . . 0 ° . . , ) , è = |
= (e2(l), . . ., |
e2(k)). |
И |
пусть |
|
|
|
|
В = |
diag (В ... В), |
ä — diag (а ... а) |
|
— блочно-диагональные матрицы, |
у которых отличны от нуля |
лишь блоки, стоящие на диагоналях, равные соответственно
матрицам В и а. Тогда систему |
уравнений |
(14.118) |
для / = 0, |
1, ѵ -, /г— 1 можно представить |
в виде І = |
йѲ + /Зё. |
Векторы |
(Ѳ, Ѳ) и ё независимы, поскольку независимы последователь
ности е, (t) и e2(t), t = 1, 2, |
... Поэтому |
|
и |
М (І |Ѳ) = |
5М (Ѳ 10) |
|
|
|
|
I |
— M (I IѲ) = |
й [Ѳ — М (Ѳ IѲ)] + |
ßë. |
Отсюда в силу |
независимости векторов Ѳ и е получаем |
соѵ (I, І IѲ) = а соѵ (Ѳ, ѲIѲ) ä* + |
ß ß ’. |
Поскольку матрица ВВ* |
не вырождена, |
то не вырождена |
и матрица ВВ* = diag(ßß* ... ВВ*). Далее, матрица соѵ(Ѳ, Ѳ) =
= мѳ!Цѳ°)* |
является |
невырожденной по |
лемме 14.5. Поэтому |
по лемме 14.6 будет не вырождена и матрица |
|
соѵ (в. в 11) = М[(0° - |
М (0» I Уі))(в;- |
м (Ѳ» I ЗС|))-] = |
у», |
что и доказывает лемму. |
|
|
равен k, то для любого |
Л е м м а |
14.8. Если ранг матрицы G, |
вектора X = (хи . . . , |
xk), |
\ лу | < оо, |
і = 1, |
. .. , k, |
|
|
|
|
sup x*ytx < |
оо. |
|
(14.119) |
|
|
|
t >о |
xt — (x |
xk(t)), |
t — 0, |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
1, . . . , T > |
k, — управляемый процесс, удовлетворяющий рекур |
рентному уравнению |
xt+l — a*xt + A"ut, |
x0 — x, где управление |
ut = (и, (t, xQ........ xt), . .., |
ut (t, Xo, |
... , |
xt)) выбирается так, |
чтобы |
минимизировать функционал |
|
|
|
|
|
|
|
Г - 1 |
|
|
|
|
Ѵт(х] и) — х*ту0хт+ 2 |
[x"tbb*xt + u*tBB*utj. |
(14.120) |
Согласно замечанию к теореме 14.2 оптимальное управление üt, і = 0, 1, . ... Т — 1, существует и задается формулой
Üt = - [ B B ‘ + A P (t+ 1 ) А '\+ AP ( t + 1 )а%,
564 |
ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ |
[ГЛ. 14 |
|
где хі+х — a x t + |
A*üt и |
|
|
|
р (t) = ЪЬ* + aP (t+ 1) а ~ a P ( t + 1) А* [ВВ* + АР (/ + 1) Л’]+ X |
|
|
X A P ( t + 1)а*, Р(Г) = уо- (Н.121) |
Сравнивая это |
уравнение с |
уравнением (14.103), |
убеждаемся |
в том, что |
P(t) = yT- f |
(14.122) |
|
Поскольку (см. (14,94)) |
для |
оптимального |
управления |
й = (й0, • • •, й-т—\) |
|
|
|
|
Ѵт(X, и) = |
х*Р (0) X = х*утх, |
|
то для доказательства леммы достаточно показать, что |
|
Ѵт(х; « X |
с < оо, |
(14.123) |
где постоянная с не зависит от Т.
По условиям леммы матрица G( имеет ранг k. Поэтому
матрица GIGi не вырождена. |
|
|
х0), |
. . . , |
щ (t, х0)), |
опре |
Рассмотрим |
управление |
üt = (üt (t, |
деленное следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
„ |
|
{ - A a k - t - ^ G ’ß A - ' i a f x , , |
t ^ k , |
|
|
u t = |
\ |
|
|
0, |
|
|
|
t > k . |
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующий управляемый |
процесс Jèt, |
t = 0, 1, . . . , |
Jct+X = |
— а xt Ar A*üt, ровно |
за |
k шагов попадает |
в начало координат, |
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* * = ( а * ) Ч + 2 Ѵ ) * " '~ 'Л Ч = |
|
|
|
|
|
|
|
|
t=о |
k - \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*\k—t—1 |
A'Aak~1-' |
(GIGi) 1? xn |
|
(«Т |
|
|
2 |
|
|
|
(а*) |
|
|
|
|
|
|
t=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(fl*)‘ {-£ — (G *G i) |
(G T G i)~1} Xg — 0. |
Рассмотрим |
функционал |
VT(x,ü). |
Так |
как |
«, = |
0, |
xt — 0, |
t > k , то sup VT (x, ü) < |
оо. |
Но |
в силу |
оптимальности |
управле- |
T > k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НИЯ U :====(Uq, |
• . • , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup Ѵт(х, и) ^ |
|
sup Ѵт(х, й). |
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
T ^ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup x*vr x = |
sup |
(х, « X s u p |
Кг (х, й) = |
max |
Ѵт(х, и) < о о . |
0 |
Г > 0 |
|
|
Г > 0 |
|
|
0 < Г < / г |
|
|
|
§ 4] |
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ |
СВОЙСТВА |
ФИЛЬТРА |
565 |
Л е м м а |
14.9. Пусть y°t, t = |
0, 1, . . . , |
— решение |
уравнения |
(14.116) с начальным условием у° = 0. Если ранг матрицы G, равен k, то существует
lim у? = у0, |
(14.124) |
t-+oo |
|
где у0 — неотрицательно определенная симметрическая матрица
с Spy°<oo . Если к тому же и |
ранг |
матрицы G2 равен k, |
а матрица ВВ* не вырождена, то |
матрица у0 положительно |
определенная. |
|
|
14.8 величины х*утх |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
лемме |
ограничены для любого |
(| лу | <оо , |
7 = 1 , •••> k). Пока |
жем, что эти величины являются монотонно неубывающими
функциями |
Т. |
Ти й°(Г]) и й°(Т2) — оптимальные управления, |
Пусть |
Т2 > |
отвечающие |
длительностям наблюдения 7’, и Т2 соответственно. |
Тогда, |
если х°(Тх) и x°t (T2) — траектории |
управляемых процес |
сов для |
управлений й°(7’1) и й°(Т2) соответственно*), то |
X у°тх = |
|
|
(X; |
й° (7’2)) = |
|
= |
¥ |
[ « |
( т 2) у ь ь • ( х ° ( т +2) )(а; ( т г ) у |
в в(г-; (гг))| > |
|
|
> |
З 'К З Щ ))’ ЬЬЦЩЩ + |
(й°,(Т,)у ВѲ-(й?(Г2))| > |
|
|
|
|
|
|
|
>Ѵ«Гі(х; |
й°(Т,)) = х \ тх. |
|
Поэтому, |
если й°(Г„) — оптимальное управление |
на интер |
вале |
Тп, |
а |
Т'п+1 == Тп 1, |
то |
|
|
|
|
|
|
Ѵ% {х\ й°(Тх) ) ^ Ѵ йт^х-, й°(Г2) ) < |
< Ѵ°т |
|
|
и |
в |
силу |
равномерной |
(по |
Тп) |
ограниченности |
величин |
Ѵ° |
(л;, й ° ( Т ^ существует |
lim Ѵйт [х\ |
й° (TJ) = |
дс*у°х. |
|
|
Отсюда |
в силу произвольности |
вектора л: |
ясно, |
что пре |
дельная матрица у0 является симметрической, неотрицательно определенной и Sp у0 < оо.
Если, наконец, rangG2 = £, |
а матрица |
ВВ* не вырождена, |
то по лемме 14.7 для любого |
ненулевого |
вектора х |
x*ykx>Q . |
Но величины л:*угл: являются |
монотонно неубывающими. По |
этому для любого ненулевого |
вектора х х*утх > 0 , |
Т > |
k, что |
и доказывает положительную |
определенность матрицы |
у0. |
!) Индекс 0 у V j (X, •), й° (Т), x°t (T) указывает на то, что у0 = 0.
1
566 |
|
ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ |
[ГЛ. 14 |
3. |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы 14.3. |
Возьмем управ |
ление |
|
й, = — [ßß* + |
ЛуМ*]- ' A f a x t, |
|
где |
|
(14.125) |
|
х<+) = |
а х , + А*и, |
(14.126) |
|
|
и матрица у0 определяется из |
(14.124). Покажем, что |
|
|
lim х’у°х1— 0. |
(14.127) |
|
|
if оо |
|
|
|
В силу (14.125) и (14.126) |
|
|
|
xUi4 °xt+\ = |
{х]а + й\А) у0 {а*х, + |
А*й(} = |
|
|
= |
it] [ау°а — 2ау°Л* (ßß* + ЛуМ’)- ' ЛуѴ + |
+ ау°Л (ßß* + Лу°Л*)_1 [ßß* + |
Лу°Л — ßß*] (ßß* + |
Лу°Л*)-1 X |
|
|
X Лу°а*} xt — тВВ*іц = |
|
= x,* {ауѴ — ау°Л* (ßß* + ЛуМ*)-1 Лу°а*} xt — щВВ'щ. (14.128) |
Поскольку у0 есть предел последовательности матриц у°, удовлетворяющих уравнениям (14.116), а матрица ВВ* невы
рожденная, то у0 |
является решением уравнения |
|
|
у° = ау°а* |
ЬЬ* — йу°Л* (ßß* + |
Лу°Л*)~' Лу°а*. |
|
Отсюда и из (14.128) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
хІ+іУ°Хі+і — х]у°xt = |
— [xibb'xt + ÜtBB*üt]. |
|
Следовательно, согласно лемме 14.9 |
|
|
|
|
|
|
|
Г - 1 |
|
|
|
|
|
0 < |
хту°хг = х*у°х — 2 |
[x'tbb'xt + utBB*m] ^ |
|
|
|
|
|
|
t—о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< х'у°х — Ѵ%(х; й° (Т)) -> 0, Т -> оо. |
Теперь ясно,- что |
поскольку |
матрица |
у0 |
не вырождена (лем |
ма |
14.9), |
то |
|
lim хт= 0 |
|
|
|
(14.129) |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
Г - * оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
F°r (x; |
ü°(T)) = |
x*y°x= lim |
^[х'фЬ 'й + |
йіВВ'ш]. |
(14.130) |
Т -> о а |
|
|
|
ГН> оо 1 = 0 |
|
|
|
|
Пусть |
теперь у0 — (не обязательно нулевая) |
неотрицательно |
определенная симметрическая |
матрица. |
Тогда |
в силу |
(14.120) |
Ѵ°т(х\ й ° ( Т ) ) ^ Ѵ т(х- Й(Г))<
Г - 1
^ХтУьхтА- 2 [x)bb'xt + UtBB'üt]. (14.131) 1=0
