Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 7155 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 > Следующая >>>

§ Ч	ФИЛЬТРАЦИЯ			СТАЦИОНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ				637
Из (14.6),		(14.7) следует, что						637
			Wjiz):	,- 1 [ f l ^ z j + ß , ]				(14.9)
			Wn(Z):	п — 1
			Wn(Z):	-1 akWk+i (z) + ß„				(14.10)
				fc= 0
Отсюда уже нетрудно вывести, что
Wn(z) =	z-'		2		(z) +	2	ßy2 -W -«)+ ß„	(14.11)
		k=0				j=k+i
и, следовательно,
				Wn(z) =	P[nnl i(*)			(14.12)
					Q n ( z )
где / ^ ( z )		— полином степени			не выше п — 1,
Далее,		в силу (14.9) — (14.12)
				IV ■(г) =	Р"~‘(г)		•	(14.13)
				, ( Z )	Q n ( z )		•
где полиномы Pn-i(z) имеют степень							также не выше	п — 1,
причем	в силу (14.8)
				Р " и (г )* вРа- Х{г).				(14.14)
Таким образом, т)і(0 — ті(0-								процесс
Т е о р е м а			14.1.	Стационарный (s широком смысле)				процесс
т)(^), t =	0 , ±		1, . . . ,	допускающий		спектральное представление

(14.1), является компонентой п-мерного стационарного (в широ

ком смысле) процесса (rh (і), . . . ,						трД/)), т)і (0 =			Л (0,	подчиня
ющегося системе рекуррентных уравнений
Л/(* +	1) == Л/+і (0 +			ß/e (t +	1),	І =	1,	- •	ti— 1,	(14.15)
	п -	1								(14.15)
	п -	1
'п«.(t +	О — — 2		а/п/+і (0 +		ß«e (t +		1)-
	/=0
Процесс	z(t), t — 0, ±			1, . .	допускает представление (14.3),
	Мтр (s) è (t) =			0, s < t ,		/ =	1,	. . . ,	n,	(14.16)

акоэффициенты ßI( . . . , ß„ задаются формулами (14.8).

До к а з а т е л ь с т в о . Заметим прежде всего, что из пред

ставлений (14.12), (14.13) следует,	что все полюсы у функций
W j ( z ) лежат внутри единичного круга.
Используя представления (14.6), (14.7) и (14.5), легко нахо
дим, что процесс (тр (і), . . . , трД/))	удовлетворяет системе ре
куррентных уравнений (14.15).

538	ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ				(ГЛ. 14
Установим теперь справедливость формулы (14.16). Пусть *)
0	1	(МО, • , М О ) ,
		0 ...	0	ß.
0	0	1 ...	0
А —	0	0 ...	в =	р2	(14.17)
0			1	ß«
—а 0	— а ,	— а 2 .. .	СІц—

Тогда в матричной записи система уравнений (14.15) допускает

представление					(14.18)
	Yt = AYt^ + BBt.				(14.18)
Пусть t >	s. Тогда в силу (14.18) и (14.4)
MYsè (t) =	ЛМУ,_,ё it) =	ЛW	s_2ë (0 =	• .. = Л ^ М Г ^ ё (*),
причем для	каждого / = 1 ,	. . . ,	/г
Мті/ is - N ) l i t ) К (МI % (s—N) I2) '				p!/li ('■)	2 dX \'h
Мті/ is - N ) l i t ) К (МI % (s—N) I2) '				Qn(ea )	< oo.
			\ — Л	Qn(ea )	2я

Значит, для доказательства равенств (14.16) достаточно пока зать, что

lim Л* = О	(14.19)
М->оо

(О — нулевая матрица).

Собственные числа матрицы Л совпадают с корнями урав нения Qn(z) = 0 и поэтому лежат внутри единичного круга. Приведем матрицу Л к жордановой форме:

A = CJC~\

где на главной диагонали матрицы / стоят собственные числа матрицы Л. Пусть Я— максимальное собственное число мат рицы Л. Тогда, поскольку 1Я |< 1, любой элемент матрицы JN не превосходит по модулю величины N\ Я |w-1- Но ЛІѴ= С /ІѴС_1

и N I Я |w_1-> О, N —> оо, что и доказывает (14.19).

З а м е ч а н и е	1. Если	т](/),	^ = 0, ±	1, . . .	, — действитель
ный процесс, то	каждый	из	процессов	е(^),	ц2(7)> . . . , r\nit)

также является действительным. При этом ковариационная матрица Г = МТ^П удовлетворяет уравнению

Г = ЛГЛ* + ЯД\

(14.20)

) При алгебраических операциях F* рассматривается как вектор-столбец.

§ 1]

ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

539

Если t > s,

то

соѵ(У„Гв) =

М т е = Л '- « Г ,

(14.21)

что следует

из равенств

Yt =

AYt- {+

Be(t) =

A2Yt. 2 +

ABe(t — 1) + Be(t) = ...

t- 1

. . . = A*-sYs +

2 A*-14Be(j + 1).

(14.22)

Аналогично,

при

t <

j=s

соѵ(У„ Ув) =

Г (Л *Г '.

З а м е ч а н и е

Если

rj(^),

/ = 0, ± 1 ,

. . . , — гауссовский

процесс, то

e(i),

t =

± 1,

. . . , является гауссовской последо

вательностью независимых случайных величин.

для

вывода

урав

Используем

представления

(14.15)

нений фильтрации компонент стационарных последовательнос

тей с дробно-рациональным спектром.

t =

Пусть vt = [Ѳ„ У =

[(Ѳ, (/), . •.,

Ѳ* (0),

(Ei (0. .. •, & (*))],

± 1........ — действительный

стационарный (в широком

смысле)

k + /-мерный процесс,

допускающий представление

ѵ<= J eiMW(ea )0(dX),

(14.23)

где

W (z) — II Wf' q (z) II — матрица

порядка

N X m ,

N =

k +

с дробно-рациональными элементами

p(r, q)

Wr,q{z).

nr,q-

(14.24)

(r,q)

Q[n q

а Ф (dX) = [Ф[ (dX), . . . ,

Фт (dX)\ — случайная векторная мера с не

коррелированными компонентами,

МФ,- (dX)—0, М | Ф;- (dX) j2 = ^ .

Будем предполагать

также,

что корни уравнений Q ^^(z) — 0

лежат внутри единичного круга.

Применяя теорему

14.1 к каждому из процессов

Ѵр,г,«?(*)= \ eiMWr,q{e^)Op{dX),

(14.25)

после простых преобразований для вектора

|< =

(іі(/),

• ••,

!;(/))

и вектора Ѳ/ (составленного

из вектора Ѳ<= (Ѳ,(/),

. . . ,

ѲА(/))

и всех тех дополнительных компонент типа %(/),

лДО-

которые возникают по теореме 14.1 в системе (14.15)) получаем

систему рекуррентных уравнений

Ѳ/-И =

afit +

Ö2\t +

be(t + 1),

(14.26)

E/+i =

Afit +

A2\ t +

Be(t -j- 1),

540	ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ	[ГЛ. 14
540

где e(t) — (el(t),..., em(t))—последовательность некоррелирован ных векторов с некоррелированными компонентами, Me;(t)—0,

М е*(/)= 1,

	П
	e,(t)= [ е^Ѵ-Чфj(dX).	(14.27)
	— Л
Матрицы ah Ah b и ß, i — 1, 2, входящие		в (14.26), находятся
непосредственным	подсчетом.	(Ѳ/, \ t) первая ком
Предположим	теперь, что у вектора ѵ<=	(Ѳ/, \ t) первая ком

понента является ненаблюдаемой. Рассмотрим задачу построения

для

каждого

^ = 0, 1, ...

линейной оптимальной в среднеквад

ратическом смысле оценки для

Ѳ, по наблюдениям (І0, •••>

£<)•

Если vt, t = 0,

. . . ,

является

гауссовским

процессом,

то

по

теореме

13.4

следствию 1

из

нее mt =

М (Ѳ, |

Y<=

M([â<— m t][Q t —

rhtY)

определяются

из системы уравнений

tht+l = a \ih t +

a2l t +

(МГ + а^А ])(ВВ ' +

AtytA])+ (1ж

Л ,т г -

А2Ц ,

(14.28)

У<+, =

а ^ а ; + ЬЬ*—

( Ь В ' +

а , ѵ И 0 ( В В * +

А і Ь А \) + { b B * +

(14 -29)

решаемых

при начальных

условиях

т0 = М (Ѳ01Іо).

Vo =

М ( [Ѳ0 — т 0] [Ѳ0 — т 0]*).

Согласно теореме о нормальной корреляции (теорема 13.1)

т0=

соѵ (Ѳ0, у соѵ+ (Іо, g0) І0,

(14.30)

Yo =

соѵ(Ѳ0, Ѳ0) — соѵ(Ѳ0, Іо)соѵ+ (Іо,

І0)соѵ(Ѳ0,

І 0).

(14.31)

Поскольку

tht =

М(Ѳ(|^"!)

линейным

образом

зависит

от

іо, . . . . Іо то в случае гауссовского

процесса

ѵ, — [Ѳ„

І,]

ре

шение задачи построения оптимальной

линейной

оценки Ѳ,

по

Іо,

. . . , І<

дается

уравнениями

(14.28),

(14.29).

опти

Покажем

теперь,

что

и в

общем

случае линейная

мальная (в среднеквадратическом смысле) оценка также опре

деляется из этих же уравнений.	Справедливость		этого	утвер
ждения вытекает из следующего предложения.				ß2)<	°о
Л е м м а 14.1. Пусть (а, ß) — случайный вектор с М (а2 +
и (а, ß) — гауссовский вектор с теми же		двумя	первыми		мо
ментами, что и у (а, ß), т. е.
Ма‘ = Ма‘, Mß‘ = Mß\	/ === 1, 2,	Mâß = Maß.

Пусть 1{Ь) линейная функция от b ^ R ' такаА, что Р-п. н.

/(ß) = M (ä|ß).

(14.32)

§ и	ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ		541
Тогда /(ß) является оптимальной (в			среднеквадратическом
смысле)	линейной оценкой величины а по ß, причем M/(ß) = Met.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде		всего	заметим, что	суще

ствование линейной функции 1(b) со свойством (14.32) вытекает из теоремы о нормальной корреляции.

Несмещенность (M/(ß) = Ма) линейной оценки вытекает из следующей очевидной цепочки равенств:

М/ (ß) = М/ (ß) = М [М (й I ß)] == Мй = Ма.

Далее, если I (ß) — какая-то другая линейная оценка, то

М[й — I (ß)P>M [â — /(ß)]2.

Поэтому в силу линейности оценок / (ß) и / (ß)

М[а— / (ß)]2 = М[а —/ (ß)]2 > М[а -	I (ß)]2 = М[а— I (ß)]2,
что и доказывает оптимальность (в	среднеквадратическом


смысле) /(ß) в классе		линейных оценок.
З а м е ч а н и е .	Утверждение леммы остается справедливым,
если а и ß — векторы,		a — (aj,	. . . ,	ak), ß = (ßj, . . . , ßj).			что
Чтобы применить		лемму	14.1	к	доказательству	того,	что
оптимальная оценка 0t по £0, . . . ,				\ t	определяется из	системы
уравнений (14.28),	(14.29), осталось				лишь заметить,	что	про

цесс (0,, lt), удовлетворяющий системе (14.26), и гауссовский процесс, определяемый той же системой, имеют одни и те же первые два момента.

3. Для иллюстрации предложенного выше подхода к зада чам оценивания компонент стационарных процессов рассмотрим следующий

П р и м е р 1. Пусть Of и £„ t = 0, ± 1 , . . . , — некоррелиро ванные между собой стационарные (в широком смысле) по

следовательности с МѲ< =			М£, =	0 и спектральными плотностями
	eiX + Cf l2			Ш -		еа + с2I2
	eiX + Cf l2					еа + с2I2
где I Cf I < 1, і =	1,2.
Будем предполагать, что Ѳ, является «полезным сигналом»,
— «помеха» и что		наблюдается процесс
			\t —	+			(14.33)
Согласно теореме		14.1 найдутся некоррелированные после
довательности	е, (t)	и	е2 (t),	t =	0, ± 1 , . . . , с		Ме*(£) = 0,
Me, (t) г{ (s) = б (i, s),		i — 1 , 2 , такие,			что
Ѳ/+І =	+	е, (t + 1),		£,+i — c2^>t + e2 ^ +			1)- (14.34)

542	ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ		[ГЛ. 14
Принимая	во внимание (14.33) и (14.34),	получаем,	что
І И - 1 = Ѳ/+1+ І Н - 1 = (С1~ Сі) Ѳ/ + С 2І 1 + е1(і		+ 1) + е2^ + !)•

Поэтому «ненаблюдаемый» процесс Ѳ, и «наблюдаемый» про цесс \ t удовлетворяют системе уравнений

Ѳ<+і =

СіѲ<+

81( / +

1),

Ін-і == (сі ~

сг) Ѳ/ +

c2lt +

8, (t -f 1 ) + e2 (t +

1 ).

В силу (14.28) и (14.29)

оптимальная

линейная

оценка

ть

/ = 0 , 1 , . . . ,

величин О,

и среднеквадратическая ошибка филь

трации

у, =

М(Ѳ,— mt)2

удовлетворяют рекуррентным

уравне

ниям

Щ+\ =

c{mt +

+ \с1-с1^

^ і + 1 ~

с^ т‘ ~

°2^ ’

(14-36)

Yi+, =

ciYi +

[* + сі(сі - с 2) у,]2

( 1 4 . 3 7 )

2 + (с1 -

с2)2^

Найдем

начальные условия т0, уо Для этой системы уравнений.

Процесс

(Ѳ„

It),

t — 0,

± 1 , . . . ,

является

стационарным

(в широком смысле) процессом с МѲ/ = М |, = 0

и ковариациями

= МѲ|,

dl2 =

MBtl t,

d22= M l zt, удовлетворяющими

силу

(14.35) и (14.20) системе уравнений

d^i

Ч- 1 ,

d\2 =

И (С1

с2) ^11 + С1С2^1-2 +

d22 — (с,

C2f dn +

c2d22-f- 2с2

dl2-f- 2.

Отсюда -находим

^12 —

*22 '

C[ — c\

1 - cf

( I - с 2) ( I - с 2) '

что вместе

с (14.30),

(14.31)

дает

m0 = —12

1 -

СІ

Іо,

Сі

—Со

л22

Yo — di

*12

•

*22

I" « ?

( l - c ? ) ( 2 - e? - 4 )

2 - cf

„2

Итак, оптимальная (в среднеквадратическом смысле) ли

нейная

оценка

«полезного

сигнала»

О,

по

| 0, . . . ,

\ t

среднеквадратическая ошибка yt определяются из системы

уравнений (14.36),	(14.37), решаемой при		начальных условиях
т 0	1 - с \	Yo =	1
	2 - 4 - 4 \|а’		с22 •

§ 2)	ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ	543
Мало что изменится, если рассматривать задачу оценивания
параметра	Ѳ, по наблюдениям (l_N, . . . , £0,	\|,). В этом

случае также остается справедливой система (14.36), (14.37), причем

4. В заключение заметим, что оптимальные линейные оценки интерполяции и экстраполяции для стационарных последова тельностей с дробно-рациональным спектром можно получить (как и в случае фильтрации) из результатов предыдущей главы, рассматривая лишь гауссовские последовательности с теми же самыми первыми двумя моментами.

§ 2. Оценки максимального правдоподобия коэффициентов линейной регрессии

1. Пусть в моменты времени 7 = 0, 1, . . . наблюдается слу чайный процесс

	N
	Ш = 2 М 0 Ѳ , + Т1(0,			(14.38)
	;=I
где Ѳ= (Ѳ[, . . . ,	Ѳдг) — вектор (столбец) неизвестных параметров,
— о о < Ѳ ; <оо ,	І = 1........ П,	а (/) =	(<*, (7),	. . ., aN(t)) — из
вестная вектор-функция (строка),		а г)(0,	7 = 0,	± 1 , . . . , — гаус

совский стационарный случайный процесс с Мц(7) и дробно рациональной спектральной плотностью

					Рп-Леік)		2			(14.39)
					Qn(ea)		•			(14.39)
В (14.39)					Qn(ea)		•
В (14.39)					77—1
					77—1	bfi—i 0,
		Pn-i (z) =			j	bfi—i 0,
		Pn-i (z) =			2 bjZ*,
					j=0
			Qn(z) ==		П		г'— 1 >
			Qn(z) ==		,		г'— 1 >
					/=0
причем	предполагается, что корни уравнения							Q„(z) = 0		лежат
внутри	единичного		круга.
Для	получения оценок максимального правдоподобия век
тора Ѳ= (Ѳ1,		. . . ,	Qn)	надо	найти	производную			Радона — Ни-
	j„ѳ
кодима	— \|-	меры	р9,	отвечающей процессу				\|	= (£(7)),	7 = 0,
1, . . . ,	определяемому			в (14.38),		по	мере		для такого же
процесса с Ѳ= 0 (0 — нулевой вектор).

§44

ПРИМЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ

[ГЛ. 14

Согласно теореме 14.1

процесс л(0>

і — О,

± 1 , . . . ,

является

компонентой процесса ( т л

О )

т], (/) =

т](0 , опреде

ляемого уравнениями

Л/

О — Л/+і (О +

ß/e (^ +

О.

j =

l , . . . , n

— 1,

Лп

“Ь О =

аоЛі (О ~■2

а/Л/+і it) +

ß«e it +

1 )>

/=і

где е(0 ,

^ =

О, ± 1 ,

— некоторая

последовательность неза

висимых гауссовских случайных величин с Me (0 =

0 , Ме2(0 = 1 ,

а числа ß,,

ß„ задаются с помощью формул (14.8).

Поскольку \{t +

1) = а(/ +

1)Ѳ+

Лі (t +

1),

то

для процесса

(Іі(0>

•••.

In it))

hit) =

lit),

ё/(0 =

Л/(0,

І — 2,

п, спра

ведлива

система

рекуррентных уравнений

Іі it +

1 ) =

° it +

1 ) Ѳ+

h it) + ßiß it + 1),

Ik it +

1) =

lk+\ it) +

ßfeß it + 1),

1 < k < n,

(14.41)

- 1

In it +

1) =

— a0(I, it) — a (t) Ѳ)

Ö/I/+1 it) + ß«e it +

1)*

i=i

Для

фиксированного значения Ѳ обозначим

mlit) =

M[lk{t)\F\],

k > \ ,

Y •/ (t) = M

[(I, (t) — m°i (t)) { l j

(t)

—

m®Щ ,

/ >

Система (14.41) является частным случаем системы (13.46),

(13.47),

и,

следовательно,

m\{t)

и у®7-(0

удовлетворяют урав

нениям (13.56), (13.57).

Важно отметить,

что

в коэффициенты

уравнений,

из которых

определяются

у®jit),

не

входит Ѳ.

На

чальные условия

у і/(0)

также

от Ѳ не зависят.

Следовательно,

элементы матрицы

уѳ(0 =

||y®/(0||

не зависят

от Ѳ.

Будем

по

этому ее обозначать просто Y(0 = 1Y;/(0ll>

С / ^ 2 .

2, . . . ,

п,

При фиксированном

Ѳ уравнения для

m®(0>

k =

имеют в соответствии с (13.56) следующий вид:

< « +

1) =

т*к+1 it) +

[& ж -

« it +

1) Ѳ -

mi Щ ,

ßi + У22 (0

(14.42)

2 s^ks^ .n - ~ 1,

n—1

тѳп it +

1) =

a0(I, (0 — а (0 Ѳ) — 2

ay«y+, (/) +

n—1

/=1

ß A - 2 ayVi. /+, (0

■

/ = 1

■[St + 1 - a ( *

l ) 0

- m

f ( f ) ] .

( 1 4 . 4 3 )

ßi + Y a ( 0

§ 2)

ОЦЕНКИ

МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

545

Решая линейную систему (14.42), (14.43),

устанавливаем, что

^ ( / ) = ѵ0 (М ) + ѵ,(/)Ѳ,

(14.44)

где

ѵ0(/,

I) — ^-изм ерим ая

функция,

линейно

зависящая

от

іо>

•••»

V!(t) =

(ѵи (t), . ...

vlN(t)) — неслучайная

вектор-

функция

(строка).

Применим

(() = £(()

теорему 13.5.

Тогда

(при

фиксиро

ванном Ѳ) найдется последовательность

независимых

гауссов

ских случайных

величин

ë(t),

t =

0 ,

1 , . . . ,

Me (0 =

0 ,

Мё2 ( 0 = 1 ,

сг{со: | ( 0)........

|(0}-измеримых

при каждом

(поскольку

ß, = Ьп-і ф 0),

таких,

что Р-п. н.

&(/+

1 ) =

<х(*+ 1 )Ѳ +

тв (0

l/ß? +

Ѵ22(0ё(/ +

1).

(14.45)

Используя (14.44),

отсюда

получаем,

что

l ( t + l ) =

[a(t+

1) +

ѵ,(0]Ѳ +

ѵ0 (0

g) + ß(f)ë(H -

1),

(14.46)

где

ß(0 =

V"ßi +

У22

(*)•

Но ё(0»

t = 0, 1,

. . . ,

являются независимыми гауссовскими

случайными

величинами

Мё(/) = 0 ,

Мё2(0 =

Поэтому

из

(14.46)

легко

находим, что

а4

( |( 0),

. . . ,

КО) =

exp

t ( 0 ) a ( 0 ) 0

( a ( 0 ) Ѳ) 2

Ö2

2ö2

[ | ( s ) - v

0 ( s -

l , I ) ]

[ a ( s )

1 ( s -

l ) ] 9

1 [(a(3) + v ,(3 -

1))Ѳ]2\1

+ S (

ß2(s —1)

' 2

ß 2 ( s — 1)

■г=І

где

62 =

Mif (0).

(14.47)

некотором t~ ^N — 1 матрица

Предположим, что при

а*(0)a (0)

[ a

( s )

v i

( s

- 1)]* [a (s) + Vi (s —1)1

(14.48)

â 2

ß2 (s —1)

5=1

не вырождена. Тогда из (14.47) получаем оценку максимального правдоподобия Ѳ, (по определению она обращает в максимум правую часть (14.47)), задаваемую формулой

А	п - 1 [	а * ( 0 ) 1 ( 0 )	, V I [ а ( s ) + у , ( s -	1)]* [ \| ( s ) - v 0 ( s - 1, £ ) ]
*t — u t		62	-r 2u	ß2( s - 1)
	V		S = 1 81

( 1 4 . 4 9 )

18 P. Ш Липцер, A. H. Ширяев

546	ПРИМ ЕНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ СТАТИСТИКИ			[ГЛ. 14
	Из (14.48), (14.49) нетрудно вывести, что оценка 0, является
несмещенной (МѳѲ, =		Ѳ) И
	Мѳ[(§, — Ѳ)(Ѳ, — 0)*] =		/>Г'.	(14.50)
С	помощью простых	преобразований	из (14.47), (14.49) сле
дует, что
	- \|\|( І ( 0 ) .........	£ (0) — exp { Q*D,Qt — у Q"DtQ}.		(14.51)

Отсюда, в частности, видно, что в рассматриваемой задаче 0, является достаточной статистикой (§ 5 гл. 1).

Покажем, что в классе несмещенных							оценок Ѳ, — (Ѳ] (7), . . .
		N
. . . . Ѳи(0) с	М 2 Ѳ г ( 0 < ° ° оценка				0/	эффективна, т. е.
		і=і
Мѳ (Ѳі — Ѳ) (Ѳ/ — 0)* >				Мѳ (Ѳі — Ѳ) (Ѳі — Ѳ)’ =				D71.	(14.52)
Действительно, согласно матричному неравенству									Рао —
Крамера (1.50)
			М (Ѳ ,-Ѳ )(Ѳ ,-Ѳ )’ > Г >				) ,		(14.53)
где 0, — несмещенная оценка				вектора		0 (МД), =		0), а /(Ѳ) =
==\|\| /г/(0) II — информационная				матрица		Фишера с		элементами
	д		dfij
Л/(0) = Ме	Ö0,	ln	Щ (£(0), . . . . Ш			X
				х	і	^	іпЦ	.«. .<.««>о
Но в нашем	случае
									(14.54)

Чтобы доказать (14.54), заметим, вводя обозначения Dtj(f) и А /(0 для элементов матриц Dt и DJX соответственно, что

, dpt

> п -Д й ; (0 ),	£ ( 0 ) = 2 Dkl И) Bk М 0 - - Ѳ *
dH	k, 1=1

<<< < Предыдущая 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 7155 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ