книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 4]

РЕКУРРЕНТНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

527

Тогда справедливы уравнения

IП\ (/, s - f

1 )\_/л, (^,

s)A

\ n 2(t, s +

\ ) j ~ \ n 2(t,

s)/ +

+ е д

( D,(S' E)EDt <S'

l}) [S,+, — A0(s) — Al (s)m, -

A , (S) y ,

где

(13.141)

Dl (s, l) =

(b о ß) (s,

g) +

a, (s,

l) ysA\ (s,

|),

D2 (s, l) =

(B о ß) (s,

i) +

Ai (s,

I) ysA\ (s,

I),

E - E (ix i),

матрица Ф^ определяется

из

рекуррентных

уравне­

ний

t

f a{(t— 1)

a2(t— 1)\

t .

Ф =

( л |(1 — 1)

Л2( / - 1

) К

’

=

(13.142)

а

«1 (t,

о

i-l

a0(«)

(13.143)

S

n2(t,

о ) ; ~ ф° и 0

+

Ф і-

Л («)

Если выполнено (13.136) и к тому оюе а2(/) = 0,

то

пх {t, s +

1) =

я, (t,

s) +

[(b о ß) (s, I) +

a, (s) vH! (s>6)] X

X [(ß ° ß) (s, Q +

Л, (s,

t) yaA] (s, |)]+ X

Х[Іі+і — A0(s,

i) — Л, (s, |)m j,

(13.144)

где матрица i)>* определяется из уравнений

a

= ai(t

l)

^ =

£ <*x*>»

(13.145)

я, (<, 0) =

^m 0 +

21

^ - ‘a0 (и).

(13.146)

u=0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

индукции из

(13.134),

(13.135) по­

лучаем

mt

m0

+ 2

ф«"‘

a0(u)\

=

Фо

А0( и ) Г

t- 1

D,(n, £)D2+ («, DD1! 2(u,

I)

(13.147)

!)•

+

E

ф-_1

D f («,

|)

ё ( и +

528

УСЛОВНО-Г'АУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

[ГЛ. 13

П р и м е р

1 (оценка параметров). Пусть О— (Ѳ,, . . . , Ѳ*.) —

гауссовский

вектор с

МѲ = т

и соѵ(Ѳ, Ѳ) = у. Требуется

оце­

нить Ѳ по наблюдению за /-мерным процессом %t,

t = 0, 1,

. . . ,

удовлетворяющим рекуррентным уравнениям

| г+І =

Л0(/,

l) +

Ax{t,

l)Q + Bx{t, |)е ,(/ +

1)

(13.148)

с £о =

°-

(I) — (IV) для mt — М(Ѳ|£Г|)

и yt —

В

предположениях*)

— соѵ(Ѳ, Ѳ|/F |)

из (13.56), (13.57) получаем рекуррентные урав­

нения

mt+l = mt + vH! & І) [(ß.ßj) (t,

І) + At (/, I) y tA\ (/,

l)j+ X

X [i,+i - A 0(t, D - A i i t ,

l ) m t\,

(13.149)

Yt+1=-Yt - Y A ( t ,

l) + Ax{t, l)y tA\{t, Dj+ЛХ/,

g)Yt

(13.150)

c m0 — m , Yo =

Y-

Если матрицы {ВХВХ)* (t,

£)

невырождены

Т е о р е м а

13.15.

(Р-п. н.), / =

0,

1........

то решения уравнений

(13.149),

(13.150)

*)

Предположение (II) можно

заменить в данном случае

условием

М Sp Л, (t, I) а \ (t,

|) < со.

§ 5]

ПРИМЕРЫ

529

задаются формулами *)

mt+1=

£ +

Y 2

Ш ЯпбіГ' (s, iM H s,

Ю

X

s=0

X

m +

y

2

ЛГ (S,

Ю ( В і В І ) - 1 (s, Ю ( І>s 4* 1

A)(s> Ю)

(13.151)

s=0

Y/+i

E + v S A U s ,

D i B t â r ' f s ,

SM i(s, i)

(13.152)

s = 0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

теореме

13.3

условное

распреде­

ление

Р { Ѳ ^ а | ^ }

является

гауссовским

(Р-п. н.)

с

парамет­

рами (mt,

yt).

Предположим, что матрица yt является положительно

опре­

деленной.

Тогда у условного распределения Р {Ѳ

\ 9~\}

суще­

ствует

плотность

Условное распределение Р {£і+1<

6 | #"|, Ѳ}

также

(Р-п. н.)

является гауссовским с параметрами {(А0(/,

|) +

А, (і,

I) Ѳ),

{BiB\)(t, I)}. Поскольку матрицы (BiB1)(t, g),

t = О,

1, ..., невырож­

дены (Р-п.

н.),

то у распределения Р [|<+1

Ь [ SF\,

Ѳ}

существует

плотность

Ilf+1 \b 1*0’

ö) —

Ть

•

(Р-п. и.).

(13.153)

J h t + I ( h + i\Ü , *)/е(*Іі£) dx

Обозначим

g i(t+ 1,

|) = (2яГ2

det Y/+1 .

(13.154)

§2 {t +

1. Ю—

= (2 я Р ~ V det yt • det (ß,ßj)(£ |) J

|& x)f,(x\P0) dx.

* k

1

(13.155)

)

Cp. с теоремами 12.2 и

12.8,

534

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

[ГЛ. 13

Покажем, что здесь

т0 =

0,

Ѵо=1-

процесса

(Qt, l t),

Действительно,

в

силу

стационарности

t = 0, ±1,

. . . , параметры dn =

МѲ^, dl2 — МѲ^, d22 =

легко

находятся

из следующей системы, получаемой из (13.170);

^11 = ' | ' du +

<^22 + Y

di2 + -J,

d \ 2 ==

2

d u

2

^12 Н

2 ’

d22— dn +

1.

А именно dn = 1,

dl2 — 0,

d22 = 2,

и по теореме о

нормальной

корреляции

т 0 =

0,

у0 = 1.

процессу \ ь t — Q,

Возвращаясь

к

исходному

±1,

. . . , на­

ходим, что

оптимальный

линейный прогноз

определяется из