книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 3]

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

517

Т е о р е м а

13.7.

Если

n a (s, s) /ч/ N{ms, ys),

то

m (s, t)

и

у (s,

t) при t > s

удовлетворяют уравнениям

m{s,

t + \ ) =

m (s, t) + у {s, t) (ф‘)* A\ (/, £) X

X [(ß о В) (t, g) +

Ai (t, g) Ъ А1 (t, g)]+ [g<+1 -

Ло (t,

g) -

Ai (t, g) mt),

Y (s,

t + 1) = Y (s. 0 — Y (s, *) (ф|)" ЛІ (/, g) X

(13.95)

X [(ß » В) (t,

I) +

Л, (t, g) Y(Л! (t, g)]+ Л1(t,

g) фly (s, t), (13.96)

где

m (t, t) — mv

у (t, t) =

yt, а матрицы

ф*

определяются

из

518

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

[ГЛ. 13

Поэтому

из

(13.100) — (13.103)

находим:

di2 = cov(0s, £( | £■!_,) =

=

М {[Ѳ, -

т (S,t -

1)] [g, - М (6,1^ _ ,) Г I П - і } =

*= М {[0S -

т (S,

t - 1)] [Ѳ - т (s, *-1)]’ («pj"1)* А] ( t - l , l) |

=

=

Y (ä, ^ — I) (ФІ“1)’

— 1, Ö-

(13.104)

§ 3]

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

519

В самом деле,

Ѵ<-і = соѵ(0t_„ V ,

I

=

M {[О, - /+_,] [0t - mt_x\ | ^ _ і } =

=

М {[Ѳ/-і — mes ( t ~

1, s) +

mes (t— 1, s) — mt~\\ X

X [Ѳ*_і — mes (t — 1, s) +

m&$ (t — 1, s) — mt- 1f | 9~\-1} =

= Y (t — 1, s) + ф^- 'y (s,t — 1) (ф*"1)*,

где использовано равенство (13.100):

mt_l = ф\~{т (s, t — 1) + ф+*.

Из (13.96) и (13.109) получаем:

Y (s ,t) = Y ( s ,t —

1) — у ( s ,t — 1) (ф*-1 (S))* A\ (t —

1, 1 ) X

X[ ( ß<»ß) ( / - l , g) + Л , ( / - 1 , £)y (* -1 , s) A\{t — 1,1) +

+ A x( t -

1,6) Ф<-‘ѵ (s, t -

1) (ф '-1)* Л; (t -

1, I)]"1X

Х Л 1( 1 - Ц ) ф ‘- |ѵ (« ,1 -1 ). (13.110)

Положим здесь для t > s

Л ^ - І , 1) = Л1(^ — 1, |)ф ‘- ',

( B ^ B ) ( t - 1, D = (BoB)(t— l, 1) +

(13.111)

+ ЛI (^ — 1, l)y(t — 1, s) л и г - 1,1).

Тогда

у (s,t) будет удовлетворять (no t > s) уравнению

Y(S, 0

= Ѵ ( 5 . ^

- 1 ) - У ( « , / - 1 ) Л И ^ - 1 , 1 ) ( [ 5 Т в ) ( / - 1 , 1 ) +

+

л, ( / - 1 ,

1) Y (s>t — \ ) A \ { t

— 1, l)]-1 Л ,(* -

1, l) Y ( s X - l) .

520

у с л о в н о -г а у с с о в с к и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и

[ГЛ. 13

Решения

же

этого уравнения

(см. далее теорему

13.15)

опре­

деляются формулами (13.107), (13.108).

5.

Рассмотрим еще один класс задач интерполяции, со­

стоящих в построении наилучших (в среднеквадратическом

смысле)

оценок

вектора

Ѳя

по

наблюдениям

£о =

{ё0,

. . . ,

и известному

значению 0,— ß

(ср. с п.

6 §

4

гл. 12).

Обозначим

Haß(s, t) =

P ( 0 S <

a Iт\,

Ѳ/ =

ß),

t ^ s ,

и

m&(s, f) = M (0SI

Qt =

ß),

Y0 (s, t) =

cov (0s, 0s |

, 0f =

ß).

Т е о р е м а

13.9.

Если

условное

распределение

n a (s) =

«=P(Os < a | 0 l )

нормально,

то

апостериорное

распределение

IIUß(s, t)

при

всех

s также нормально.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Вычислим

условную

характеристиче­

скую функцию

М {exp i [2*0s+2*0f] 15Г|}=М {exp i [z’0s] M (exp i [2*0*] |Т \ ,

0S) | 5^1},

где z =

(2 ,,

. . . , Zk),

z =

(zu

. . . , г*).

Согласно

замечанию

к теореме 13.4 распределение

P ( 0 * ^ ß |0 s, g~\)

является

гаус­

совским,

N (mes (/, s),

Yes (t, s)).

По

лемме

13.5

mes (t,

s) =

=

+

а ковариация уѳ (t, s) не зависит от Qs: уѳ (t, s)=

=

Y (t,

s).

Поэтому

M {exp [г‘2 *Ѳ/] 19~\,

0S} =

exp

• ~4

+ T()-

\ z y ( t ,

s)z

I Z

M (exp i [2 *0S + 2 *0*] I

■

=

exp

г (ё‘ф‘) — -j z*y (t, s) z

M (exp i [2 *0S + 2 *<p*0s] \9~)).

(13.112)

Но

условное

распределение

P(05^ a |£ T * )

является

гауссов­

ским (теорема 13.6). Поэтому из (13.112) следует, что таковым

будет

и

распределение Р(Ѳ5<

a,

0 t< ß |^ " * ) ,

что вместе с гаус-

совостью

распределения Р (ѳ, <

ß |< г|)

(см.

замечание

к тео­

реме 13.3) доказывает нормальность апостериорного распреде­

ления

Ilaß (s, t) =

Р (Ѳ* < a 1

0* = ß).

6.

Метод, примененный для доказательства теоремы 13.9,

позволяет завершить

доказательство

теоремы

13.3.

ных,

мы видим, что характеристическая функция

М

имеет

вид экспоненты от

неотрицательно

определенной

квад­

ратичной формы переменных z0, . . . ,

zt, что и доказывает услов­

ную гауссовость последовательности (Ѳ, g), управляемой

урав­

нениями (13.46), (13.47).

задачи, рассмо­

7.

Продолжим

изучение интерполяционной

тренной в п. 5.

Если

условное

распределение

n a (s) =

Т е о р е м а

13.10.

= P(0S

нормально,

то параметры mp(s,

t) и

yp(s, t)

распределения

ІІа, р (s, t) — P (0S ^

а | ff~\, Of — ß) при

всех t > s

определяются из соотношений (ср. с (12.109), (12.110))

mß(s, t) =

m{s, t) + y(s, 0(ф*)*Yf+ (ß — mt),

(13.116)

Yp (s, t) =

Y (s,

t)

у (s,

t) (ф*)’ Y+qp^Y (s, t)

(13.117)

c mp(s, s) = ß,

Yp (s>s) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Условное

распределение

P(0s ^ a ,

0i ^ ß |^ '|) нормально. Поэтому согласно замечанию к теореме

о нормальной

корреляции

mp (s,

t) = М (0SI ff-}, Qt =

ß) =

M (0SI ff-}) +

(ß -

M (0< | ff-}))

и

(13.118)

Yß(s,

t) = dn — dl2d^2dl2,

(13.119)

где

dn =

cov (0S, 0S1ff"}) =

у (s,

t),

d\2

— cov (0S, 0f I ff-\),

(13.120)

d22 =

cov(0f,

0f \ff~)).

Согласно (13.100) и лемме 13.5

M [(Of — mt)* \ff~}, 0S] =

=

(ф*Г +

№)* “

(m* (s>*) (ф|)* +

№)*) = {®s —

m (s,

t)Y (q>')\

Поэтому

mtY\

d i2 =

cov(0s, Qt \ff-}) =

M[(0S— m(s, t) (Of -

=

= M {(0S -

m (s, t)) M [(Of -

mtY НИ,

0S] | ff-}} =

=

(cp')’ =

Y (s, /)K )’.

(13.121)

§ 3]

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

§23

Из

(13.118) — (13.121) получаем требуемые представления

(13.116), (13.117).

З а м е ч а н и е . Из (13.117) следует, что ковариация vR(s, t)

не зависит от ß.

8.

Займемся теперь выводом обратных уравнений интерпо­

ляции (по s при фиксированном і) для т (s, t), у (s, t)

и тя (s, t),

Yß(s, t).

0

mß(s, t) =

m ( s , s +

1) +

Y(s, s+ 1)(<P®+1)*Ye++1 \m^(s+ 1, t ) - m s+x],

Yß (s>0 == Yp (s,

s + 1) +

Y (s, s +

1) (cpf+1)* Y++1Yß(s +

1, t) X

(13.122)

X V++l(pss+ly (s,

s + 1)

(13.123)

c m^(t, f) = ß,

Yß(^>

0 =

°-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

(13.116),

(13.117) получаем

mß(s, s +

\) =

m(s,

s +

1) +

y (s, s +

1)(<P|+1)*Ys++i (ß —

(13.124)

Yp(s>s +

1) =

Y(5,

s +

1) — y (s-

i)(<P|+1)*Ys++14Ps+1y (5,

s + 1).

(13.125)

Покажем, что для процесса (Ѳ, g), управляемого уравне­

ниями (13.46),

(13.47),

для всех

s < u ^ t

Р ( Ѳ * < а |£ І , Ѳ„,

. . . , 0f) = P(0s < a |^ E , Ѳ„).

(13.126)

счета

условных

ковариаций: если g, | — случайные

векторы,

Mg*g< 00 и ^ — некоторая о-алгебра,

то

соѵ (g,

I \9) — М [cov (I, g \9,

I) Щ +

+ соѵ[М (g IS?, g),

M (g [9,

g) 19].

(13.128)

Согласно этой формуле и равенству (13.127)

Yß(s> 0 = cov(0g, 0g|0"f, 0t ==ß) =

=

М[соѵ(0s, 0

, m

0,, Qs+l) \ n

=

ß] +

+

с о ѵ [ М ( Ѳ ,т 0„

0g+I),

М (0gI 9~\,

Ѳ,, Ѳ,+1) | П

Ѳг = ß] =

=

M[cov(0s, Вв \!Г]+1, 0,+I) | n

0t — ß] +

+

cov[M (0,|^*+p 0g+1),

М ( 0 .|П и ’ 0.+I) | n

0, = ß] =

=

М [Ч + ,(5’ 5 + !) і^ Ь

ѳ<= Р] +

+

cov [m0s+i (s,

s +

1), т ѳ^+і (s, s +

1)

|£"f, 0t =

ß] =

=

Yß (s, s + 1) + M [(m0e+i (s, s +

1) —

mß(s, 0) X

X ( ”4

+1(s, s +

1) — Wß(s, 0)*]lFf, 0( =

ß].

(13.129)

Но

из

(13.122) и (13.124) вытекает

\ +

,

s +

!) — « ß (s>0 =

=

Y (s,

s +

1) (ф;+*)’ y ++1 [0g+1 -

mß (s +

1, 0],

(13.130)

что вместе с (13.129)

приводит к искомому уравнению

(13.123).

Т е о р е м а 13.12. П уст ь

в ы п о л н е н ы

п р е д п о л о ж е н и я

(I) — (IV).

Т о г д а м о м ен т ы

пі (s, t)

и

у (s,

t)

у с л о в н о г о р а с п р е д е л е н и я

§ 4]

РЕКУРРЕНТНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

525

Иа (s, 0 == Р (0S<

а I

удовлетворяют

по

s < t

(обратным)

уравнениям

m (s, t) =

m (s, s +

l) + v(s, s +

l)(qp|+1)’ y++I [m (s +

1 >t) — ms+i\,

Y (s,

t) =

y(s,

s - f

1) +

(13.131)

+

Y(s, s +

1)(ф*+Тѵ^+іѴ («+

1. 0 Y^+i(P|+1Y(s. s +

1) (13.132)

c m (t, t) =

Y {t, t) — yt, y{s,

s + 1) =

Yß (s>s + 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Уравнение (13.131)

непосредственно

выводится из (13.122). Для вывода (13.132) воспользуемся пред­

ставлениями (13.127), (13.128). Получим

v(s,

о =

сот (в,, в, I £■*)=»

=

М[соѵ(Ѳ,,

в,|;Г},

ѲІ+1) | Г |] +

+

соѵ[М(Ѳ,|Г!. в,+1),

М (Ѳ ,|П Ѳ,+1) | ^ ] =

=

м[соѵ(ѳ,,

ѳ ,|гг|+„

ѳ,+|) | ^ ] +

+

соѵ[М(Ѳ,|У!+1, Ѳ,+І), М(Ѳ,|іГ«+„ Ѳ,+,)|:Г}] =

=

y (s, s + 1) + М ( [m0s+] (s, s + 1) — m (s, 0] X

526

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

[ГЛ.

13

В силу (13.56) и (13.78)

mt+ l =

[а0 (t, 1) +

а, (/,

g) mt] +

f(b ° В) (t, l) +

а, (t, g) ytA] (t, g)] X

X [(ß°ß)(*. Z) +

Ax(t, l)y tA](t, Щ+ Х

X

f(ß » ß) (t, l) +

(t, g) ytA‘ (t, g)]l/2 ë (t +

1),

(13.134)

e/+i =

[A, А £) +

А А £) m*] +

+

[(ß o ß )(f,|) + Л,«,

^)]'/2ë « + l).

(13.135)

Обозначим

Л, (1, S) = м (Ѳ( 11F|),

н2 (/,

s) =

М (g, I 1Г|)

оптимальные

(в

среднеквадратическом смысле)

оценки Ѳ, и ^

п0

?о= {?о>

• • •> У •

Поскольку

n{(t,

s) =

M[M(0^|5r |)|5 r |] =

= М {mt I ^"1)

и

M (ё (t + 1) \@~l) = 0

для

всех

t +

1 > s,

то

уравнения для

пх(i,

s) и n2(t, s) можно попытаться

отыскать,

беря М (-1£Г|) от обеих частей в (13.134), (13.135).

ние

Нетрудно заметить, что на этом

пути совместное отыска­

п{ (t, s)

и n2(t, s)

становится возможным,

если

предполо­

жить,

что

а0 (t,

g) = а0(t) +

а2(/) %t,

a, {t,

%) = ах(t).

(13.136)

M t ,

l) =

Ao(t) +

A2(t)lt,

Ax(t,

I) =

A, (t),

(13.137)

где

матричные

функции at (t),

Ai(t),

i = 1,

2,

и

векторы a0(t),

кание щ (t, s) становится

возможным,

если потребовать вы­

полнения

(13.136) с a2(t) =

0.

Пусть

выполнены

предположения

2.

Т е о р е м а

13.13.

(I) — (IV)

и (13.136),

(13.137).

Тогда

моменты nx(t,

s) и n2(t,

s)

удовлетворяют уравнениям

« i ( f + l .

s) =

а0(0 +

Яі (t) пх(t,

s) + a2(t)n2(t,

s),

(13.138)

n 2 (t + 1,

s) =

A0(t) +

Ai (t) щ (t, s) -f- A2 (t) n2 (t, s)

(13.139)

c «,(s, s) — ms,

n2(s,

s) =

gs.

и к тому же а2(0 — 0.

то

Если

выполнено (13.136)

nx{t + 1, s) — aQ(t) -f- ax(t) nx{t,

s),

nl (s,s) = ms.

(13.140)

Д о к а з а т е л ь с т в о

получается

непосредственно

усредне­

нием обеих частей (13.134), (13.135).

s) и n2(t, s).

Рассмотрим теперь обратные уравнения для пк(t,

Т е о р е м а

13.14.

Пусть

выполнены

условия

(I) — (IV)

и

предположения

(13.136),

(13.137).