Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 7151 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

§ 1]

ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

497

Пусть (Ѳ, g) =

[(Ѳ,,

0ft) (gj,

h)} — гауссовский век

тор с тѳ = МѲ,

т%= Mg, £>0Ѳ= cov (Ѳ, Ѳ) =

M (Ѳ — m9) (Ѳ — т ѳ)‘,

Du =

cov (g, g) =

M (g — nii) (І — щ У

Döi = cov (Ѳ, g) =

— M (Ѳ — т ѳ) (g — tni).

векторы Ѳ и g независимы и

Если

Dqi = 0, то (гауссовские)

Ф(э,Е) (z i> 2г) — Фѳ (~і)

(гг)>

где z i = { z lu

Zik), z2 = (z2,, .

zn)

Фѳ(2 і) =

ехР

izlmd -

T z;Dmz i

Ф5(22) =

ехР і г і т

2 2 2^ 5і 2 2

Пусть

g = (|1, . . . .

g„) — гауссовский

вектор

т — Mg,

/? = cov(g, g). Тогда найдется гауссовский вектор е = (е,,

е„)

с независимыми

компонентами,

Ме =

соѵ (е, е) =

Е(Пхп),

такой,

что

g =

Д1/2е -f т.

(13.19)

Для

доказательства

введем

гауссовский

вектор *)

ѵ =

= (ѵ|,

. .. , ѵ„), не зависящий от

g, с

Мѵ==0,

соѵ (ѵ, ѵ) = £.

Положим Т =

Д,/2,

е = (Т+У (g — m) -\-{Е — ТТ+)ѵ.

(13.20)

Поскольку векторы g и ѵ независимы, то вектор е также является гауссовским. Ясно, что Me = 0. Подсчитаем теперь ковариацию соѵ(е, е). Имеем


		соѵ (е, е) =		Мее* =		(Т+)* RT+ + (Б — Т'Г) (Е — ТТ+).
Но		по	свойству		4°	псевдообратных матриц		i E — ГГ+)* =
=	Е — ТТ+, (Е ~				ТТ+)2 = Е — ТТ+, а (Т+)* RT+=			(Т+)* Т Т Т +=
=	[(Г+)		Г ] [7Т+] =		7Т+. Поэтому		соѵ(е, е) = £,	что	доказы
вает независимость компонент вектора е.
	Далее, из (13.20) получаем
Ге = Г {Т+У (I — ш) + (Т* — Т*ТТ+) V =
			=	(I - ш) - (.Е - Т (Т+У) (I - щ) + ( f -					Т Т Т +) V .
Но		f = T T T +		(свойство 7°), f			(Т+У = (Т+Т)* = Т+Т (свой
ство		4°), а iE — Т+Т)соѵ (g, g) iE — Т+т)* — (Б — Т+Т)(Т*Т) X
Х (£ — Т+Т) — 0,					что	и доказывает равенство		Д1/2е = g — m.

*) Здесь мы считаем, что исходное вероятностное пространство является достаточно «богатым».

498	УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ							(ГЛ. 13
4. Пусть ln, п — 1,2,				— последовательность гауссовских
векторов,	сходящаяся		по	вероятности		к	вектору	Тогда
I также гауссовский вектор.					Rn = cov (g„, g„). Тогда, по
Действительно,		пусть тп = М\|„,			Rn = cov (g„, g„). Тогда, по
скольку P-lim£„ =		g и	I ехр[г'2 *\|„]\| <		1,	то	по теореме	Лебега
	П->оо
о мажорируемой сходимости
hm exp	гг тп			— lim М exp [iz’ln] — М exp [iz%\.
П -> оо				П-*оо

Отсюда, в силу произвольности г, существуют вектор т и неотрицательно определенная матрица R такие, что

		т — \\ттп,				Д = 1ітД„.
Значит,
		М ехр [г'г*£] =		ехр izт - j zRz
что доказывает гауссовость				вектора
5.	Т е о р е м а 13.1			(теорема о нормальной корреляции)
Пусть (Ѳ,	\|) =	([Ѳ1, . . . ,	в*],	[\|i,	. . . , £/])— гауссовский		вектор с
		т ѳ=МѲ,
Z)Ge =		cov(0, Ѳ),	£>Ѳ! =		соѵ(Ѳ, g), й ц = cov (\|, I).
Тогда условное математическое ожидание М (Ѳ \|\|)							и услов
ная ковариация
	соѵ(Ѳ, Ѳ \|\|) =		М{[Ѳ — М (Ѳ \|1)][Ѳ — М(Ѳ IDY 1\|}
задаются	формулами
		М (Ѳ 11) =		т ѳ +		D0sD j (I - т 6),	(13.21)
		соѵ(Ѳ, ѲII) =		Dee ~		DtiDti (А*)’.	(13.22)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим

		Л =	(Ѳ — тѳ) + С (£, — ті),			(13.23)
где матрицу		C(k х ь	подберем		таким образом,	чтобы
Мт}(£ — ті)* =		0.
Если такая матрица существует, то она является решением
линейной	системы		ПѲІ +	СД\|? =	0.	(13.24)

Если	Du — положительно			определенная матрица, то
			C = - D eiD ^ .			(13.25)
В противном		случае можно положить

С — — D e i D i i .

(13.26)

§ И	ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ		499

с	Согласно свойству 3 из	п. 4 найдется гауссовский вектор е
	Me = 0, Мее* = Е такой,	что

Тогда, обозначая Т — D\f, получаем

Dei = М [(Ѳ — тѳ) (%— mg)*] = M (Ѳ — тѳ) e*T = deiT,

где de£ — M (Ѳ — m0) e*. Следовательно,

Dei = dteT, DeiDtiDu = dee.T(TT)+ TT = deJ,

где мы воспользовались свойствами 1°, 4°, 5° псевдообратных матриц, согласно которым

Dti = (ТТ)+ = Т+Т+, Т(ТТ)+ ТТ = тт+т+ТТ =

= тт+{т+тУ т= (тт+Ут = тт+т = т,

т. е.

Dei — DeiDtiDu,

что и доказывает равенство (13.24) с С — — DeiDii. Итак, вектор

		Л = (Ѳ — nie) — D^Dii (1 — mi)								(13.27)
обладает тем		свойством,	что		Мг)(£ — щ У — 0.				таковым		же
Поскольку		(Ѳ, £)— гауссовский				вектор,		то
является и вектор г). Более					того, гауссовским				будет	и вектор
(г\|, £), поскольку характеристическая						функция
Ф(ч, I) 0і> г2) =		м ехР ѴКч +		izlQ =
		=	м exp {гг* \|(Ѳ — me) + С (\| — m?)] +								fe’i]
может	быть	записана	в		силу	гауссовости			вектора		(Ѳ, £)
в виде	(13.16).					0. Поэтому			согласно		свой
Далее, Мц = 0 и Мц(^ — mg)* =
ству 2	из п. 4 гауссовские			векторы ч и ^ независимы. Следова
тельно,		М Оч ! I) ~		Мл = 0		(Р-п. н.),

что вместе с (13.27) приводит к формуле (13.21).											что
Для	доказательства		представления				(13.22)		заметим,
Ѳ— М(Ѳ\|£) =		г\|> а в силу независимости					\|	и ч
	соѵ (Ѳ, Ѳ11) =		M (трі* I £) =			Mrpi*		(Р-п. н.).		(13.28)
Но	согласно (13.27)
М трі* =	Dee +	D e \ D iiD i iD ii D e i — 2 Д ѳ \|Д ^ Д \|\|Д ^ Д ѳ і =

= Dqq— De\DiiDiiDiiDe\ = Dee — DeiDfiDeg, (13.29)

500	у с л о в н о -г а у с с о в с к и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и	[ГЛ. 13

где мы воспользовались тем, что согласно свойству 1°

D tiD i'P ii — D ii.

Из (13.28) и (13.29) получаем искомое представление (13.22)

для соѵ(Ѳ, ѲІЮ-

1. Если

k == 1=1

и D |> 0 ,

то

С л е д с т в и е

М(Ѳ II) =

соѵ (Ѳ, 1) ,

(13.30)

мѳ + -

''| - M | ) ,

D(0

rm cov2 (Ѳ>1)

(13.31)

II) =

- М(Ѳ

II)]2 ID

где D (Ѳ II) =- М {[Ѳ —

и вводя

Полагая

V DO,

/ D |

коэффициент

корреляции

„ _

соѵ

формулы (13.30) и (13.31) можно переписать

в следующем

виде:

М (Ѳ||) =

МѲ +

р - ^ ( |- М |) ,

(13.32)

D (Ѳ II) =

(Tg(l — р2).

(13.33)

С л е д с т в и е

Если

Ѳ= öi8[ +

b2e2,

I =

-j- В2е2,

где

ги е2 — независимые

гауссовские

величины

Mei =

De* — 1, і

1,2,

а В] +

В\

то

М (Ѳ ||):

b\B\ -f- b2B2

(13.34)

b \

D (Ѳ 11) =

( B

l b 2

—

Ь \ В г

(13.35)

В \

С л е д с т в и е

Пусть

случайные

величины

(Ѳ, |

ь . . . ,

| /)

образуют гауссовский вектор, причем

| ь . . . , | г

независимы

D|f >

0. Тогда

М(Ѳ|І„

.... |,)=МѲ +

У ^ І і ) ( | . - М Ы .

і=1

В частности,

если МѲ =

М |г = 0 ,

то

§ 1]

ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ

КОРРЕЛЯЦИИ

501

З а м е ч а н и е .

Пусть [0,

|]=[(0,,

.. .,

0*), (|„

.. ., |,)] — слу

чайный

вектор,

заданный

на

вероятностном

пространстве

(Q, SF, Р). Пусть S — некоторая ст-подалгебра

SF, Ss

. Пред

положим, что (Р-п. н.) условное (при

условии

S) распределе

ние вектора (0, |)

является гауссовским

со

средними

М(Ѳ|^),

М(ІІ^)

ковариациями

с?п =

соѵ(Ѳ,

Q\S),

öfi2 = cov(0, g j^),

d22 = cov (|,

| |S?).

Тогда вектор условных математических ожи

даний М (Ѳ ||, S) и условная матрица ковариаций соѵ(Ѳ, Ѳ| \,S)

задаются (Р-п. н.)

формулами

М (0 II, S) =

М (0 \S)+

dud&ll - М (| \S)],

(13.36)

COV (0, 0 ||,

S) =

du — d\2&22&\2'

(13.37)

Этот

результат,

доказываемый

так

же,

как и в

случае

S— {0,

Q}, будет

в дальнейшем неоднократно использоваться.

Т е о р е м а

13.2.

В предположениях теоремы 13.1 условное

распределение *) Р(Ѳ<Д ||)

является гауссовским с параметрами

М (Ѳ lg),

cov(0,0 II), задаваемыми формулами (13.21),

(13.22).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

показать,

что условная

характеристическая

функция

М (ехр[г'2 *Ѳ] II) =

exp(гг*М (0 ||) — ~2'*соѵ(Ѳ, 0 | | ) г).

(13.38)

Согласно (13.27), (13.21)

Ѳ= me + DiqDii (I — М|) + 0 = М (Ѳ 11) + г\,

где гауссовские векторы | и ті независимы. Поэтому

М (ехр [/гі'Ѳ] 11) = exp [/z*M (Ѳ 1|)] М (exp [гХц] 1|) =

=exp [iz*M (0 II)] M exp [ТгТ}] =

=exp [г'г’М (0 11) — -j z’ cov (Ѳ, 0 1£) z].

З а м е ч а н и е . Пусть матрица cov(0, 0 11) = £>ѳѳ —

положительно			определенная. Тогда					у функции распределения
Р (0	11) =	Р (0) <			Xj, . .. ,	0* < xk 11) существует (Р-п. н.) плот
ность								- 1/2
		n		[det (°ѳѳ -		%*>«%]		- 1/2
		n		[det (°ѳѳ -		%*>«%]		X
p{Xl, . . . , x k I D -					(2п)Щ			X
X	exp { -	і-	(х -		М (0 11))* [Дѳѳ -		DnD&Dli] ' (х - М (0 1£))}.
								(13.39)

*) Под {Ѳ<Д подразумевается событие {0t< .........

& k ^ X k ) .

502		у с л о в н о -гауссовск и е посл едовател ьности								[ГЛ. 13
8.		Теорема о нормальной корреляции позволяет легко уста
новить следующие вспомогательные предложения.
Л е мма			13.2. Пусть Ьи Ь2, Ви В2 — матрицы порядков k у k,
k y i ,	І У k,		I У I соответственно и
					b о b = Ьф\ + ЬФъ
					b ° В =		b\B{ + &2Д2,			(13.40)
					В о В = В\Ві -f- B2 B2 .
Тогда симметрическая матрица
				b ° b - { b ° B ) { B ° B ) +{boB)'						(13.41)
является		неотрицательно определенной.
Д о к а з а т е л ь с т в о .						Пусть е1= [ец ,		. ..,	e]É],	е2 = [е2І, ...
. . . ,	е2;] — независимые					гауссовские векторы			с независимыми
компонентами,				Мег/ =	0,	Dei;= l .
Положим						Ѳ=	bxе, + Ь2г2,
						Ѳ=	bxе, + Ь2г2,
						I =	ßjEi + В2е2.
Тогда согласно				(13.22)
		b о ь - {Ьо В)				{В о В)+ (Ь о В)" =		соѵ (Ѳ, Ѳ ІІ),
что	и	доказывает			лемму,		поскольку	матрица		ковариаций
соѵ(Ѳ, ѲII) является неотрицательно определенной.
Л е м м а			13.3. Пусть			Р(пхп)> P(mxm) — неотрицательно опре

деленные симметрические матрицы и Q(mxn)—произвольная мат рица.

Тогда система линейных алгебраических уравнений
(Р +	QPQ) X — QPy						(13.42)
разрешима (относительно x) для любого вектора					у — (г/,,		. . . ,	ут)
и вектор
x ^ i P + Q'PQ^Q'Py							(13.43)
является одним из ее решений.			Ѳ— (Ѳь . . . .		Ѳт ), е =		(е1, ...
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть
. . . , е„) — независимые	гауссовские			векторы		с	МѲ — 0,
соѵ(Ѳ, Ѳ)=Р, соѵ (е, г) = Е.		Положим		g = Q*Q+		R]/2&.	Тогда
А)і = соѵ(Ѳ, i) = PQ, D \|\| =	cov(\|,		!) =	/? + Q*PQ,		причем,		как
доказывалось в теореме 13.1, система					/)ѳ? + С йц = 0
разрешима относительно	С	и	C — —-DbiD^. Применительно
к рассматриваемому случаю это означает, что система
PQ + C(P + Q*PQ) = 0							(13.44)

разрешима относительно С и С = — PQ[P + Q*PQ]+.

§ 1]	ТЕОРЕМА О НОРМАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ				503

Из	разрешимости системы	(13.44) следует		и разрешимость
(относительно С*) сопряженной системы
	Q7> + [/? +	QPQ]C =	0.		(13.45)
Пусть теперь у — произвольный вектор.			Положим х = — С*у.
Тогда,	умножая (13.45) на ( — у), получим (/? +				QPQ) х = QPy,
что и доказывает лемму.		(Ѳ, (t), . . . , Qn(t)),			t — 0,1.........—
Л е м м а 13.4. Пусть 0, =

гауссовский марковский процесс с вектором математических

ожиданий г(^) =		МѲ< и корреляционной матрицей
R(t,	s) =	M № - r ( t ) ) ( e s - r ( s ) n t, s =			0, 1, ...
Тогда найдется последовательность независимых гауссовских
векторов е (/) = (е, (/), . . . ,			en(t)), * >1 ,	с Ме ^ О и М&fit^E(nxn)
таких, что
Ѳ ж = И * +	1 ) - Ж * + 1,		t)R+(t,t)r(t)} + R( t +		1, 1 )R+(t,t) Qt +
+ [R(t +	h t + l ) - R ( t + I, t)R +(t, t)R'.(t+				1, t)]Xß e ( f + 1).
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Положим	Vt+i — Ѳ/+і — M (Ѳ*+і \| ѲД
По теореме	о нормальной		корреляции

М[Ѳ<+і |Ѳ,] = r { t + \) + R { t + 1, t )R+(t, t)(Qt - r(t)) .

Отсюда следует, что векторы Vt,							1, являются независимыми
гауссовскими. Действительно, при							t > s в	силу	марковости
процесса (ѲД / == 0,				1, . ..,
М [Ѳ, -	М (0, I Ѳ,_,) I Ѳ„ Ѳа_,] -					м [ѳ, 10J -		М [Ѳ, 10J =		о,
и, следовательно,
MVtVl = М [(Ѳ/ -			М (Qt I Ѳ/_,)) (Ѳя -			М (0, \| Ѳ,_,)Л =
=	м {М [Ѳ, -			М (0, I ѳ,_і) IѲ„ Ѳ,-,] [Ѳ, -				М (Ѳ,\| Ѳ,_і)П = 0.
Аналогично проверяется равенство							М ИД ,— 0 при		t <	s.
Далее, из (13.22) находим, что
W t+iVt+i = R ( t +				1, t	1) — R(t		1, t) R+ (t, t) R		(t	1, t).
Значит, в силу свойства 3 для						гауссовских векторов найдется
гауссовский		вектор		еі+і такой, что (см. (13.19))
У/+! = [* (* +		U	+	1) — /?(/ + l , t ) R+(t,t)R>(t + l,t)\'/2B(t+ 1),
			Ме;+і = 0,		cov (e/+i, б/+і) =			Е.

Н е з а в и с и м о с т ь г а у с с о в с к и х в е к т о р о в e^, / = 1 , 2 , . . . , с л е д у е т

504	УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ				ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ				(ГЛ. 13

из независимости векторов Vt, t = 1,2,						.. .,	и способа построе
ния векторов et в соответствии с формулой (13.20).
	Требуемое рекуррентное уравнение для Ѳ, вытекает теперь
из формул для		Vt+i и	представления для условного математи
ческого ожидания М(Ѳ*+і\|Ѳ,).
	§ 2. Рекуррентные уравнения фильтрации
	для условно-гауссовских последовательностей
	1. Пусть на вероятностном				пространстве (Q, , Р)				задана
частично наблюдаемая			случайная последовательность (Ѳ, g)=
= (Ѳ„ It), t — 0,		1 ,. ..,
	Ѳ, = (Ѳі(0, . ...		ѳ	к 0( ),	h ^ i h i t ) ,		. . . .	hit)),
определяемая рекуррентными уравнениями
Ѳ/+і — ао it, g) +		Я] it, \|)Ѳ, +		b{(t, \|)e, (t +		1) +	b2(t,	\|)e 2(/ +	1),
									(13.46)
I/+1 — A)(/, І) +		At it, I) Ѳ, +		B{ (t, g) 8j (/ +		1) + B2 it, g)e2 it + 1).
									(13.47)

Здесь e,(0 = (en (4 ..., elk(t)), e2(t) = (e21it), ..., e2/(/)) — неза висимые гауссовские векторы с независимыми компонентами, каждая из которых нормально распределена, N (0, 1),


			а0 it,	I)	(а0, it, g),		...,	О-ok it, g))>
			AQ(t,h = iA(nit,Z),				. . . .	Aol(t,h)
— вектор-функции и						sbf! it, g) I,
bl it,	і) =	II ьУ, it, 1) II,		h	it, 1) =	sbf! it, g) I,			ß, it, I) =	IIM? it, І) \|,
B2 it,	i) =	II B?l it, l) I		I a, (t, g) =		1aty it, I) II,			A \(t, g) =	\|\| A?} it, g)\|\|
— матричные			функции,		имеющие		порядок k \ k ,			kX, l , l~Xk,
l УК. I,	k X k,		l X k соответственно.

Любой из элементов этих вектор-функций и матриц пред полагается неупреждающим, т. е. tF\ = o {g0, ..., g^-измеримым

для каждого t = 0, 1, ...

Система (13.46), (13.47) решается при начальных условиях (Ѳ0, Іо), гДе случайный вектор (Ѳ0, g0) предполагается незави сящим от последовательностей (е,, е2) = [е, (t), е2(/)], /==1, 2, Относительно коэффициентов системы (13.46), (13.47) и на

§ і

)

РЕКУРРЕНТНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИИ

ggg

чальных

условий

(00, | 0)

на

протяжении всей главы будут при

няты следующие допущения:

(I)

Если

g(t,Q — любая

из

функций *) аОІ, Л0/,

М/,

bfj, В{ц,

В?}, то

Ml g(t, 5) р<оо,

/ =

0 , 1 , . . . ;

(13.48)

(II)

с вероятностью единица

( II I)

М (II ѳ0IP + II ІоII2) <

оо,

где

для

х = (хи . ..,

хп)

\ \ x \ f = y i x]-,

1=1

( IV ) условное распределение

Р(Ѳ0<7а|£а)

является

(Р-п. н.)

гауссовским.

— (III)

вытекает, что при любом / < оо

Из предположений (I)

M (||e j2 +

||U 2) <

оо.

(13.49)

Последовательность (Ѳ, |)

предполагается частично наблю

даемой, и задача фильтрации для нее состоит в построении

оценок

для

ненаблюдаемых

значений

Ѳ,

по

наблюдениям

U = ( k ........ !,)• Пусть Ft,(o) =

P(0,

“

м (Ѳ, I srf).

у,

м [(Ѳ, -

m,) (Ѳ, -

m,y | Г \\.

Очевидно, что в силу предположения (13.49) апостериорное

среднее

m, =

(m,(/), . . . ,

(/))

является

оптимальной

оценкой

(в

среднеквадратическом

смысле)

вектора

Ѳ,

по

значениям

іо=

о’

• • ■> І*]’

S p M Y , =

М [ Ѳ , ( 0 —

m , ( О ] 2

1=1

дает величину ошибки оценивания.

В случае произвольной частично наблюдаемой последова

тельности (Ѳ, £)

отыскание

вида

распределения

Fpt{a) и его

параметров

mit

yt представляется

весьма

задачей.

трудной

Однако для последовательностей (Ѳ, £),

управляемых системой

(13.46), (13.47), при дополнительном предположении гауссовости

условного распределения

Р(Ѳ0^ а | | 0),

решение задачи филь

трации (т. е. отыскания mt и у,) становится эффективным.

В основе этого лежит следующий

результат,

аналогичный

теореме

11.1

для

случая непрерывного

времени.

*) Для простоты записи иногда мы опускаем аргументы у рассматри ваемых функций.

506

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

[ГЛ. 13

Те о - р е ма 13.3. Пусть выполнены предположения (I) — (IV). Тогда последовательность (Ѳ, £), управляемая системой (13.46), (13.47), является условно-гауссовской, т. е. условные распреде ления

	Р (Ѳ0^ ао’ • • •'	^ a t I
являются	(Р-п. н.) гауссовскими	для	каждого t = 0,	1, ...
Д о к а	з а т е л ь с т в о . Установим		сейчас лишь	гауссовость

условного распределения Р(Ѳ<^ я | 5 г |). Для целей фильтрации,

рассматриваемой в этом параграфе, этого достаточно. Доказа тельство для общего случая будет дано ниже, в п. 6 § 3.

Доказательство будем вести по индукции. Предположим,

что распределение				F^t (а) = Р(Ѳ, <1 а 1 н о р м а л ь н о , N{mt, y^ .
В	силу	системы			(13.46),		(13.47)		условное распределение
Р(Ѳ<+І 5^ а,		\| /+і ^	х) 5Г), Ѳ, = è) является							гауссовским с	векто-
ром	математических				ожиданий
							aQ+ a{b \
				A j		+ A lb_=( A q +			A{bJ		(13.50)
и матрицей		ковариаций
						( b o b		boB\			(13.51)
					B	\ ( b o	в у	BoBJ ’

где b ° b — b\bi + bib?,					bo В — biBi + ЬгВъ,					В° В — В\В\ + В%В\,
Пусть ѵ, = (Ѳ„ \| (),					г = (ги . . . ,			z k+L). Тогда условная			харак
теристическая функция вектора ѵ/+1 задается формулой
М(ехр[г2 *ѵі+1] J3~\,				Ѳ4) =
		: ехр \іг '		(Л0 (t, I) +			Л, (t,	£) Ѳ,) -		\ г*В (t, \) 2 .	(13.52)
По предположению				индукции
M (exp[iz*(^(f, i)0 t) J \|^ ) =
	■exp iz		А , (t,			i) m t -	2 * (Л, (t, I) ytA\ (t, £)) z)				(13.53)

Из (13.52) и (13.53) получаем

М(ех р [гг\+1]|^~|) =

=exp [iz (Aä (i, l) + Л, (t, I) mt) — у z*B (t, g) z ~

-у z* ( ^ ( U ) yHI(*. &))*].

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 7151 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ