книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

полагать, что детерминированные функции a0(t), а, (t) и bit)

:) См. также замечание 3 в п. 6.

§5. Уравнения оптимальной экстраполяции

1.В этом параграфе выводятся уравнения экстраполяции для условно-гауссовских процессов, позволяющие эффективно вычислять оптимальные (в среднеквадратическом смысле) оценки

значений Ѳ( по наблюдениям £о= {!„> Однако,

в отличие от рассмотренных выше задач фильтрации и интер­ поляции, эти уравнения будут выведены не для общего про­ цесса (0,|), заданного уравнениями (12.1), (12.2), а только для двух частных случаев, приводимых ниже. Это сужение класса

рованном /). Из прямых уравнений можно понять, как ухуд­ шается прогноз значений Ѳ* при возрастании /. Обратные уравнения позволяют установить степень улучшения качества прогноза значений 0/ с «увеличением данных», т. е. с ростом s.

Отметим, что обратные уравнения экстраполяции можно было бы вывести из общих уравнений экстраполяции, получен­ ных в восьмой главе. Здесь, однако, мы приводим другой и, пожалуй, более естественный для данного случая вывод.

где коэффициенты удовлетворяют условиям (I)—(IV), (VIII) —(X), причем элементы вектора aQ(t) и матрицы щ (/) являются

Отсюда находим

s

m t = пх (t, 0 )+ j [{Ьо В) {и, ё)+ѵ„д; (И , 1)1 (В ° В)~1,2(и, £) dWu+

о

t

+ J q!u[(boB)(u, l) + yuAl(u,l)](BoB)-]ß(u,l)dW u. (12.131)

S

Вычисляя условное математическое ожидание М (- \@~1) от обеих частей (12.131), получаем требуемое представление

где элементы векторов и матриц a,-(I), Ai(t), i = 0, 1, 2, являются детерминированными функциями. Иначе говоря, пусть

Пусть, далее, Ф* — фундаментальная матрица системы (t > s)

г д е O f = E y{k+t) X (ft+p)-

Если А — квадратная невырожденная матрица, то это уравнение

имеет единственное решение X = Л~'. Если же матрица А вы­ рожденная или даже прямоугольная, то решение уравнения (13.1), если оно существует, нельзя определить однозначно. Тем не менее существует (это будет доказано ниже), и притом (в опре­ деленном классе матриц)единственная, матрица, удовлетворяю­

щая уравнению (13.1). Эта матрица далее будет обозначаться А + и называться псевдообратной матрицей.

где U и V — некоторые матрицы.

Из условия (13.3) следует, что строки и столбцы матрицы Л+ являются линейными комбинациями соответственно строк и столбцов матрицы А*.

Ле м м а 13.1. Матрица А h, удовлетворяющая условиям (13.2)

и(13.3), существует и единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Начнем с доказательства единствен­

ности. Пусть A t и A t — две различные псевдообратные матрицы. Тогда

с некоторыми матрицами Ub Vu U2и Ѵ2. Положим D = A t — A t ,

U = UX- U 2, V = VX— V2.

Тогда *)

ADA = 0, D = UA* = A*V.

Ho D* = V*A, поэтому

(DA)* (DA) = A*D*DA = A*V*ADA = 0,

и, значит, DA — 0. Отсюда, испотьзуя формулу D* = AU*, на­ ходим, что

DD* — DAW = 0.

Следовательно, A t — А І — D — 0.

Для доказательства существования матрицы А+ предположим сначала, что ранг матрицы Л (порядка т У п с т ^ п ) равен п.

) 0 —нулевая матрица.

А = Т Т и формул (13.7) —(13.9).

З а м е ч а н и е . Согласно свойству 9° в случае симметрических неотрицательно определенных матриц А псевдообратная ма­

трица А+ может быть определена формулой (13.10), где ма­ трица Т определяется из разложения А = Т*Т. Это разложение, вообще говоря, не единственно. Однако псевдообратная ма­

трица А+ = Т (ТТ*)~2Т определяется однозначно независимо от способа разложения А = ГТ. Таким образом, в случае сим­ метрических неотрицательно определенных матриц А псевдо­ обратная матрица

А ', если матрица А не вырождена,

4. Напомним, что случайный вектор I — (^.........£„) назы­ вается гауссовским (нормальным), если его характеристическая функция *)

где m = ... , mn), а R — ||^^|| — неотрицательно определен­

ная симметрическая матрица порядка (п X «)■ Параметры m и R имеют простой смысл. Вектор m есть вектор средних значений, т = М£, а матрица R есть матрица ковариаций,

/?==соѵ (£, I) = М (I — m) (I — m)\

Сформулируем ряд простых свойств гауссовских векторов.

1.Если 1 = (1и . . . , 1п) — гауссовский вектор, АітХп) — ма­

*) При алгебраических операциях векторы а считаются столбцами, а век­ торы а*— строками.